寶劍鋒從磨礪出梅花香自苦寒來

1問題的提出

只要在教學第一線，就可能遇到這樣的窘境：當學生的課堂活動呈現(xiàn)一片繁榮，教學活動正在老師的指導下，井然有序、熱熱鬧鬧朝著預設的軌道前進時，突然半路殺出個“程咬金”——有同學突然冒出一句與教學預設完全不一致，但又帶著“金子般閃光”的“意外”發(fā)言——打斷你，若對這“意外”發(fā)言給予重視，勢必打亂整個課堂預設；若斷然否定置之不理，或搪塞過關，不但會輕易錯過一個“千里難尋”的適合學生思維發(fā)展與創(chuàng)新的教學契機，而且還會嚴重挫傷學生的積極性和創(chuàng)造性，到底如何是好？筆者在引導高二學生進行學業(yè)水平考試復習時，在復習“函數(shù)應用”的一節(jié)課上就遇到過這樣的突然襲擊，“尷尬”不期而至，感受頗深，現(xiàn)整理成文，以饗讀者.

2課堂探究的心路歷程

題目如圖1，△OAB是邊長為2的正三角形，設△OAB位于直線x=t（t>0）右側的圖形的面積為f（t）.試求函數(shù)f（t）的解析式.

圖1本題是一道以求函數(shù)解析式為知識目標的習題，在解題過程中，可以訓練學生觀察、思考、分析問題的能力，由形的變化得出數(shù)的結論，由圖形的運動變化得出不同的數(shù)學表達式，很自然地寓數(shù)形結合、分類討論于解題之中，使學生在不經意間經歷了一次運用聯(lián)系、變化的辯證觀點審視事物發(fā)展的過程.

解因為△OAB是邊長為2的正三角形，設△OAB位于直線x=t（t>0）右側的圖形的面積為f（t），所以易求得陰影三角形的面積為32t2，因而f（t）=3-32t2（0

32（t-2）2（1

本想以此題為例，引導學生復習函數(shù)應用及數(shù)學建模思想等，不料卻引來了一堂探究性復習課.從該題出發(fā)，通過對該題的變式和類比探究，經過師生的共同努力，進行了一次生動的復習課探究，現(xiàn)將課堂探究的心路歷程呈現(xiàn)如下：

解完之后，學生1提出：若將直線x=t（t>0）變?yōu)橹本€y=t（t>0），如何求解呢？是否還有類似的結論呢？

探究1如圖2，△OAB是邊長為2的正三角形，設△OAB位于直線y=t（t>0）下方的圖形的面積為f（t）.試求函數(shù)f（t）的解析式.

圖2筆者思索了片刻并肯定了這位同學的猜想.要求大家小組合作探究，并請同學將小組合作的成果展現(xiàn)給大家.

事實上，由題意可知B（1，3），且點B到直線y=t的距離為3-t，而陰影三角形的底邊長為2-233t，所以f（t）=3-12（3-t）（2-233t）=-33t2+2t（0

探究1剛一結束，學生2又大膽提出：上面兩題都是用平行于坐標軸的直線去截這個三角形，如果用一條不與坐標軸平行的直線再去截這個三角形，其結果又如何呢？

圖3探究2如圖3，△OAB是邊長為2的正三角形，設△OAB位于直線y=-33x+t（t>0）右上方的圖形的面積為f（t）.試求函數(shù)f（t）的解析式.

如何求解呢？經過同學們的合作探究后發(fā)現(xiàn)：該問題與原問題在求解過程上是不完全一樣的，但在本質上沒有太大的變化，因為直線y=-33x+t與直線OB是垂直的.于是就有：

因為點O到直線y=-33x+t的距離為32t，直線y=-33x+t在x正半軸上的截距為3t，易求得陰影三角形面積S=338t2，所以

f（t）=3-338t2（0

32（t=233），

38（4-3t）2（233

在師生的共同努力下，探究2迎刃而解.

正當筆者飽受豐收之悅，準備收兵之計，又有同學在下面大聲的爭論著：上面的直線與OB是垂直的，當直線與OB不垂直時，結果怎樣呢？于是又提出如下問題，并進行了緊張的探究過程…….

評注學生提出的問題是在課前預設中沒有想到的.遇到學生這樣的突然“發(fā)難”，筆者茫茫然，只能緊隨著學生一起“艱難”的一步步的探究著、思索著…….充分彰顯了課堂預設與生成的精彩瞬間.

探究3如圖4，△OAB是邊長為2的正三角形，設△OAB位于直線y=-x+t（t>0）右上方的圖形的面積為f（t）.試求函數(shù)f（t）的解析式.

師：這位同學的想法很好！想象力和聯(lián)想力特別豐富.結果到底如何呢？那我們大家一起再來探討吧！

圖4問題剛一提出，由探究2的討論過程，學生3馬上給出了如下的探究過程（經過師生共同整理）.

事實上，容易求得直線y=-x+t與直線OB交點坐標為（t3+1，3t3+1），直線y=-x+t在x正半軸上的截距為t，因而當00）右上方的圖形面積為32（t-1-3）2，所以

f（t）=3-34t2+3（0

32（t-1-3）2（2≤t<3+1）.

評注本題的解決較前面的問題要稍難些，因為所得三角形不再是直角三角形，具有一般性.

討論到這里，同學們的興趣更高了，有的同學提出可以把直線再一般化.筆者順勢將問題布置下去，有興趣的同學可以在課下繼續(xù)探究…….

當探究3完成之后，課堂時間已經過半，本來計劃完成3道例題的講解，基于此題，又和學生共度了余下的時光，共同演繹了“生成與預設”的和諧統(tǒng)一.

師：上面的探究是在原問題基礎上在同一平面內進行的變式研究.能否利用類比推理，從平面推廣到空間呢？若能，又如何求解呢？

問題剛一出來，同學們就議論開了，學生4馬上提出：

探究4如圖5，四面體ABCD是棱長為2的正四面體，設點B到平行于側面ACD的截面△OPQ的距離為t，設截面OPQ右側的幾何體的體積為f（t）.試求函數(shù)f（t）的解析式.

圖5師：這位同學提出的問題很好！下面就一起看一看這個問題到底如何解決吧？筆者首先讓學生分組協(xié)作，經過8分鐘左右的時間，很快有同學將問題解決，于是隨即邀請一位同學展示：

學生5：我的解法是這樣的，由于點B到平行于側面ACD的截面△OPQ的距離為t，所以由相似三角形性質易知△OPQ的邊長OP=PQ=OQ=2t3，而VB—OPQ=39t3，所以f（t）=223-39t3（0≤t≤3）.

隨著探究4的完成，同學們的探究熱情高漲，于是又有：如果點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t，設截面OPQ右側的幾何體的體積為f（t），此時f（t）的解析式又怎樣呢？

于是經過師生的共同探索提出了問題5：

探究5如圖6，四面體ABCD是邊長為2的正四面體，設點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t，設截面OPQ右側的幾何體的體積為f（t）.試求函數(shù)f（t）的解析式.

圖6當探究5出來以后，同學們馬上投入到緊張的探究之中，大約過了10分鐘左右的時間，沒有一個同學做出答案來.又過去了5分鐘左右，有的同學做出來了，但結果卻不一樣，他們在下面爭論著：“我沒有解錯呀”？“我也沒解錯呀”？“那為什么我們的答案卻不一樣呢？難道是題目錯了？還是我們的解法……”？這時下課時間快到了.

師：為了能達到探究的目的，筆者進行了適時的引導：我們來分析一下，實際上，到截面距離為t且垂直底面BCD的截面有無數(shù)個，隨著傾斜程度的不同，隨處都可以滿足到截面OPQ的距離為t，因此函數(shù)f（t）是不確定的，當然大家求出的結果不一樣了.再者，平面OPQ是轉動的，在空間的任何位置都可以找到滿足條件的平面，因此本題是沒有確定答案的.從命題學的角度來說，此題應該是一道錯題.雖然這是一道錯題，但能提出問題應該是了不起的，至少他想到了，往往提出問題比解決問題更難.

至此，對本題的探究還在繼續(xù)，有的同學在思考，再添加什么樣的條件就能使答案確定了呢？…….

師：通過對本題的橫向變式和縱向類比探究，進一步培養(yǎng)了學生的數(shù)形結合、分類討論和類比推理能力，從而充分發(fā)揮了典型習題探究的教學功能.

探究4和探究5是在老師的引導下學生自己提出的，這樣不僅可以培養(yǎng)學生提出問題和解決問題的能力，同時還能提高學生類比、聯(lián)想能力.上述兩個問題不只是平面到空間的簡單類比，在問題解決的過程中遇到許多新問題，從面積計算到體積計算的轉化，培養(yǎng)了學生空間想象能力和邏輯推理能力.特別是探究5的提出，對學生的探究能力要求較高，而這些問題的解決又有利于提高學生的探究能力和創(chuàng)新意識等.

評注這些類比遷移，是筆者受到學生問題的啟發(fā)，由平面三角形類比到空間四面體的，而在課堂預設中是沒有的，這些都充分說明了課堂教學是一個動態(tài)平衡過程.

3幾點感悟

3.1課堂教學需要預設

新課標指出，開放對應于封閉，生成對應于預設，教學是預設與生成、封閉與開放的矛盾統(tǒng)一體.“預則立，不預則廢”，預設是教學的基本要求.教學是有目標、有計劃的活動，教學的運行也需要一定的程序，并因此表現(xiàn)出相對的封閉性，也正是基于此，傳統(tǒng)教學過分強調預設和封閉，從而使課堂教學變得機械、沉悶和程式化，缺乏對智慧的挑戰(zhàn)和對好奇心的刺激，使師生的生命力在課堂中得不到充分發(fā)揮.

32預設與生成是一個和諧統(tǒng)一體

教學過程是師生交往、互動的過程，新課程的預設也就必須為師生交往、互動服務.學生不是雕刻家隨意塑造的作品，不是電視機前的無可奈何的觀眾，也不是簡單的學習活動的參與者，更不是完成學習任務的工具，而是具有主觀能動性的學習主體.學生作為學習活動中一種活生生的力量，帶著自己的知識、經驗、思考、靈感參與到課堂活動之中，使課堂變得豐富、多變和復雜.課堂教學不可能也不應該預先設定好所有的教學程式而機械地實施.

總之，在教學中如何應對學生提出的與課堂預設不相一致的問題，激發(fā)學生探究問題的熱情，是我們每一位老師都可能遇到的，教師要緊隨學生的思路，因勢利導地幫助學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，因而就要求教師具有較高的駕馭課堂的能力.在教學中，先給出問題的簡單情形，再把問題一步步深化，在學生不斷地提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的過程中讓學生感受到學習的快樂，并在師生的共同努力下將一個個問題攻破.這就是“寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來”.參考文獻

[1]劉瑞美.意外的生成有效的課堂[J].數(shù)學通訊，2011（12）.

[2]陳云贊.一堂“意外驚喜”的習題課[J].數(shù)學通報，2009（2）.

[3]袁偉忠.創(chuàng)設綠色數(shù)學課堂“生態(tài)環(huán)境”的教學嘗試[J].中學數(shù)學雜志，2007（3）.

[4]劉瑞美.由一道高考題引發(fā)的研究性學習[J].中學數(shù)學，2012（2）.

[5]劉瑞美.由一道習題引出的復習課探究[J].數(shù)學教學，2013（1）.endprint

圖5師：這位同學提出的問題很好！下面就一起看一看這個問題到底如何解決吧？筆者首先讓學生分組協(xié)作，經過8分鐘左右的時間，很快有同學將問題解決，于是隨即邀請一位同學展示：

學生5：我的解法是這樣的，由于點B到平行于側面ACD的截面△OPQ的距離為t，所以由相似三角形性質易知△OPQ的邊長OP=PQ=OQ=2t3，而VB—OPQ=39t3，所以f（t）=223-39t3（0≤t≤3）.

隨著探究4的完成，同學們的探究熱情高漲，于是又有：如果點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t，設截面OPQ右側的幾何體的體積為f（t），此時f（t）的解析式又怎樣呢？

于是經過師生的共同探索提出了問題5：

探究5如圖6，四面體ABCD是邊長為2的正四面體，設點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t，設截面OPQ右側的幾何體的體積為f（t）.試求函數(shù)f（t）的解析式.

圖6當探究5出來以后，同學們馬上投入到緊張的探究之中，大約過了10分鐘左右的時間，沒有一個同學做出答案來.又過去了5分鐘左右，有的同學做出來了，但結果卻不一樣，他們在下面爭論著：“我沒有解錯呀”？“我也沒解錯呀”？“那為什么我們的答案卻不一樣呢？難道是題目錯了？還是我們的解法……”？這時下課時間快到了.

師：為了能達到探究的目的，筆者進行了適時的引導：我們來分析一下，實際上，到截面距離為t且垂直底面BCD的截面有無數(shù)個，隨著傾斜程度的不同，隨處都可以滿足到截面OPQ的距離為t，因此函數(shù)f（t）是不確定的，當然大家求出的結果不一樣了.再者，平面OPQ是轉動的，在空間的任何位置都可以找到滿足條件的平面，因此本題是沒有確定答案的.從命題學的角度來說，此題應該是一道錯題.雖然這是一道錯題，但能提出問題應該是了不起的，至少他想到了，往往提出問題比解決問題更難.

至此，對本題的探究還在繼續(xù)，有的同學在思考，再添加什么樣的條件就能使答案確定了呢？…….

師：通過對本題的橫向變式和縱向類比探究，進一步培養(yǎng)了學生的數(shù)形結合、分類討論和類比推理能力，從而充分發(fā)揮了典型習題探究的教學功能.

探究4和探究5是在老師的引導下學生自己提出的，這樣不僅可以培養(yǎng)學生提出問題和解決問題的能力，同時還能提高學生類比、聯(lián)想能力.上述兩個問題不只是平面到空間的簡單類比，在問題解決的過程中遇到許多新問題，從面積計算到體積計算的轉化，培養(yǎng)了學生空間想象能力和邏輯推理能力.特別是探究5的提出，對學生的探究能力要求較高，而這些問題的解決又有利于提高學生的探究能力和創(chuàng)新意識等.

評注這些類比遷移，是筆者受到學生問題的啟發(fā)，由平面三角形類比到空間四面體的，而在課堂預設中是沒有的，這些都充分說明了課堂教學是一個動態(tài)平衡過程.

3幾點感悟

3.1課堂教學需要預設

新課標指出，開放對應于封閉，生成對應于預設，教學是預設與生成、封閉與開放的矛盾統(tǒng)一體.“預則立，不預則廢”，預設是教學的基本要求.教學是有目標、有計劃的活動，教學的運行也需要一定的程序，并因此表現(xiàn)出相對的封閉性，也正是基于此，傳統(tǒng)教學過分強調預設和封閉，從而使課堂教學變得機械、沉悶和程式化，缺乏對智慧的挑戰(zhàn)和對好奇心的刺激，使師生的生命力在課堂中得不到充分發(fā)揮.

32預設與生成是一個和諧統(tǒng)一體

教學過程是師生交往、互動的過程，新課程的預設也就必須為師生交往、互動服務.學生不是雕刻家隨意塑造的作品，不是電視機前的無可奈何的觀眾，也不是簡單的學習活動的參與者，更不是完成學習任務的工具，而是具有主觀能動性的學習主體.學生作為學習活動中一種活生生的力量，帶著自己的知識、經驗、思考、靈感參與到課堂活動之中，使課堂變得豐富、多變和復雜.課堂教學不可能也不應該預先設定好所有的教學程式而機械地實施.

總之，在教學中如何應對學生提出的與課堂預設不相一致的問題，激發(fā)學生探究問題的熱情，是我們每一位老師都可能遇到的，教師要緊隨學生的思路，因勢利導地幫助學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，因而就要求教師具有較高的駕馭課堂的能力.在教學中，先給出問題的簡單情形，再把問題一步步深化，在學生不斷地提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的過程中讓學生感受到學習的快樂，并在師生的共同努力下將一個個問題攻破.這就是“寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來”.參考文獻

[1]劉瑞美.意外的生成有效的課堂[J].數(shù)學通訊，2011（12）.

[2]陳云贊.一堂“意外驚喜”的習題課[J].數(shù)學通報，2009（2）.

[3]袁偉忠.創(chuàng)設綠色數(shù)學課堂“生態(tài)環(huán)境”的教學嘗試[J].中學數(shù)學雜志，2007（3）.

[4]劉瑞美.由一道高考題引發(fā)的研究性學習[J].中學數(shù)學，2012（2）.

[5]劉瑞美.由一道習題引出的復習課探究[J].數(shù)學教學，2013（1）.endprint

圖5師：這位同學提出的問題很好！下面就一起看一看這個問題到底如何解決吧？筆者首先讓學生分組協(xié)作，經過8分鐘左右的時間，很快有同學將問題解決，于是隨即邀請一位同學展示：

學生5：我的解法是這樣的，由于點B到平行于側面ACD的截面△OPQ的距離為t，所以由相似三角形性質易知△OPQ的邊長OP=PQ=OQ=2t3，而VB—OPQ=39t3，所以f（t）=223-39t3（0≤t≤3）.

隨著探究4的完成，同學們的探究熱情高漲，于是又有：如果點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t，設截面OPQ右側的幾何體的體積為f（t），此時f（t）的解析式又怎樣呢？

于是經過師生的共同探索提出了問題5：

探究5如圖6，四面體ABCD是邊長為2的正四面體，設點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t，設截面OPQ右側的幾何體的體積為f（t）.試求函數(shù)f（t）的解析式.

圖6當探究5出來以后，同學們馬上投入到緊張的探究之中，大約過了10分鐘左右的時間，沒有一個同學做出答案來.又過去了5分鐘左右，有的同學做出來了，但結果卻不一樣，他們在下面爭論著：“我沒有解錯呀”？“我也沒解錯呀”？“那為什么我們的答案卻不一樣呢？難道是題目錯了？還是我們的解法……”？這時下課時間快到了.

師：為了能達到探究的目的，筆者進行了適時的引導：我們來分析一下，實際上，到截面距離為t且垂直底面BCD的截面有無數(shù)個，隨著傾斜程度的不同，隨處都可以滿足到截面OPQ的距離為t，因此函數(shù)f（t）是不確定的，當然大家求出的結果不一樣了.再者，平面OPQ是轉動的，在空間的任何位置都可以找到滿足條件的平面，因此本題是沒有確定答案的.從命題學的角度來說，此題應該是一道錯題.雖然這是一道錯題，但能提出問題應該是了不起的，至少他想到了，往往提出問題比解決問題更難.

至此，對本題的探究還在繼續(xù)，有的同學在思考，再添加什么樣的條件就能使答案確定了呢？…….

師：通過對本題的橫向變式和縱向類比探究，進一步培養(yǎng)了學生的數(shù)形結合、分類討論和類比推理能力，從而充分發(fā)揮了典型習題探究的教學功能.

探究4和探究5是在老師的引導下學生自己提出的，這樣不僅可以培養(yǎng)學生提出問題和解決問題的能力，同時還能提高學生類比、聯(lián)想能力.上述兩個問題不只是平面到空間的簡單類比，在問題解決的過程中遇到許多新問題，從面積計算到體積計算的轉化，培養(yǎng)了學生空間想象能力和邏輯推理能力.特別是探究5的提出，對學生的探究能力要求較高，而這些問題的解決又有利于提高學生的探究能力和創(chuàng)新意識等.

評注這些類比遷移，是筆者受到學生問題的啟發(fā)，由平面三角形類比到空間四面體的，而在課堂預設中是沒有的，這些都充分說明了課堂教學是一個動態(tài)平衡過程.

3幾點感悟

3.1課堂教學需要預設

新課標指出，開放對應于封閉，生成對應于預設，教學是預設與生成、封閉與開放的矛盾統(tǒng)一體.“預則立，不預則廢”，預設是教學的基本要求.教學是有目標、有計劃的活動，教學的運行也需要一定的程序，并因此表現(xiàn)出相對的封閉性，也正是基于此，傳統(tǒng)教學過分強調預設和封閉，從而使課堂教學變得機械、沉悶和程式化，缺乏對智慧的挑戰(zhàn)和對好奇心的刺激，使師生的生命力在課堂中得不到充分發(fā)揮.

32預設與生成是一個和諧統(tǒng)一體

教學過程是師生交往、互動的過程，新課程的預設也就必須為師生交往、互動服務.學生不是雕刻家隨意塑造的作品，不是電視機前的無可奈何的觀眾，也不是簡單的學習活動的參與者，更不是完成學習任務的工具，而是具有主觀能動性的學習主體.學生作為學習活動中一種活生生的力量，帶著自己的知識、經驗、思考、靈感參與到課堂活動之中，使課堂變得豐富、多變和復雜.課堂教學不可能也不應該預先設定好所有的教學程式而機械地實施.

總之，在教學中如何應對學生提出的與課堂預設不相一致的問題，激發(fā)學生探究問題的熱情，是我們每一位老師都可能遇到的，教師要緊隨學生的思路，因勢利導地幫助學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，因而就要求教師具有較高的駕馭課堂的能力.在教學中，先給出問題的簡單情形，再把問題一步步深化，在學生不斷地提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的過程中讓學生感受到學習的快樂，并在師生的共同努力下將一個個問題攻破.這就是“寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來”.參考文獻

[1]劉瑞美.意外的生成有效的課堂[J].數(shù)學通訊，2011（12）.

[2]陳云贊.一堂“意外驚喜”的習題課[J].數(shù)學通報，2009（2）.

[3]袁偉忠.創(chuàng)設綠色數(shù)學課堂“生態(tài)環(huán)境”的教學嘗試[J].中學數(shù)學雜志，2007（3）.

[4]劉瑞美.由一道高考題引發(fā)的研究性學習[J].中學數(shù)學，2012（2）.

[5]劉瑞美.由一道習題引出的復習課探究[J].數(shù)學教學，2013（1）.endprint