函數(shù)應(yīng)用題的復(fù)習(xí)設(shè)計與教后反思

隨著課程改革的不斷深入，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力，越來越受到人們的關(guān)注，尤其是高考“指揮棒”的正確導(dǎo)向，促使廣大教師對數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的研究趨于常態(tài).以江蘇高考為例，堅持每年出應(yīng)用的解答題，已成為其傳統(tǒng)和特色，但要命制出一道優(yōu)質(zhì)的應(yīng)用題絕非易事，其中保證應(yīng)用背景的公平、公正、合理且富有時代氣息，同時建模要求適當(dāng)、難度適中是命題者考慮的主要因素.

2013年江蘇高考的第18題是以登山中乘索道與步行的關(guān)系為背景，第（1）問是利用正弦定理解三角形的常見題型，教材上配置了很多這樣的例習(xí)題，第（2）問是蘇教版高中教材必修5習(xí)題13中的第8題變形而得，主要是把余弦定理與二次函數(shù)的最值結(jié)合起來考查，第（3）問是初中行程問題的變式，主要考查學(xué)生的建模能力，該問對學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識分析和解決問題提出了一定的能力要求.題目取自于教材又略高于教材，三個設(shè)問清新自然，新穎程度逐漸增強(qiáng)，能力要求逐級提高，得到廣大師生的認(rèn)同.

可見，應(yīng)用題的復(fù)習(xí)必須加強(qiáng)課程規(guī)劃和設(shè)計，首先要找到良好的應(yīng)用題素材，該題的命制方法值得借鑒，即挖掘教材的內(nèi)隱性素材，并加以嫁接、改造和拓展；其次在策略上既要強(qiáng)調(diào)平時教學(xué)的滲透，又要通過專題復(fù)習(xí)得以強(qiáng)化，同時教學(xué)要求要循序漸進(jìn)，逐步提高學(xué)生閱讀理解和分析問題的能力，增強(qiáng)解題的自信心.

基于上述思考，筆者設(shè)計了這節(jié)函數(shù)應(yīng)用題的復(fù)習(xí)課，供同行研討.

1教材函數(shù)應(yīng)用題的梳理分析

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，函數(shù)應(yīng)用題自然在教材上扮演著重要的角色，因此，函數(shù)應(yīng)用題成為近幾年高考的常客就不難理解了.以蘇教版為例，必修1第3章第4節(jié)專門設(shè)計了“函數(shù)的應(yīng)用”，主要介紹了一些經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常見概念，如成本、收入和利潤等，也涉及到一些物理模型的應(yīng)用；必修4第1章第3節(jié)設(shè)計了三角函數(shù)的應(yīng)用，主要涉及摩天輪旋轉(zhuǎn)、港口水深的變化、物理中的簡諧運(yùn)動等問題；必修5的第1章第3節(jié)有解三角形的應(yīng)用，主要涉及測量、追擊和物理中矢量的分解與合成等問題；必修5的第3章第4節(jié)主要涉及利用基本不等式解決函數(shù)應(yīng)用題；選修2-2第1章第4節(jié)是“導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用”.可見，隨著教材的不斷延伸，函數(shù)應(yīng)用題始終圍繞“設(shè)自變量、列解析式、寫定義域、求最值”的思路不變，只是求最值的要求不同.因此，函數(shù)應(yīng)用題的起始復(fù)習(xí)課，應(yīng)設(shè)計難易程度不同的問題讓學(xué)生探索，從而給不同層次的學(xué)生提供學(xué)習(xí)機(jī)會，以提高教學(xué)的針對性和有效性.

2教學(xué)設(shè)計的過程和意圖分析

2.1創(chuàng)設(shè)問題情境，引動學(xué)生參與

問題1如右圖，某人駕駛摩托車在某一高處作飛越訓(xùn)練，人車行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系是：y=-112x2+43x+203.則摩托車飛越的最遠(yuǎn)距離為m.

學(xué)生求解：令y=0，即-112x2+43x+203=0，

化簡得x2-16x-80=0，

x1=20，x2=-4（舍去），

故摩托車飛越的最遠(yuǎn)距離為20m.

設(shè)計意圖上課伊始，為了能讓學(xué)生的注意力較快地集中到課的內(nèi)容上來，設(shè)計一個與學(xué)生興趣相符的問題作為引入，能拉近師生的心理距離.該問題的背景是彈道曲線，數(shù)學(xué)含義是函數(shù)零點(diǎn)，學(xué)生只需用好題中所給的模型即可獲解，屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用最基本的要求.本題與2012年江蘇高考題第17題類似，由于難度適中，因而能很好地調(diào)動學(xué)生參與的熱情.

問題2同學(xué)們站在什么位置看黑板上方的國旗最清楚？

設(shè)計意圖能讓學(xué)生身臨其境，親自體驗數(shù)學(xué)建模的過程.這里，看得最清楚的數(shù)學(xué)含義就是視角最大，但由于這是個“原生態(tài)”的實(shí)際問題，因此要把它轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，需要學(xué)生從定性到定量、猜測到驗證、設(shè)計到測量、計算到解釋，幾乎經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的全過程，從而提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)和探索能力.

從課上的效果來看，學(xué)生反應(yīng)積極熱烈.大家的觀點(diǎn)一致從站在正對國旗，到進(jìn)一步認(rèn)為站在大概第三張座位的位置，作出了大膽的猜測和判斷.如何從數(shù)學(xué)的眼光考查這個問題呢？學(xué)生從畫圖設(shè)計開始，把國旗上沿、下沿及觀察者抽象到一個截面中，并分別記作A、B、C，測量它們離地的高度，這樣就歸結(jié)為△ABC中，過C作CD⊥AB，D為垂足，CD為多少時，∠ACB最大？為了簡化書寫，分別把AD、BD的長記為a、b，設(shè)CD=x，這樣便把這個實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為一個數(shù)學(xué)問題了.

在解決的過程中，有的學(xué)生用余弦定理或向量的夾角公式得出cos∠ACB=x2+aba2+x2b2+x2，但在求最值時遇到了極大的麻煩；有的同學(xué)從正切兩角差的公式得出tan∠ACB=（a-b）xx2+ab，利用基本不等式或求導(dǎo)的方法，很快求得當(dāng)x=ab時，∠ACB最大.

提問1：能否從幾何的觀點(diǎn)對求出的答案作出合理的解釋？

學(xué)生根據(jù)CD2=DA·DB得出CD與△ABC的外接圓相切時視角最大，由于是從數(shù)和形兩個不同的維度得出相同的結(jié)論，因而學(xué)生反應(yīng)熱烈，掀起了第一次教學(xué)高潮.

提問2：大家在教材上見過這一幾何圖形嗎？

或許是遺忘的原因，開始學(xué)生沒有反應(yīng)，于是引導(dǎo)學(xué)生打開教材，在必修5基本不等式應(yīng)用的習(xí)題34第11題：有一壁畫，最高點(diǎn)A處離地面4m，最低點(diǎn)B處離地面2m.若從離地高15m的C處觀賞它，則離墻多遠(yuǎn)時，視角θ最大？只是教材上已把數(shù)據(jù)測量好了.此時，由于學(xué)生有一種“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費(fèi)功夫”之感，因而欣喜之余，再次把教學(xué)推向了高潮.

評注源于教材又高于教材是高考命題的基本策略，也是復(fù)習(xí)教學(xué)選題的重要原則.通過這樣的經(jīng)歷，可以讓學(xué)生真實(shí)地體驗數(shù)學(xué)應(yīng)用的價值，此外，通過不同解題方法的選擇、比較和評價，可以優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

2.2歸納總結(jié)提煉，體悟建模本質(zhì)

設(shè)計：通過上述兩個問題的研究，你能否歸納總結(jié)求解應(yīng)用問題的主要流程嗎？endprint

設(shè)計意圖讓學(xué)生從具體問題出發(fā)加以歸納總結(jié)，可以提高學(xué)生的抽象概括能力，促進(jìn)學(xué)生的心智發(fā)展.從課上的情況來看，學(xué)生提煉觀點(diǎn)的水平差異較大，但大致都體悟到了數(shù)學(xué)建模、用模的本質(zhì).一類學(xué)生針對函數(shù)應(yīng)用題的特點(diǎn)，概括為閱讀理解、設(shè)元轉(zhuǎn)化、求解析式和定義域、求解并作答問題；另一類學(xué)生提煉相對寬泛一些，總結(jié)為弄清實(shí)際問題、轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題、進(jìn)行數(shù)學(xué)解決、回歸實(shí)際問題.教師的作用主要體現(xiàn)在引領(lǐng)學(xué)生如何獲取、濃縮、分檢和重組信息，如列表、畫圖、分類、設(shè)元、列式等，從而把一個實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題去解決.

2.3獨(dú)立解決問題，感悟方法運(yùn)用

問題3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年投入成本05萬元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資025萬元，經(jīng)預(yù)測知，市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件，且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t百件，銷售所得的收入約為5t-12t2（萬元）.

（1）若該公司的年產(chǎn)量為x百件（x>0），試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的利潤表示為年產(chǎn)量x的函數(shù).

（2）當(dāng)該公司的年產(chǎn)量多大時，當(dāng)年所得利潤最大？

（3）要使公司不虧損，年產(chǎn)量應(yīng)生產(chǎn)多少？

設(shè)計意圖成本、收入和利潤的概念，在必修1教材上26節(jié)“函數(shù)模型及其應(yīng)用”中作了詳細(xì)的介紹，學(xué)生并不陌生，課上發(fā)現(xiàn)的錯誤主要是因為建模時忽視了x>5時，利潤y=5×5-125-05-025x，從而沒有找到分段函數(shù)的模型，說明學(xué)生的閱讀理解的能力較為欠缺.應(yīng)該說本題植根于教材，又有所發(fā)展，體現(xiàn)了良好的教學(xué)導(dǎo)向.

問題4某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k（k>0），貸款的利息為48%，若存款利率小于貸款利率，且銀行吸收的存款能全部放貸出去，問存款利率為多少時，銀行可獲得最大效益？

設(shè)計意圖利率的概念學(xué)生較為熟悉，但對銀行的基本盈利模式——利息差，許多學(xué)生卻不太清楚.設(shè)存款利率為x，則存款量為kx2，故銀行獲得的利潤y為貸款的總利息減去存款的總利息，即y=0.048kx2-x·kx2，利用求導(dǎo)法即可獲解.

2.4彼此交流收獲，共享經(jīng)驗成長

設(shè)計1：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些特別的收獲？

設(shè)計意圖利用開放性的小結(jié)，可以使不同層次的學(xué)生參與其中，有的同學(xué)對函數(shù)應(yīng)用題的常見問題作整理性的小結(jié)，理清了應(yīng)用題教材的脈絡(luò)；有的則談了數(shù)學(xué)建模的流程圖對解題的引領(lǐng)作用；也有的同學(xué)提出課后要加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀，關(guān)注社會熱點(diǎn)和生活問題，擴(kuò)大自己的知識面等，多位同學(xué)的收獲縱橫交叉，互為照應(yīng)，構(gòu)成了相對完整的總結(jié).

設(shè)計2：課后請你自編一道函數(shù)應(yīng)用題，鼓勵從社會、生產(chǎn)、生活的實(shí)際出發(fā)，出一道原創(chuàng)題，也可以從教材或課外資料的某個問題出發(fā)加以改編，但要提供原題，注明出處，以考查改編的程度.

設(shè)計意圖讓學(xué)生嘗試每人自編一道應(yīng)用題，主要是培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，感受創(chuàng)作的艱難歷程，從而更好地把握解決應(yīng)用題的核心環(huán)節(jié)，起到解答者與命題者“心理換位”的作用.

評注美國教育家布魯克曾經(jīng)說過“最精湛的教學(xué)藝術(shù)就是讓學(xué)生自己提出問題”.從這次自編應(yīng)用題的完成情況看，雖然多數(shù)題尚顯稚嫩，甚至只是模仿課上的例題，但學(xué)生寬泛的視野，還是讓人感悟到教學(xué)相長的哲理，這或許正是應(yīng)用題教學(xué)的源頭活水.

3應(yīng)用題教學(xué)后的反思和感悟

建構(gòu)主義教育理論認(rèn)為，知識是主動建構(gòu)的，而不是被動接受的.如果沒有主體的主動建構(gòu)，知識是不可能由別人傳遞給主體并被主體所內(nèi)化的.因此，知識的意義不能機(jī)械地灌輸給學(xué)生，必須靠學(xué)生根據(jù)個人先前知識經(jīng)驗主動建構(gòu).傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)都是先講解應(yīng)用題的要求和步驟，再列舉若干常見的題型，并講解相應(yīng)的解題套路，最后作強(qiáng)化練習(xí).這樣訓(xùn)練似乎也挺扎實(shí)，但由于學(xué)生的思維框在限定的區(qū)域內(nèi)，因而一旦遇上難以對上套路的新問題，便顯得束手無策.本堂課的設(shè)計，把數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用解釋、提出問題與解決問題、獨(dú)立思考與合作交流等有機(jī)結(jié)合起來，從而使教學(xué)有序和諧地展開.在教學(xué)過程中，學(xué)生的問題意識被喚醒，探索意念被喚起，建模思路被激活，討論興趣被激發(fā)，仿佛經(jīng)歷了一場心智的歷練.

筆者期望通過應(yīng)用題的教學(xué)，逐步讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想.閱讀是求解應(yīng)用題的基礎(chǔ)，要從粗讀階段通過圖表、設(shè)元等途徑，分析、檢索、加工、儲存和濃縮信息，逐步過渡到精讀階段，建立起合適的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然應(yīng)用問題常涉及字母運(yùn)算或較大數(shù)字的計算，因此運(yùn)算的合理性、層次性和邏輯性要求較高，教師要適時點(diǎn)撥和引導(dǎo)，通過反思和總結(jié)積累經(jīng)驗.教學(xué)和測試中要適度控制數(shù)學(xué)建模的要求，提高學(xué)生的積極性和自信心.

讓學(xué)生課后嘗試自編題目，的確對學(xué)生的綜合素養(yǎng)提出了很高的要求，但每學(xué)期堅持讓學(xué)生親身體驗一次，可以激發(fā)學(xué)生研究和創(chuàng)作的意識，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐和創(chuàng)新能力，這對學(xué)生是終身受益的，當(dāng)然教師必須有計劃、有目的、有選擇的加以組織，力求做到引導(dǎo)在先，要求適度，激勵為主，成果共享.

作者簡介華志遠(yuǎn)，1964年10月生，曾獲第九屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獎，江蘇省人民教育家培養(yǎng)對象，中學(xué)正高級教師，特級教師.主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)課程、教材、教法和評價.發(fā)表論文100余篇.endprint

設(shè)計意圖讓學(xué)生從具體問題出發(fā)加以歸納總結(jié)，可以提高學(xué)生的抽象概括能力，促進(jìn)學(xué)生的心智發(fā)展.從課上的情況來看，學(xué)生提煉觀點(diǎn)的水平差異較大，但大致都體悟到了數(shù)學(xué)建模、用模的本質(zhì).一類學(xué)生針對函數(shù)應(yīng)用題的特點(diǎn)，概括為閱讀理解、設(shè)元轉(zhuǎn)化、求解析式和定義域、求解并作答問題；另一類學(xué)生提煉相對寬泛一些，總結(jié)為弄清實(shí)際問題、轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題、進(jìn)行數(shù)學(xué)解決、回歸實(shí)際問題.教師的作用主要體現(xiàn)在引領(lǐng)學(xué)生如何獲取、濃縮、分檢和重組信息，如列表、畫圖、分類、設(shè)元、列式等，從而把一個實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題去解決.

2.3獨(dú)立解決問題，感悟方法運(yùn)用

問題3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年投入成本05萬元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資025萬元，經(jīng)預(yù)測知，市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件，且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t百件，銷售所得的收入約為5t-12t2（萬元）.

（1）若該公司的年產(chǎn)量為x百件（x>0），試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的利潤表示為年產(chǎn)量x的函數(shù).

（2）當(dāng)該公司的年產(chǎn)量多大時，當(dāng)年所得利潤最大？

（3）要使公司不虧損，年產(chǎn)量應(yīng)生產(chǎn)多少？

設(shè)計意圖成本、收入和利潤的概念，在必修1教材上26節(jié)“函數(shù)模型及其應(yīng)用”中作了詳細(xì)的介紹，學(xué)生并不陌生，課上發(fā)現(xiàn)的錯誤主要是因為建模時忽視了x>5時，利潤y=5×5-125-05-025x，從而沒有找到分段函數(shù)的模型，說明學(xué)生的閱讀理解的能力較為欠缺.應(yīng)該說本題植根于教材，又有所發(fā)展，體現(xiàn)了良好的教學(xué)導(dǎo)向.

問題4某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k（k>0），貸款的利息為48%，若存款利率小于貸款利率，且銀行吸收的存款能全部放貸出去，問存款利率為多少時，銀行可獲得最大效益？

設(shè)計意圖利率的概念學(xué)生較為熟悉，但對銀行的基本盈利模式——利息差，許多學(xué)生卻不太清楚.設(shè)存款利率為x，則存款量為kx2，故銀行獲得的利潤y為貸款的總利息減去存款的總利息，即y=0.048kx2-x·kx2，利用求導(dǎo)法即可獲解.

2.4彼此交流收獲，共享經(jīng)驗成長

設(shè)計1：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些特別的收獲？

設(shè)計意圖利用開放性的小結(jié)，可以使不同層次的學(xué)生參與其中，有的同學(xué)對函數(shù)應(yīng)用題的常見問題作整理性的小結(jié)，理清了應(yīng)用題教材的脈絡(luò)；有的則談了數(shù)學(xué)建模的流程圖對解題的引領(lǐng)作用；也有的同學(xué)提出課后要加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀，關(guān)注社會熱點(diǎn)和生活問題，擴(kuò)大自己的知識面等，多位同學(xué)的收獲縱橫交叉，互為照應(yīng)，構(gòu)成了相對完整的總結(jié).

設(shè)計2：課后請你自編一道函數(shù)應(yīng)用題，鼓勵從社會、生產(chǎn)、生活的實(shí)際出發(fā)，出一道原創(chuàng)題，也可以從教材或課外資料的某個問題出發(fā)加以改編，但要提供原題，注明出處，以考查改編的程度.

設(shè)計意圖讓學(xué)生嘗試每人自編一道應(yīng)用題，主要是培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，感受創(chuàng)作的艱難歷程，從而更好地把握解決應(yīng)用題的核心環(huán)節(jié)，起到解答者與命題者“心理換位”的作用.

評注美國教育家布魯克曾經(jīng)說過“最精湛的教學(xué)藝術(shù)就是讓學(xué)生自己提出問題”.從這次自編應(yīng)用題的完成情況看，雖然多數(shù)題尚顯稚嫩，甚至只是模仿課上的例題，但學(xué)生寬泛的視野，還是讓人感悟到教學(xué)相長的哲理，這或許正是應(yīng)用題教學(xué)的源頭活水.

3應(yīng)用題教學(xué)后的反思和感悟

建構(gòu)主義教育理論認(rèn)為，知識是主動建構(gòu)的，而不是被動接受的.如果沒有主體的主動建構(gòu)，知識是不可能由別人傳遞給主體并被主體所內(nèi)化的.因此，知識的意義不能機(jī)械地灌輸給學(xué)生，必須靠學(xué)生根據(jù)個人先前知識經(jīng)驗主動建構(gòu).傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)都是先講解應(yīng)用題的要求和步驟，再列舉若干常見的題型，并講解相應(yīng)的解題套路，最后作強(qiáng)化練習(xí).這樣訓(xùn)練似乎也挺扎實(shí)，但由于學(xué)生的思維框在限定的區(qū)域內(nèi)，因而一旦遇上難以對上套路的新問題，便顯得束手無策.本堂課的設(shè)計，把數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用解釋、提出問題與解決問題、獨(dú)立思考與合作交流等有機(jī)結(jié)合起來，從而使教學(xué)有序和諧地展開.在教學(xué)過程中，學(xué)生的問題意識被喚醒，探索意念被喚起，建模思路被激活，討論興趣被激發(fā)，仿佛經(jīng)歷了一場心智的歷練.

筆者期望通過應(yīng)用題的教學(xué)，逐步讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想.閱讀是求解應(yīng)用題的基礎(chǔ)，要從粗讀階段通過圖表、設(shè)元等途徑，分析、檢索、加工、儲存和濃縮信息，逐步過渡到精讀階段，建立起合適的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然應(yīng)用問題常涉及字母運(yùn)算或較大數(shù)字的計算，因此運(yùn)算的合理性、層次性和邏輯性要求較高，教師要適時點(diǎn)撥和引導(dǎo)，通過反思和總結(jié)積累經(jīng)驗.教學(xué)和測試中要適度控制數(shù)學(xué)建模的要求，提高學(xué)生的積極性和自信心.

讓學(xué)生課后嘗試自編題目，的確對學(xué)生的綜合素養(yǎng)提出了很高的要求，但每學(xué)期堅持讓學(xué)生親身體驗一次，可以激發(fā)學(xué)生研究和創(chuàng)作的意識，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐和創(chuàng)新能力，這對學(xué)生是終身受益的，當(dāng)然教師必須有計劃、有目的、有選擇的加以組織，力求做到引導(dǎo)在先，要求適度，激勵為主，成果共享.

作者簡介華志遠(yuǎn)，1964年10月生，曾獲第九屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獎，江蘇省人民教育家培養(yǎng)對象，中學(xué)正高級教師，特級教師.主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)課程、教材、教法和評價.發(fā)表論文100余篇.endprint

設(shè)計意圖讓學(xué)生從具體問題出發(fā)加以歸納總結(jié)，可以提高學(xué)生的抽象概括能力，促進(jìn)學(xué)生的心智發(fā)展.從課上的情況來看，學(xué)生提煉觀點(diǎn)的水平差異較大，但大致都體悟到了數(shù)學(xué)建模、用模的本質(zhì).一類學(xué)生針對函數(shù)應(yīng)用題的特點(diǎn)，概括為閱讀理解、設(shè)元轉(zhuǎn)化、求解析式和定義域、求解并作答問題；另一類學(xué)生提煉相對寬泛一些，總結(jié)為弄清實(shí)際問題、轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題、進(jìn)行數(shù)學(xué)解決、回歸實(shí)際問題.教師的作用主要體現(xiàn)在引領(lǐng)學(xué)生如何獲取、濃縮、分檢和重組信息，如列表、畫圖、分類、設(shè)元、列式等，從而把一個實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題去解決.

2.3獨(dú)立解決問題，感悟方法運(yùn)用

問題3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年投入成本05萬元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資025萬元，經(jīng)預(yù)測知，市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件，且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t百件，銷售所得的收入約為5t-12t2（萬元）.

（1）若該公司的年產(chǎn)量為x百件（x>0），試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的利潤表示為年產(chǎn)量x的函數(shù).

（2）當(dāng)該公司的年產(chǎn)量多大時，當(dāng)年所得利潤最大？

（3）要使公司不虧損，年產(chǎn)量應(yīng)生產(chǎn)多少？

設(shè)計意圖成本、收入和利潤的概念，在必修1教材上26節(jié)“函數(shù)模型及其應(yīng)用”中作了詳細(xì)的介紹，學(xué)生并不陌生，課上發(fā)現(xiàn)的錯誤主要是因為建模時忽視了x>5時，利潤y=5×5-125-05-025x，從而沒有找到分段函數(shù)的模型，說明學(xué)生的閱讀理解的能力較為欠缺.應(yīng)該說本題植根于教材，又有所發(fā)展，體現(xiàn)了良好的教學(xué)導(dǎo)向.

問題4某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k（k>0），貸款的利息為48%，若存款利率小于貸款利率，且銀行吸收的存款能全部放貸出去，問存款利率為多少時，銀行可獲得最大效益？

設(shè)計意圖利率的概念學(xué)生較為熟悉，但對銀行的基本盈利模式——利息差，許多學(xué)生卻不太清楚.設(shè)存款利率為x，則存款量為kx2，故銀行獲得的利潤y為貸款的總利息減去存款的總利息，即y=0.048kx2-x·kx2，利用求導(dǎo)法即可獲解.

2.4彼此交流收獲，共享經(jīng)驗成長

設(shè)計1：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些特別的收獲？

設(shè)計意圖利用開放性的小結(jié)，可以使不同層次的學(xué)生參與其中，有的同學(xué)對函數(shù)應(yīng)用題的常見問題作整理性的小結(jié)，理清了應(yīng)用題教材的脈絡(luò)；有的則談了數(shù)學(xué)建模的流程圖對解題的引領(lǐng)作用；也有的同學(xué)提出課后要加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀，關(guān)注社會熱點(diǎn)和生活問題，擴(kuò)大自己的知識面等，多位同學(xué)的收獲縱橫交叉，互為照應(yīng)，構(gòu)成了相對完整的總結(jié).

設(shè)計2：課后請你自編一道函數(shù)應(yīng)用題，鼓勵從社會、生產(chǎn)、生活的實(shí)際出發(fā)，出一道原創(chuàng)題，也可以從教材或課外資料的某個問題出發(fā)加以改編，但要提供原題，注明出處，以考查改編的程度.

設(shè)計意圖讓學(xué)生嘗試每人自編一道應(yīng)用題，主要是培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，感受創(chuàng)作的艱難歷程，從而更好地把握解決應(yīng)用題的核心環(huán)節(jié)，起到解答者與命題者“心理換位”的作用.

評注美國教育家布魯克曾經(jīng)說過“最精湛的教學(xué)藝術(shù)就是讓學(xué)生自己提出問題”.從這次自編應(yīng)用題的完成情況看，雖然多數(shù)題尚顯稚嫩，甚至只是模仿課上的例題，但學(xué)生寬泛的視野，還是讓人感悟到教學(xué)相長的哲理，這或許正是應(yīng)用題教學(xué)的源頭活水.

3應(yīng)用題教學(xué)后的反思和感悟

建構(gòu)主義教育理論認(rèn)為，知識是主動建構(gòu)的，而不是被動接受的.如果沒有主體的主動建構(gòu)，知識是不可能由別人傳遞給主體并被主體所內(nèi)化的.因此，知識的意義不能機(jī)械地灌輸給學(xué)生，必須靠學(xué)生根據(jù)個人先前知識經(jīng)驗主動建構(gòu).傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)都是先講解應(yīng)用題的要求和步驟，再列舉若干常見的題型，并講解相應(yīng)的解題套路，最后作強(qiáng)化練習(xí).這樣訓(xùn)練似乎也挺扎實(shí)，但由于學(xué)生的思維框在限定的區(qū)域內(nèi)，因而一旦遇上難以對上套路的新問題，便顯得束手無策.本堂課的設(shè)計，把數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用解釋、提出問題與解決問題、獨(dú)立思考與合作交流等有機(jī)結(jié)合起來，從而使教學(xué)有序和諧地展開.在教學(xué)過程中，學(xué)生的問題意識被喚醒，探索意念被喚起，建模思路被激活，討論興趣被激發(fā)，仿佛經(jīng)歷了一場心智的歷練.

筆者期望通過應(yīng)用題的教學(xué)，逐步讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想.閱讀是求解應(yīng)用題的基礎(chǔ)，要從粗讀階段通過圖表、設(shè)元等途徑，分析、檢索、加工、儲存和濃縮信息，逐步過渡到精讀階段，建立起合適的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然應(yīng)用問題常涉及字母運(yùn)算或較大數(shù)字的計算，因此運(yùn)算的合理性、層次性和邏輯性要求較高，教師要適時點(diǎn)撥和引導(dǎo)，通過反思和總結(jié)積累經(jīng)驗.教學(xué)和測試中要適度控制數(shù)學(xué)建模的要求，提高學(xué)生的積極性和自信心.

讓學(xué)生課后嘗試自編題目，的確對學(xué)生的綜合素養(yǎng)提出了很高的要求，但每學(xué)期堅持讓學(xué)生親身體驗一次，可以激發(fā)學(xué)生研究和創(chuàng)作的意識，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐和創(chuàng)新能力，這對學(xué)生是終身受益的，當(dāng)然教師必須有計劃、有目的、有選擇的加以組織，力求做到引導(dǎo)在先，要求適度，激勵為主，成果共享.

作者簡介華志遠(yuǎn)，1964年10月生，曾獲第九屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獎，江蘇省人民教育家培養(yǎng)對象，中學(xué)正高級教師，特級教師.主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)課程、教材、教法和評價.發(fā)表論文100余篇.endprint