從數(shù)學(xué)的本質(zhì)探東西方數(shù)學(xué)教育的差異

吳道春

1東西方對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認知差異

數(shù)學(xué)家們一般認為： 數(shù)學(xué)的本質(zhì)是經(jīng)驗性和演繹性的辯證統(tǒng)一. 數(shù)學(xué)源于生活，如計算時間、分配物品、丈量土地和容積等，所以19世紀之前，人們一般認為數(shù)學(xué)是一門經(jīng)驗科學(xué). 19世紀以來，隨著近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，特別是歐式幾何、非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產(chǎn)生，現(xiàn)代數(shù)學(xué)向抽象、多元、高維發(fā)展，人們的注意力集中到這些抽象對象上，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的距離漸漸遠去，數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)研究中占據(jù)了重要地位，人們越來越認為數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué). 1931年，歌德爾不完全性定理的證明宣告公理化邏輯演繹系統(tǒng)存在缺憾，匈牙利著名數(shù)學(xué)哲學(xué)家拉卡托斯對數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性和演繹性作出概括，認為數(shù)學(xué)具有擬經(jīng)驗性. 當(dāng)代計算機技術(shù)的高速發(fā)展，人們可以用計算機進行數(shù)值計算.數(shù)學(xué)實驗和機器證明，實現(xiàn)了經(jīng)驗性和演繹性的新的融合和統(tǒng)一.

近現(xiàn)代，數(shù)學(xué)在西方科技、經(jīng)濟等領(lǐng)域的發(fā)展中得到廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值逐漸被人們重視，形成和發(fā)展了一個新的數(shù)學(xué)分支——應(yīng)用數(shù)學(xué)，西方的數(shù)學(xué)教育也走向了重實用和經(jīng)驗的道路；中國的數(shù)學(xué)教育受蘇聯(lián)的影響很大，在八九十年代走上了與中國數(shù)學(xué)傳統(tǒng)相反，追求嚴密化、形式化的道路，側(cè)重數(shù)學(xué)的演繹性. 對數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同側(cè)重，是東西方在數(shù)學(xué)教育理念、數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、教材結(jié)構(gòu)體系、課堂教學(xué)方式、概念理解、技能訓(xùn)練、問題解決、數(shù)學(xué)探究和綜合難度等方面存在差異的根源.

2東西方數(shù)學(xué)教育的差異

2.1數(shù)學(xué)教育理念

我國的數(shù)學(xué)教育側(cè)重數(shù)學(xué)的演繹性，所以，一直以來我們特別強調(diào)“雙基”教學(xué)，只有學(xué)生的“雙基”扎實了，他們才能夠發(fā)展較高水平的演繹推理能力；教材、教輔和考試試卷中有很多題難度水平比較高，設(shè)置這些難題的主要目的就是要培養(yǎng)和考查學(xué)生的演繹推理能力. 美英等國的數(shù)學(xué)教育側(cè)重數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性，鼓勵學(xué)生試驗、觀察、操作、發(fā)現(xiàn)、探究、交流、創(chuàng)造，重視培養(yǎng)學(xué)生的動手和創(chuàng)造能力. 因此，我國學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識較扎實，解題水平較高，而動手和創(chuàng)造能力就不如美英國家.

2.2數(shù)學(xué)課程目標(biāo)

我國普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（實驗）確定的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是：（1） 獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用. 通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程；（2）提高空間想像、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力；（3）提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力，數(shù)學(xué)表達和交流的能力，發(fā)展獨立獲取數(shù)學(xué)知識的能力；（4）發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，力求對現(xiàn)實世界中蘊涵的一些數(shù)學(xué)模式進行思考和作出判斷；（5）提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度；（6）具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值，形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀.

美國課程標(biāo)準（2000版）中這樣敘述：我們的數(shù)學(xué)課程必須聯(lián)系我們的學(xué)生的興趣；聚焦數(shù)學(xué)的邏輯與實驗特征；為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)豐富的環(huán)境；了解學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗. 英國2000年國家數(shù)學(xué)課程的三大目標(biāo)：讓大多數(shù)人掌握“基本技能”；為少數(shù)人傳授一定的符號操作和運算的知識；培養(yǎng)“現(xiàn)實生活”應(yīng)用所需的技能.

可以看出，我國數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)首先是使學(xué)生獲得必需的基本知識和基本技能，在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的價值，具有數(shù)學(xué)應(yīng)用意識. 美國數(shù)學(xué)課程強調(diào)聯(lián)系學(xué)生的興趣，為學(xué)生的實驗、操作和體驗創(chuàng)設(shè)環(huán)境. 我們的課程目標(biāo)傾向于“建立在雙基和思維基礎(chǔ)上的體驗和應(yīng)用”，而美國的課程目標(biāo)傾向于“建立在實驗和操作基礎(chǔ)上的雙基和思維”. 英國的課程目標(biāo)強調(diào)數(shù)學(xué)的實用性.

2.3數(shù)學(xué)課程內(nèi)容

我國的數(shù)學(xué)課程（以蘇教版教材為例）必修部分包括：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）；立體幾何初步、平面解析幾何初步；算法初步、統(tǒng)計、概率；基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)）、平面上的向量、三角恒等變換；解三角形、數(shù)列、不等式. 選修部分包括：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；推理與證明、數(shù)系擴充與復(fù)數(shù)的引入、框圖；空間中的向量與立體幾何；計數(shù)原理、統(tǒng)計案例、概率.

美國在《標(biāo)準（2000）》中為每個學(xué)段設(shè)立的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容包括：數(shù)與運算、代數(shù)、幾何、測量、數(shù)據(jù)分析與概率、問題解決、推理與證明、交流、關(guān)聯(lián)、表達.

2000年英國國家數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容包括：數(shù)與代數(shù)（使用和應(yīng)用數(shù)與代數(shù)，數(shù)與數(shù)系，計算，解數(shù)的問題，處理、表示和解釋數(shù)據(jù)，方程、公式和恒等式，數(shù)列、函數(shù)和圖像）；形狀、空間和測量（使用和應(yīng)用形狀、空間和測量，理解形狀的模式和性質(zhì)，理解位置和運動的性質(zhì)，理解測量，幾何推理，變換與坐標(biāo)，測量與作圖）；數(shù)據(jù)處理（使用和應(yīng)用數(shù)據(jù)，明確問題和制定計劃，收集數(shù)據(jù)，處理表示和解釋數(shù)據(jù)，解釋和討論結(jié)果）.

我國的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容集中在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能和邏輯推理上，講究學(xué)科內(nèi)容覆蓋的全面、層層遞進和知識體系的完備，這是培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力的內(nèi)在要求. 美國和英國的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容聯(lián)系實際生活經(jīng)驗，注重實用性，建立在學(xué)生的實驗與操作的基礎(chǔ)之上，要求學(xué)生進行數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)應(yīng)用和問題解決.

2.4教材結(jié)構(gòu)體系

我們以中英兩國的數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)體系（見上圖）為例，我國的數(shù)學(xué)教材（蘇教版）每個課題的課時較多，前后聯(lián)系，由定理、公理構(gòu)成演繹體系，綜合難度高. 英國的數(shù)學(xué)教材（EXTER 大學(xué)“數(shù)學(xué)教學(xué)改革中心”的MEP 試驗教材.）側(cè)重數(shù)學(xué)的實用性和經(jīng)驗性，每個課題的課時較少，聯(lián)系不強，不深挖掘，綜合難度低.endprint

2.5課堂教學(xué)方式

在一節(jié)典型的中國數(shù)學(xué)課堂上，教師根據(jù)自己對課堂的精心設(shè)計有條不紊地講解概念和例題，學(xué)生全神貫注地聽講，理解概念，根據(jù)教師的示范和要求進行解題訓(xùn)練，講究一題多變、一題多解，即我們通常所說的“變式教學(xué)”，學(xué)生在“變與不變”中加深對概念的理解，強化對知識點之間的聯(lián)系的認識以及對方法、技巧的掌握等，從而他們的演繹推理能力不斷提高.

在一節(jié)典型的日本數(shù)學(xué)課堂上，教師通常出示一個復(fù)雜的問題，要求學(xué)生獨立地尋求各種不同的解法，然后進行小組討論， 接著由教師和學(xué)生一起對各種解法的優(yōu)缺點進行分析，這樣做的目的提高學(xué)生的演繹推理和問題解決能力.

在一節(jié)典型的美國數(shù)學(xué)課堂上，常常由教師先給出實驗和操作的要求，然后學(xué)生進行操作、實驗、探究和交流，或者教師給出某類問題的解法，然后學(xué)生練習(xí)一批類似的問題，整個課堂集中于學(xué)生通過實驗達到對事實和程序的掌握.

2.6關(guān)于概念理解

我國的數(shù)學(xué)課程力求從原理的角度來描述和分析數(shù)學(xué)概念，證明相關(guān)定理、性質(zhì)、公式和結(jié)論，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上獲得概念. 英國的學(xué)生在老師的指導(dǎo)下完成操作，觀察模式，歸納出相關(guān)概念，但這只是歸納，學(xué)生并不知道為什么. 英國學(xué)生的概念理解側(cè)重于對事實和程序的記憶，而我國學(xué)生一般需要理解概念的內(nèi)涵和外延. 這一差異也是由兩國對數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性和演繹性的不同側(cè)重決定的.

2.7關(guān)于技能訓(xùn)練

看一個關(guān)于教師對數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的看法的國際性的調(diào)查問卷，問題是：“你希望學(xué)生在這堂課主要學(xué)到什么東西？”統(tǒng)計結(jié)果見下表：

美國和德國教師重視數(shù)學(xué)技能，而日本教師重視數(shù)學(xué)思維， 有理由相信如果將中國教師納入調(diào)查對象，結(jié)果也會與日本相似. 這與東西方對數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同側(cè)重有著直接的關(guān)系.

一般認為數(shù)學(xué)技能包含兩種：操作性技能和認知性技能. 操作性數(shù)學(xué)技能是指在頭腦外部通過肌體活動來實現(xiàn)的動作，其活動對象是物質(zhì)化的客體，是一種外顯活動. 認知性數(shù)學(xué)技能是指頭腦中的數(shù)學(xué)智力活動，其活動對象不是具有一定物質(zhì)形式的客體，而是這種客體在頭腦中的映象，因而是一種觀念性的活動. 西方側(cè)重數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性，聚焦操作性數(shù)學(xué)技能，如使用計算工具（計算機等）、統(tǒng)計、測量、作圖等，我國比較側(cè)重數(shù)學(xué)的演繹性，聚焦認知性數(shù)學(xué)技能，如運算，式的恒等變換，解不等式，推理論證等.

2.8關(guān)于問題解決

中國數(shù)學(xué)課程中的問題解決具有以下特征：一般沒有實際背景；涉及連續(xù)的、環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學(xué)推理；需要學(xué)生主動地挖掘隱含的信息；知識的綜合程度高，要求學(xué)生主動建立概念、命題之間的聯(lián)系；可以分解為一系列的基本命題的組合，也可以通過局部調(diào)整產(chǎn)生各種新的變式題，因此題型的積累與相應(yīng)的解題經(jīng)驗非常重要；技巧性高，要求解題者熟練掌握雙基，從而把注意力集中在尋找解題策略上；需要較長的解題時間，高度集中的注意力，較強的意志力和較高的自信心；對智力是一個挑戰(zhàn)，絕大多數(shù)解題者都會遇到各種困難，許多人會遭受失??；一旦獲解，則會產(chǎn)生極大的滿足感；背景簡單、清晰，一般不需要運用日常生活的實際經(jīng)驗.

英國數(shù)學(xué)課程中的問題解決具有以下特征：通常具有實際或具體的背景；一般不涉及推理，或者只要求一步推理；題目中一般都包含有解題所需的全部信息，很少要求學(xué)生自己去挖掘除基本概念以外的隱含條件；一道題目一般只涉及單個知識點，較少要求學(xué)生去建立不同概念之間的聯(lián)系；不必擔(dān)心會因為信息的繁雜而顧此失彼；不同的題目之間缺少聯(lián)系，很少出現(xiàn)相互組合、或者相互化歸的情形；題型的積累與解題的經(jīng)驗并不重要；解題進程通常是單一方向的，即從條件到結(jié)論； 一般都有現(xiàn)成的解題程序，學(xué)生很少面臨解題思路的抉擇與調(diào)整；一般只需要幾分鐘就能解決問題；不同水平的學(xué)生通常有不同的要求，因此，絕大多數(shù)學(xué)生都不會遇到太多的解題障礙；背景的復(fù)雜性常常超過數(shù)學(xué)本身的復(fù)雜性.

總的來說，數(shù)學(xué)本身正以前所未有的“純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，邏輯演繹與實驗歸納”相統(tǒng)一的方向發(fā)展. 這表明，數(shù)學(xué)教育改革也應(yīng)順應(yīng)時代的發(fā)展，在“兩極”之間尋求最佳的動態(tài)平衡.endprint