中美初中“圓”內(nèi)容比較研究
——以浙教版、人教版、美國(guó)GMH教材為例

葉立軍 戚方柔

(杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教師教育學(xué)院 311121) (杭州師范大學(xué)理學(xué)院 311121)

1 問(wèn)題的提出

教材作為教學(xué)活動(dòng)的主要用書[1]，系統(tǒng)反映了學(xué)科內(nèi)容，利于數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)教材比較成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一．

“幾何”是初中數(shù)學(xué)中重要的教學(xué)內(nèi)容之一，研究空間結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)．“圓”作為幾何體系中不可或缺的部分，其有關(guān)知識(shí)在中美教材中占據(jù)了較大的比重，且兩國(guó)編寫教材時(shí)均對(duì)其邏輯性進(jìn)行了嚴(yán)密的分析．本文基于“圓”教材內(nèi)容，通過(guò)宏觀和微觀兩個(gè)角度對(duì)兩國(guó)教材進(jìn)行比較，探究?jī)蓢?guó)幾何教材的異同點(diǎn)，以期為我國(guó)初中數(shù)學(xué)課程改革提供參考．

2 研究對(duì)象

我們選擇了浙江教育出版社出版的初中數(shù)學(xué)義務(wù)教育教科書(以下簡(jiǎn)稱浙教版)、人民教育出版社出版的初中數(shù)學(xué)義務(wù)教育教科書(以下簡(jiǎn)稱人教版)和美國(guó)Glencoe McGraw-Hill出版社出版的初中數(shù)學(xué)教科書(以下簡(jiǎn)稱美國(guó)GMH教材)這三種教材作為研究對(duì)象，采用比較法和文獻(xiàn)研究法，分別從宏觀與微觀兩個(gè)角度，對(duì)三種教材中“圓”的內(nèi)容進(jìn)行定性、定量的分析與比較．

3 宏觀比較

3.1 背景信息比較

我們分別從章名稱、所屬教科書、出版社、內(nèi)容頁(yè)數(shù)和教材總頁(yè)數(shù)等背景信息，對(duì)三種教材中“圓”的內(nèi)容進(jìn)行比較，得到表1．

由表1，浙教版和人教版都將與圓有關(guān)的內(nèi)容安排在九年級(jí)，并分散在兩章，浙教版將直線與圓的位置關(guān)系放在九年級(jí)下冊(cè)進(jìn)行學(xué)習(xí)，人教版則將所有內(nèi)容放在九年級(jí)上冊(cè)；而美國(guó)GMH教材則將圓安排在八年級(jí)．

表1 圓內(nèi)容背景信息比較

3.2 章節(jié)編排順序比較

將三種教材中的圓內(nèi)容按章節(jié)編排順序進(jìn)行比較，結(jié)果如表2所示．

表2 圓內(nèi)容編排順序比較

由表2，浙教版和人教版按圖形的旋轉(zhuǎn)、圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系的順序進(jìn)行學(xué)習(xí)，浙教版將圖形的旋轉(zhuǎn)和圓的基本性質(zhì)歸為一章，直線與圓的位置關(guān)系在下一章中；人教版則將旋轉(zhuǎn)安排為單獨(dú)一章．美國(guó)GMH教材先安排了圓周長(zhǎng)、角度、弧度、弧、弦和切線等基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)而學(xué)習(xí)圓的基本性質(zhì)，并根據(jù)性質(zhì)做適當(dāng)拓展，最后將圓的方程安排在章末進(jìn)行學(xué)習(xí)，而關(guān)于多邊形和扇形等內(nèi)容，教材則單獨(dú)安排在下一章中．

3.3 核心知識(shí)點(diǎn)所占比重比較

根據(jù)圓有關(guān)知識(shí)點(diǎn)較多的特點(diǎn)，我們對(duì)三版教材中的核心知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行宏觀比較．核心知識(shí)點(diǎn)所占的比重主要指核心知識(shí)點(diǎn)所包含的節(jié)數(shù)、頁(yè)碼數(shù)分別占整章內(nèi)容的節(jié)數(shù)和頁(yè)碼數(shù)的比重，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3．

表3 核心知識(shí)點(diǎn)所占比重比較

由表3，三版教材的節(jié)數(shù)基本相同，但美國(guó)GMH教材的節(jié)比重和頁(yè)碼比重較少．從頁(yè)碼數(shù)來(lái)看，人教版的頁(yè)碼數(shù)最少，而浙教版的體例篇幅相對(duì)較長(zhǎng)．

4 微觀比較

4.1 知識(shí)呈現(xiàn)方式比較

我們對(duì)知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)方式進(jìn)行的分類見(jiàn)表4．

表4 知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)方式

根據(jù)表4的知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)方式比較模型[2]，我們選取圓心角定理和弧長(zhǎng)公式的呈現(xiàn)方式進(jìn)行比較，得到表5、表6．

由表5，在知識(shí)導(dǎo)入方面，浙教版和美國(guó)GMH教材選用了生活中的圓心角例子，讓學(xué)生產(chǎn)生直觀感受，可見(jiàn)兩版本教材都較注重聯(lián)系生活背景；在知識(shí)體驗(yàn)和知識(shí)講解上，浙教版和人教版設(shè)計(jì)了類似的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，從中可以看出兩版本教材對(duì)學(xué)生“自主探究、發(fā)現(xiàn)猜想、驗(yàn)證結(jié)論”的重視，而美國(guó)GMH教材則直接給出定義，缺少了理解性的體驗(yàn)；在知識(shí)表征上，三版教材均用了文字語(yǔ)言，所不同的是，美國(guó)GMH教材增加了具體的圖形例子幫助理解，并強(qiáng)調(diào)了弧、弦等數(shù)學(xué)語(yǔ)言的寫法，可見(jiàn)其對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)范的關(guān)注；最后，在知識(shí)應(yīng)用和知識(shí)拓展方面，浙教版、人教版選取了一些難度適中而有所延伸的題目，美國(guó)GMH教材則偏向于對(duì)定理的直接應(yīng)用．

由表6，在知識(shí)導(dǎo)入方面，浙教版采用生活情境導(dǎo)入，人教版未做安排，美國(guó)GMH教材采用復(fù)習(xí) 引入的方式，可以看出其對(duì)知識(shí)連貫性的重視；在知識(shí)體驗(yàn)和知識(shí)講解方面，浙教版和人教版均由圓的周長(zhǎng)公式推導(dǎo)得出弧長(zhǎng)公式，美國(guó)GMH教材直接利用弧與角度的比例關(guān)系變形而得，說(shuō)明兩國(guó)教材都較注重以已學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)來(lái)探究新知；在知識(shí)應(yīng)用和知識(shí)拓展方面，浙教版、人教版更重視與生活的聯(lián)系和應(yīng)用，而美國(guó)GMH教材選取了大量的幾何例子以掌握基礎(chǔ)，可見(jiàn)兩國(guó)教材在習(xí)題難度和理念上的差異．最后，三版教材在此節(jié)中都沒(méi)有進(jìn)行相關(guān)延伸．

表5 圓心角定理的呈現(xiàn)方式比較

表5 圓心角定理的呈現(xiàn)方式比較(續(xù))

表6 弧長(zhǎng)公式的呈現(xiàn)方式比較

4.2 知識(shí)背景比較

根據(jù)表7的知識(shí)背景分類，比較三版教材中圓的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)和例習(xí)題的知識(shí)背景，結(jié)果如表8．

表7 知識(shí)背景分類

表8 知識(shí)背景的比較

由表8可得到圖1，圖中顯示三版教材均涉及生活背景、數(shù)學(xué)背景和少量的文化背景，可以看出三版教材對(duì)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的逐漸關(guān)注，不同的是人教版和美國(guó)GMH教材還涉及了科學(xué)背景，表明兩版教材對(duì)跨學(xué)科綜合價(jià)值的重視[3]．從具體數(shù)值上可以看到，數(shù)學(xué)背景所占比重最大，其次是生活背景，且美國(guó)GMH教材的數(shù)學(xué)背景是三版教材中數(shù)值最高的．

圖1 知識(shí)背景比較圖

4.3 核心知識(shí)點(diǎn)目標(biāo)水平比較

根據(jù)我國(guó)和美國(guó)的課程標(biāo)準(zhǔn)以及數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)等，我們將每一個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)的目標(biāo)水平分為：了解、理解、掌握與運(yùn)用，并賦權(quán)重取值為1,2,3．為研究核心知識(shí)目標(biāo)水平的深度，我們利用以下公式進(jìn)行深度量化：

其中，hi(i=1,2,3)依次表示了解、理解、掌握與運(yùn)用的水平深度，取值為1,2,3；ni表示hi目標(biāo)水平的知識(shí)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，n表示核心知識(shí)點(diǎn)總數(shù)．

由于人教版和浙教版均根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》編排知識(shí)內(nèi)容，因此兩者的知識(shí)目標(biāo)水平相同[4]．我們不妨將兩者結(jié)合，分別從中國(guó)和美國(guó)角度對(duì)教材的核心知識(shí)點(diǎn)目標(biāo)水平進(jìn)行比較，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表9．

表9 核心知識(shí)點(diǎn)目標(biāo)水平比較

由表9，兩國(guó)教材中與圓有關(guān)的核心知識(shí)點(diǎn)數(shù)量基本一致，在三個(gè)目標(biāo)水平中，“掌握和運(yùn)用”一項(xiàng)要求最多；不同點(diǎn)在于美國(guó)GMH教材在“了解”“理解”上的要求都高于浙教版和人教版，但在總體難度上低于該兩版教材．單看每個(gè)國(guó)家教材本身的目標(biāo)水平百分比，中國(guó)兩版教材的“理解”“掌握和運(yùn)用”水平相差較大，而美國(guó)教材在這兩方面的水平相差較小，可以看出美國(guó)GMH教材更注重學(xué)生對(duì)圓相關(guān)知識(shí)的理解．

4.4 例習(xí)題綜合難度比較

選取“圓心角”和“圓周角”這兩個(gè)極具代表性的章節(jié)內(nèi)容，引入鮑建生課程綜合難度比較模型[5]，對(duì)三版教材中相應(yīng)的例習(xí)題綜合難度進(jìn)行比較．首先對(duì)該部分幾何內(nèi)容的例習(xí)題總數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到表10．

表10 例習(xí)題數(shù)量統(tǒng)計(jì)

由表10，浙教版例習(xí)題數(shù)量最多，美國(guó)GMH教材緊隨其后，人教版相對(duì)較少，但三版教材的共同點(diǎn)在于例習(xí)題題量一般，需要課外練習(xí)進(jìn)一步加強(qiáng)鞏固．同時(shí)，我們對(duì)每個(gè)例習(xí)題的水平進(jìn)行劃分，結(jié)果如表11．

表11 例習(xí)題難度因素統(tǒng)計(jì)

根據(jù)表11計(jì)算出每個(gè)難度因素的加權(quán)平均，得到表12．

表12 例習(xí)題難度因素的加權(quán)平均值

根據(jù)表12我們繪制了雷達(dá)圖，得到圖2．

圖2 例習(xí)題難度因素雷達(dá)圖

從整體看，三版教材中探究和推理的數(shù)值最高，而例習(xí)題背景的數(shù)值最低.可見(jiàn)，三版教材都較注重培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和推理能力，而對(duì)知識(shí)背景的關(guān)注不夠．從單個(gè)因素來(lái)看，浙教版的探究、運(yùn)算和推理數(shù)值略高于人教版和美國(guó)GMH教材，注重學(xué)生的推理和運(yùn)算能力．在背景方面，三版教材都以無(wú)背景為主，但美國(guó)GMH教材涉及個(gè)人生活和公共常識(shí)，說(shuō)明其重視知識(shí)與生活的聯(lián)系．而在知識(shí)含量上，美國(guó)GMH教材數(shù)值最低，例習(xí)題以單個(gè)知識(shí)點(diǎn)和兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)為主，更注重基礎(chǔ)訓(xùn)練．

5 啟示

5.1 豐富教材情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

PISA研究表明，情境性是學(xué)習(xí)的本質(zhì)屬性，脫離實(shí)際情境的學(xué)習(xí)，只能獲得“惰性”知識(shí)[6]．教材的背景不能局限于數(shù)學(xué)背景，更要關(guān)注生活、文化、科學(xué)等背景情境，從生活常識(shí)中抽象出幾何圖形或幾何關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的印象，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力．美國(guó)GMH教材中的Real-World Link部分，將知識(shí)和生活、文化等相聯(lián)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界．教材編寫還可考慮將情境和習(xí)題相結(jié)合，增加知識(shí)的應(yīng)用性和趣味性．

5.2 設(shè)置問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生深度思考

美國(guó)GMH教材在知識(shí)目標(biāo)上更側(cè)重“了解”和“理解”水平，注重用基本概念進(jìn)行轉(zhuǎn)化思考和解決問(wèn)題．從本質(zhì)上看，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是思維活動(dòng)，思維活動(dòng)的集中表現(xiàn)在于提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)置問(wèn)題是激發(fā)學(xué)生思維活動(dòng)的重要切入點(diǎn)．教材在編寫時(shí)應(yīng)以實(shí)驗(yàn)、舊知、生活等貼近學(xué)生認(rèn)知的素材為起點(diǎn)，采用“小問(wèn)題，逐推進(jìn)”的方式，設(shè)置一系列問(wèn)題串，增加學(xué)生的理解性體驗(yàn)．在選用低起點(diǎn)、小問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)前，要注意知識(shí)的連貫性和系統(tǒng)性，避免無(wú)效地降低難度，造成學(xué)生思維的脫節(jié)．

5.3 重視課程內(nèi)容的適度拓展，滿足學(xué)生個(gè)性化發(fā)展需要

實(shí)踐表明，適當(dāng)?shù)耐卣褂欣诮虒W(xué)對(duì)象主體化、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、改善學(xué)習(xí)習(xí)慣、拓寬學(xué)習(xí)渠道等，有效落實(shí)提高學(xué)生核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)．教材可在一些章節(jié)最后設(shè)置知識(shí)延拓，如實(shí)驗(yàn)操作、軟件驗(yàn)證和設(shè)計(jì)方案等，注重學(xué)科性和實(shí)踐性的結(jié)合，甚至將一些概念、命題設(shè)置在課后情境或活動(dòng)練習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和邏輯推理能力．對(duì)于某一知識(shí)點(diǎn)，可考慮構(gòu)造許多不同形式的習(xí)題，做到同點(diǎn)異構(gòu)，層次分明，加大學(xué)生自主發(fā)揮的空間．