用累加法解CMO數(shù)列試題

胡傳虎

(江蘇省淮安市范集中學(xué) 223215)

近期，筆者針對(duì)性閱讀與嘗試解答了2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(CMO)各省預(yù)賽試題中的數(shù)列題，發(fā)現(xiàn)有諸多題目可以用到累加法進(jìn)行求解.

1 對(duì)“累加法”的認(rèn)識(shí)

還記得，曾與同事們討論過(guò)“此處是否要檢驗(yàn)n=1？”盡管沒(méi)能達(dá)成一致意見(jiàn)，但筆者仍然認(rèn)為需要進(jìn)行檢驗(yàn)，文獻(xiàn)[2]也持有這樣的觀點(diǎn).盡管n=1的檢驗(yàn)在這里似乎沒(méi)有產(chǎn)生破壞性，但必須強(qiáng)調(diào)的是，在教材中an-an-1=d成立的前提是n≥2，這也符合等差數(shù)列的定義.另外，蘇教版教材中也進(jìn)行了檢驗(yàn).

關(guān)于累加法，在不同文獻(xiàn)中又有其他叫法.有稱“累差法”的，大概是因?yàn)椤爱?dāng)n≥2時(shí)，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)”中出現(xiàn)了n-1個(gè)作差的結(jié)構(gòu)；也有稱“疊加法”的，從相關(guān)文獻(xiàn)給出的定義來(lái)看與“累加法”是一致的，如“將一系列等式左右兩邊分別相加的解題方法叫疊加法……值得一提的是，一系列同向不等式亦可疊加”[3].

2 用累加法解CMO數(shù)列試題

本文例舉2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(CMO)各省預(yù)賽試題中的數(shù)列題，并試論如何構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)去使用累加法.

2.1 用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

例3(福建)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn-nan=n，n∈N*，且a2=3.

2017年CMO江西省預(yù)賽中，有一道題與例3第(2)問(wèn)相似，感興趣的讀者可以嘗試做一下：

2.2 用累加法證明數(shù)列不等式

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

例5(黑龍江)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

2018年CMO貴州省預(yù)賽中，有一道題可以試做一下：

2018年CMO廣東省預(yù)賽中，有一道題可以試做一下：

本文僅選擇幾道CMO數(shù)列試題去使用累加法，不足不到之處，還請(qǐng)大家不吝賜教.