“精致練習(xí)”促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念

1概念理解的過程和目前存在的問題

“促進(jìn)學(xué)生的理解，為理解而教”成為現(xiàn)代教與學(xué)研究的核心.由于數(shù)學(xué)基本上都是概念組成的，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“理解”主要是指“概念理解”.“概念理解”的具體說法不一，比如斯根普認(rèn)為，“對某個事物的理解，指的是將它同化進(jìn)入一個適當(dāng)?shù)膱D式之中.”（Skemp，1976）具體說，理解是在感知的基礎(chǔ)上，通過思維加工，把新學(xué)的內(nèi)容同化到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，或者改組擴大原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，把新學(xué)習(xí)的內(nèi)容概括進(jìn)去逐步達(dá)到認(rèn)識事物的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維活動[1].

我認(rèn)為“概念理解”是學(xué)生對所學(xué)概念不斷加深認(rèn)識、逐步完善、永無止境的累積過程.學(xué)生從學(xué)習(xí)一個新概念起，就開始進(jìn)入概念的理解，從觀察某一類事物的各種屬性，分化出他們的共同屬性，再概括、抽象出本質(zhì)屬性，形成概念，用符號表示概念，這是理解的初級階段，通常稱概念的形成.然后應(yīng)用概念分析、解決與概念有直接或間接關(guān)系的問題，進(jìn)入概念的應(yīng)用階段，這是概念的理解的第二個階段，這個階段從課堂一直延伸到課后.學(xué)生在應(yīng)用中逐步加深對于所學(xué)概念的理解.所以理解就是一個動態(tài)的、分水平的、反反復(fù)復(fù)的、永無止境的建構(gòu)過程.概念理解的層級性，與概念發(fā)展的抽象性、概念表征的多元性、學(xué)生個體心理發(fā)展水平、學(xué)習(xí)的次序性都有關(guān).基于新課程實施10年來課堂教學(xué)和課后練習(xí)的觀察，結(jié)合與數(shù)學(xué)教師的訪談，我們發(fā)現(xiàn)大家對于概念的形成階段比較重視，包括情境創(chuàng)設(shè)、概念建構(gòu)和形成，但是對于提供適當(dāng)?shù)木毩?xí)來促進(jìn)學(xué)生對概念的理解做法隨意性比較強，精致性不夠，影響學(xué)生對概念的理解.為此我結(jié)合自身教學(xué)實踐談三點做法供大家參考.

2“精致練習(xí)”促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的三種做法

2.1精準(zhǔn)制導(dǎo)：目標(biāo)與評估材料相一致

由美國人工智能專家和心理學(xué)家安德森（John R.Anderson）等人創(chuàng)立的ACT—R＼[思維適應(yīng)性控制（adaptive control of thought）＼]理論在國際心理學(xué)界獨樹一幟.他們的基本觀點是：復(fù)雜認(rèn)知是有相對簡單的知識單元組成的，而這些知識單元則是通過相對簡單的原理獲得的[2].在ACT—R理論中，概念理解指擁有高度可用的陳述性信息塊和產(chǎn)生式規(guī)則的龐大網(wǎng)絡(luò)，用于靈活解決包含概念的不同背景的問題.ACT—R理論承認(rèn)概念的理解有頓悟的部分，但更多的是長期積累的結(jié)果，正是理解的“累積過程”決定理解必須要有一個“熟能生巧”的過程.與中國的“學(xué)而時習(xí)之”，“溫故而知新”是一致的

“熟能生巧”必須為學(xué)生提供必要的訓(xùn)練，但這并不等于說練習(xí)的次數(shù)越多越好，這有一個臨界值，超過這個臨界值可能會“孰能生笨”.因此只有“精致的練習(xí)”（deliberate practice）才能導(dǎo)致真正的學(xué)習(xí)和理解.精致練習(xí)就是指有良好的動機、接受有意義的反饋及仔細(xì)的、不斷的指導(dǎo)與反饋[3].編寫精致練習(xí)（課題和課后練習(xí)）一定是從一個單元的目標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃、詳細(xì)分解（依據(jù)學(xué)生個體學(xué)習(xí)情況、概念理解階段）.目標(biāo)分解越具體，評估材料就越有針對性.在計劃安排每一個練習(xí)材料時，都要問自己“這個問題到底能促進(jìn)學(xué)生對問題的哪方面的理解？”并隨時關(guān)注學(xué)生的反饋情況，對學(xué)生的反饋給予及時評價.

案例1幾何概型（人教版必修3第三章第二單元）.本節(jié)課的總目標(biāo)是：理解幾何概型的概念，會用幾何概型的公式求解問題，從而學(xué)會估計與判斷.對于每一項子目標(biāo)我都設(shè)計相關(guān)的問題來評價學(xué)生理解的程度（參照布盧姆的認(rèn)知目標(biāo)分類表）.

判斷例3：甲乙兩人相約在7：00到8：00之間會面，約定先到者等候另一人一刻鐘，這時可以離去，試求兩人能會面的概率.該題不容易識別出是一個二維幾何概型，要想從眾多的數(shù)據(jù)中找到關(guān)鍵數(shù)據(jù)，判斷是幾何概型，然后才能應(yīng)用公式求解.2.2用進(jìn)廢退：適當(dāng)提高問題的難度

適當(dāng)提高問題的難度有著生理基礎(chǔ)和心理基礎(chǔ)，首先人的大腦有著非常的加工能力，大腦不停地進(jìn)行知覺登記（每小時超過36000個視覺刺激），監(jiān)控我們的生命特征（心臟、激素水平、呼吸消化），不斷更新現(xiàn)狀（匹配新的學(xué)習(xí)和已有表征[4]）.從神經(jīng)生物學(xué)的角度看對于某些任務(wù)，如果人們不斷進(jìn)行長期訓(xùn)練和反復(fù)練習(xí)，大腦便會為這些任務(wù)分配額外的神經(jīng)元，這就像計算機會給復(fù)雜程序分配更多的記憶內(nèi)存一樣.這些額外分配的神經(jīng)元或多或少被永久地保留下來.例如專業(yè)鍵盤手或弦樂師擁有更多的運動皮層來控制手指和手部的運動.如果訓(xùn)練完全停止，不再被使用的神經(jīng)元最終會分配給其他任務(wù)，技巧的熟練程度就會隨之降低.換言之，用進(jìn)廢退[5].

從心理角度說學(xué)生更愿意在挑戰(zhàn)中獲得興奮和成功感覺，因此我們的訓(xùn)練材料適當(dāng)提高難度，有利于學(xué)生對所學(xué)問題的掌握.提高難度并不是把高三復(fù)習(xí)題直接放在高一、高二用.而是用好以下兩點：第一是注意問題的多元表征；第二是把高三學(xué)生應(yīng)該達(dá)到的難度進(jìn)行分解前移.

表征是用某一種形式將事物和想法重新表現(xiàn)出來，以達(dá)到交流的目的；當(dāng)其所表現(xiàn)的意義能切實掌握后，表征可進(jìn)一步地成為思維的材料，從而簡化解題過程.根據(jù)信息加工理論，表征就是以一物代替另一物.

數(shù)學(xué)概念的層級性決定數(shù)學(xué)概念表征的多層性、多樣性.同一個數(shù)學(xué)概念可以用符號、語言、圖形、操作等方面認(rèn)知它，這是學(xué)生理解概念遇到的一個困難，其次是學(xué)生不能夠熟練地在不同表征之間相互轉(zhuǎn)換，在新問題情境中識別概念的表征.萊什等人（Lesh，R.1987）認(rèn)為學(xué)生必須具備下列條件才算了解一個概念：（1）他必須將此概念放入到不同的表征系統(tǒng)中；（2）在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)，他必須能很有彈性的處理這個概念；（3）他必須很精確地將此概念從一個表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個表征系統(tǒng)[6].為達(dá)到這個目的，我認(rèn)為對于數(shù)學(xué)概念、公式、法則，要注意在數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式上的變化（變式教學(xué)一部分），讓學(xué)生在經(jīng)歷“化生為熟”的過程中學(xué)會識別數(shù)學(xué)對象的實質(zhì).只要教師有這個意識，就會在平時教學(xué)中時時用，堅持下來你的學(xué)生的概念表征就會豐富，轉(zhuǎn)換就會靈活.endprint

比如對等比數(shù)列{an}，學(xué)生習(xí)慣于an+1an=3形式，你就故意變形以下不同形式：數(shù)列①3an=an-1（n≥2）；②3an+an-1=0（n≥2）；③a2n=an-1·an+1（n≥2）…

又例如已知x，y∈R+，8y+1x=1，求x+y的最小值問題，學(xué)生比較熟悉解法：x+y=（x+y）（8y+1x）=…），我把條件8y+1x=1換成8x+y-xy=0，看學(xué)生能否識別.

把學(xué)生在高三應(yīng)達(dá)到的難度合理分解前移到高一、高二，要求教師對高中三年數(shù)學(xué)知識、教學(xué)進(jìn)程、學(xué)生水平發(fā)展非常熟悉，做好難度分解實施計劃.

案例2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的三個難點和難點在高一、高二的分解：難點所在分解教學(xué)階段題目樣例1.求單調(diào)區(qū)間時，分類討論不全必修1：二次函數(shù)、冪函數(shù)圖象

必修5：解一元二次不等式，

選修2-1：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解不等式：x2-（2a+1）x+a（a+1）≥0.2.在求參數(shù)范圍時，不會把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化必修1：二次函數(shù)、冪函數(shù)圖象，

必修4：三角函數(shù)圖像和性質(zhì)f（x）=sinx+3cosx=k在[-π2，π2]上有解，

求k的取值范圍3.不能夠結(jié)合函數(shù)草圖研究函數(shù)變化趨勢必修1，必修4，必修5涉及函數(shù)圖像問題研究函數(shù)f（x）=x+sinx的性質(zhì)2.3集腋成裘：建構(gòu)自己的微單元網(wǎng)

老師和學(xué)生在解決問題上比較大的差距是老師腦子里有明確的知識結(jié)構(gòu)圖和解決問題的思路（求解路線）.因此讓學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)圖（概念地圖）是促進(jìn)學(xué)生深刻理解知識和靈活、熟練解決問題的有效方法，概念圖（concept map）最早是在20世紀(jì)60年代由美國康奈爾大學(xué)的諾瓦克（Joseph D.Novak）教授等人提出的.是指利用圖示的方法來表達(dá)人們頭腦中的概念、思想、理論等，把人腦中的隱性知識顯性化、可視化，便于人們思考、交流與表達(dá).但是概念圖不是簡單的知識的羅列（學(xué)生常見情況：單元目錄、公式的羅列），關(guān)鍵是在理解的基礎(chǔ)上建立概念間的聯(lián)系，聯(lián)結(jié)越深，學(xué)生理解越好.概念圖不能期望學(xué)生在學(xué)完一部分知識后馬上就能建立起來，這需要教師在設(shè)計教學(xué)時，埋下種子，幫助學(xué)生建構(gòu)一個個“微單元網(wǎng)”，積少成多，集腋成裘.

案例3在學(xué)完橢圓單元.我給學(xué)生一個開放性問題：你有哪種方式得到一個橢圓？第二天你看學(xué)生得到結(jié)論：

（1）圓錐（或圓柱）的截口曲線（見人教A版教材P41，證明用Dandelin球，回歸定義），

（2）橢圓的第一定義（見教材P36），

（3）由圓壓縮（或拉伸）而成（見教材P39例2，由此可推得很多結(jié)論，比如橢圓的面積S=πab，過橢圓上一點的切線方程等），

（4）平面內(nèi)到兩個定點A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之積是λ（λ<0，且λ≠-1）的點的軌跡（見教材P39例3），

（5）橢圓的第二定義（見教材P45例6），

（6）圓內(nèi)中垂線說（見教材P47A組練習(xí)7），

（7）內(nèi)切于已知圓的動圓圓心說（比如：動圓P經(jīng)過點B（0，3）且與圓A：x2+（y+3）2=100內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程[7]）.

這個問題引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，訓(xùn)練了求軌跡方程的方法（直接法、定義法，待定系數(shù)法、相關(guān)點法）.微單元網(wǎng)建成了！前面所給橢圓單元設(shè)計的研究方法、也是一個“微單元網(wǎng)”.

案例4均值不等式的多種形式：

除了建構(gòu)“微單元網(wǎng)”，另一個加深學(xué)生理解的方法就是讓學(xué)生在學(xué)完一章后寫單元總結(jié)（或小論文）.一開始學(xué)生不會寫，老師要進(jìn)行指導(dǎo)，但一定要堅持，時間長了學(xué)生就會找到感覺.參考文獻(xiàn)

[1][2][3]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程＼[M＼].上海：上海教育出版社，2009.10：80，90，129～131.

[4]（美）E.詹森著，梁平譯.基于腦的學(xué)習(xí)：教學(xué)與訓(xùn)練的新科學(xué)（修訂版）＼[M＼].上海：華東師范大學(xué)出版社，2007.11：12.

[5][美]Davida.sousa.認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)與學(xué)習(xí)國家重點實驗室腦與教育應(yīng)用研究中心譯：《腦與學(xué)習(xí)》＼[M＼].北京：中國輕工業(yè)出版社，2005.78.

[6]Lesh，R.&Post，T.&Behr，M.Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving.InJanvier，C.（ed.）Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics＼[M＼].Lawrence Eelbaum Associates，1987.

[7]夏繁軍.給高三復(fù)習(xí)材料加點“創(chuàng)新”成分＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（3）.

作者簡介夏繁軍，男，山東泰安人，1968年12月生，中學(xué)高級教師，省級教學(xué)能手、骨干教師，省中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎.主要研究教學(xué)設(shè)計、解題教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí).現(xiàn)已發(fā)表論文50多篇，主編《課程標(biāo)準(zhǔn)校本化實施（中學(xué)數(shù)學(xué)卷）》.endprint

比如對等比數(shù)列{an}，學(xué)生習(xí)慣于an+1an=3形式，你就故意變形以下不同形式：數(shù)列①3an=an-1（n≥2）；②3an+an-1=0（n≥2）；③a2n=an-1·an+1（n≥2）…

又例如已知x，y∈R+，8y+1x=1，求x+y的最小值問題，學(xué)生比較熟悉解法：x+y=（x+y）（8y+1x）=…），我把條件8y+1x=1換成8x+y-xy=0，看學(xué)生能否識別.

把學(xué)生在高三應(yīng)達(dá)到的難度合理分解前移到高一、高二，要求教師對高中三年數(shù)學(xué)知識、教學(xué)進(jìn)程、學(xué)生水平發(fā)展非常熟悉，做好難度分解實施計劃.

案例2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的三個難點和難點在高一、高二的分解：難點所在分解教學(xué)階段題目樣例1.求單調(diào)區(qū)間時，分類討論不全必修1：二次函數(shù)、冪函數(shù)圖象

必修5：解一元二次不等式，

選修2-1：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解不等式：x2-（2a+1）x+a（a+1）≥0.2.在求參數(shù)范圍時，不會把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化必修1：二次函數(shù)、冪函數(shù)圖象，

必修4：三角函數(shù)圖像和性質(zhì)f（x）=sinx+3cosx=k在[-π2，π2]上有解，

求k的取值范圍3.不能夠結(jié)合函數(shù)草圖研究函數(shù)變化趨勢必修1，必修4，必修5涉及函數(shù)圖像問題研究函數(shù)f（x）=x+sinx的性質(zhì)2.3集腋成裘：建構(gòu)自己的微單元網(wǎng)

老師和學(xué)生在解決問題上比較大的差距是老師腦子里有明確的知識結(jié)構(gòu)圖和解決問題的思路（求解路線）.因此讓學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)圖（概念地圖）是促進(jìn)學(xué)生深刻理解知識和靈活、熟練解決問題的有效方法，概念圖（concept map）最早是在20世紀(jì)60年代由美國康奈爾大學(xué)的諾瓦克（Joseph D.Novak）教授等人提出的.是指利用圖示的方法來表達(dá)人們頭腦中的概念、思想、理論等，把人腦中的隱性知識顯性化、可視化，便于人們思考、交流與表達(dá).但是概念圖不是簡單的知識的羅列（學(xué)生常見情況：單元目錄、公式的羅列），關(guān)鍵是在理解的基礎(chǔ)上建立概念間的聯(lián)系，聯(lián)結(jié)越深，學(xué)生理解越好.概念圖不能期望學(xué)生在學(xué)完一部分知識后馬上就能建立起來，這需要教師在設(shè)計教學(xué)時，埋下種子，幫助學(xué)生建構(gòu)一個個“微單元網(wǎng)”，積少成多，集腋成裘.

案例3在學(xué)完橢圓單元.我給學(xué)生一個開放性問題：你有哪種方式得到一個橢圓？第二天你看學(xué)生得到結(jié)論：

（1）圓錐（或圓柱）的截口曲線（見人教A版教材P41，證明用Dandelin球，回歸定義），

（2）橢圓的第一定義（見教材P36），

（3）由圓壓縮（或拉伸）而成（見教材P39例2，由此可推得很多結(jié)論，比如橢圓的面積S=πab，過橢圓上一點的切線方程等），

（4）平面內(nèi)到兩個定點A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之積是λ（λ<0，且λ≠-1）的點的軌跡（見教材P39例3），

（5）橢圓的第二定義（見教材P45例6），

（6）圓內(nèi)中垂線說（見教材P47A組練習(xí)7），

（7）內(nèi)切于已知圓的動圓圓心說（比如：動圓P經(jīng)過點B（0，3）且與圓A：x2+（y+3）2=100內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程[7]）.

這個問題引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，訓(xùn)練了求軌跡方程的方法（直接法、定義法，待定系數(shù)法、相關(guān)點法）.微單元網(wǎng)建成了！前面所給橢圓單元設(shè)計的研究方法、也是一個“微單元網(wǎng)”.

案例4均值不等式的多種形式：

除了建構(gòu)“微單元網(wǎng)”，另一個加深學(xué)生理解的方法就是讓學(xué)生在學(xué)完一章后寫單元總結(jié)（或小論文）.一開始學(xué)生不會寫，老師要進(jìn)行指導(dǎo)，但一定要堅持，時間長了學(xué)生就會找到感覺.參考文獻(xiàn)

[1][2][3]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程＼[M＼].上海：上海教育出版社，2009.10：80，90，129～131.

[4]（美）E.詹森著，梁平譯.基于腦的學(xué)習(xí)：教學(xué)與訓(xùn)練的新科學(xué)（修訂版）＼[M＼].上海：華東師范大學(xué)出版社，2007.11：12.

[5][美]Davida.sousa.認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)與學(xué)習(xí)國家重點實驗室腦與教育應(yīng)用研究中心譯：《腦與學(xué)習(xí)》＼[M＼].北京：中國輕工業(yè)出版社，2005.78.

[6]Lesh，R.&Post，T.&Behr，M.Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving.InJanvier，C.（ed.）Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics＼[M＼].Lawrence Eelbaum Associates，1987.

[7]夏繁軍.給高三復(fù)習(xí)材料加點“創(chuàng)新”成分＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（3）.

作者簡介夏繁軍，男，山東泰安人，1968年12月生，中學(xué)高級教師，省級教學(xué)能手、骨干教師，省中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎.主要研究教學(xué)設(shè)計、解題教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí).現(xiàn)已發(fā)表論文50多篇，主編《課程標(biāo)準(zhǔn)校本化實施（中學(xué)數(shù)學(xué)卷）》.endprint

比如對等比數(shù)列{an}，學(xué)生習(xí)慣于an+1an=3形式，你就故意變形以下不同形式：數(shù)列①3an=an-1（n≥2）；②3an+an-1=0（n≥2）；③a2n=an-1·an+1（n≥2）…

又例如已知x，y∈R+，8y+1x=1，求x+y的最小值問題，學(xué)生比較熟悉解法：x+y=（x+y）（8y+1x）=…），我把條件8y+1x=1換成8x+y-xy=0，看學(xué)生能否識別.

把學(xué)生在高三應(yīng)達(dá)到的難度合理分解前移到高一、高二，要求教師對高中三年數(shù)學(xué)知識、教學(xué)進(jìn)程、學(xué)生水平發(fā)展非常熟悉，做好難度分解實施計劃.

案例2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的三個難點和難點在高一、高二的分解：難點所在分解教學(xué)階段題目樣例1.求單調(diào)區(qū)間時，分類討論不全必修1：二次函數(shù)、冪函數(shù)圖象

必修5：解一元二次不等式，

選修2-1：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解不等式：x2-（2a+1）x+a（a+1）≥0.2.在求參數(shù)范圍時，不會把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化必修1：二次函數(shù)、冪函數(shù)圖象，

必修4：三角函數(shù)圖像和性質(zhì)f（x）=sinx+3cosx=k在[-π2，π2]上有解，

求k的取值范圍3.不能夠結(jié)合函數(shù)草圖研究函數(shù)變化趨勢必修1，必修4，必修5涉及函數(shù)圖像問題研究函數(shù)f（x）=x+sinx的性質(zhì)2.3集腋成裘：建構(gòu)自己的微單元網(wǎng)

老師和學(xué)生在解決問題上比較大的差距是老師腦子里有明確的知識結(jié)構(gòu)圖和解決問題的思路（求解路線）.因此讓學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)圖（概念地圖）是促進(jìn)學(xué)生深刻理解知識和靈活、熟練解決問題的有效方法，概念圖（concept map）最早是在20世紀(jì)60年代由美國康奈爾大學(xué)的諾瓦克（Joseph D.Novak）教授等人提出的.是指利用圖示的方法來表達(dá)人們頭腦中的概念、思想、理論等，把人腦中的隱性知識顯性化、可視化，便于人們思考、交流與表達(dá).但是概念圖不是簡單的知識的羅列（學(xué)生常見情況：單元目錄、公式的羅列），關(guān)鍵是在理解的基礎(chǔ)上建立概念間的聯(lián)系，聯(lián)結(jié)越深，學(xué)生理解越好.概念圖不能期望學(xué)生在學(xué)完一部分知識后馬上就能建立起來，這需要教師在設(shè)計教學(xué)時，埋下種子，幫助學(xué)生建構(gòu)一個個“微單元網(wǎng)”，積少成多，集腋成裘.

案例3在學(xué)完橢圓單元.我給學(xué)生一個開放性問題：你有哪種方式得到一個橢圓？第二天你看學(xué)生得到結(jié)論：

（1）圓錐（或圓柱）的截口曲線（見人教A版教材P41，證明用Dandelin球，回歸定義），

（2）橢圓的第一定義（見教材P36），

（3）由圓壓縮（或拉伸）而成（見教材P39例2，由此可推得很多結(jié)論，比如橢圓的面積S=πab，過橢圓上一點的切線方程等），

（4）平面內(nèi)到兩個定點A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之積是λ（λ<0，且λ≠-1）的點的軌跡（見教材P39例3），

（5）橢圓的第二定義（見教材P45例6），

（6）圓內(nèi)中垂線說（見教材P47A組練習(xí)7），

（7）內(nèi)切于已知圓的動圓圓心說（比如：動圓P經(jīng)過點B（0，3）且與圓A：x2+（y+3）2=100內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程[7]）.

這個問題引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，訓(xùn)練了求軌跡方程的方法（直接法、定義法，待定系數(shù)法、相關(guān)點法）.微單元網(wǎng)建成了！前面所給橢圓單元設(shè)計的研究方法、也是一個“微單元網(wǎng)”.

案例4均值不等式的多種形式：

除了建構(gòu)“微單元網(wǎng)”，另一個加深學(xué)生理解的方法就是讓學(xué)生在學(xué)完一章后寫單元總結(jié)（或小論文）.一開始學(xué)生不會寫，老師要進(jìn)行指導(dǎo)，但一定要堅持，時間長了學(xué)生就會找到感覺.參考文獻(xiàn)

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作者簡介夏繁軍，男，山東泰安人，1968年12月生，中學(xué)高級教師，省級教學(xué)能手、骨干教師，省中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎.主要研究教學(xué)設(shè)計、解題教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí).現(xiàn)已發(fā)表論文50多篇，主編《課程標(biāo)準(zhǔn)校本化實施（中學(xué)數(shù)學(xué)卷）》.endprint