基于區(qū)間的車架不確定性多目標(biāo)優(yōu)化*

李偉平，謝 鋒，馬騰飛，張寶珍

(湖南大學(xué)，汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

前言

車架是汽車上重要的承載部件，車輛所受到的載荷最終都會傳遞給車架，因此車架的結(jié)構(gòu)直接影響到整車的性能。車架結(jié)構(gòu)設(shè)計的主要目的是在確保車架強度、剛度和動態(tài)性能的前提下，減輕車架的質(zhì)量，以達(dá)到輕量化設(shè)計的目的。在車架的設(shè)計中，由于材料在加工制造過程中，不可避免地存在著與材料性質(zhì)、邊界條件、初始條件、測量偏差等有關(guān)的誤差或不確定性。這些誤差或不確定性雖然在多數(shù)情況下數(shù)值較小，但耦合在一起可能使系統(tǒng)響應(yīng)產(chǎn)生較大的偏差[1]。因此考慮車架參數(shù)的不確定性影響對車架的設(shè)計有重要的理論和實際意義。

不確定性優(yōu)化問題的研究一直是工程領(lǐng)域中研究的熱點。傳統(tǒng)的方法大多采用概率方法來描述參數(shù)的不確定性，即把不確定變量作為隨機變量。然而由于概率方法對于實際工程問題有其本身的局限性，比如有時很難提供充分的概率分布信息來描述這些隨機變量，從而限制了基于概率的優(yōu)化方法在工程中的應(yīng)用[2-4]。而基于區(qū)間方法的不確定性優(yōu)化方法把不確定參數(shù)看作區(qū)間數(shù)，只須知道不確定參數(shù)的上下界信息，這些信息在工程實際中較易獲得。因此基于區(qū)間數(shù)的不確定優(yōu)化在工程應(yīng)用中具有明顯的優(yōu)勢[5-10]。

本文中首先建立了車架的有限元模型，并構(gòu)建了設(shè)計變量和不確定變量與目標(biāo)函數(shù)之間的Kriging代理模型。選取車架各梁的厚度作為優(yōu)化變量，材料的彈性模量和密度作為不確定變量。以車架強度和車架質(zhì)量最小作為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行不確定性多目標(biāo)優(yōu)化。

1 區(qū)間數(shù)不確定優(yōu)化和算法

1.1 區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化模型的描述

在工程實際中，要得到隨機變量的精確概率分布是很困難的，因為需要在大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，運用數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)理論來近似獲得。但是獲得不確定量的界限則相對容易。在描述不確定性量的方法中，區(qū)間法只須知道不確定參數(shù)的變動范圍即可，故采用區(qū)間數(shù)來描述不確定量的不確定性。

利用區(qū)間數(shù)來描述不確定量，則不確定多目標(biāo)優(yōu)化問題可以描述為

(1)

1.2 不確定性優(yōu)化問題的確定性優(yōu)化

本文中將不確定性優(yōu)化轉(zhuǎn)化為確定性優(yōu)化的主要內(nèi)容是將不確定性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為確定性目標(biāo)函數(shù)。利用目標(biāo)函數(shù)中點值來判斷不同設(shè)計向量之間的優(yōu)劣,則

(2)

(3)

(4)

通過上面的處理，式(1)可轉(zhuǎn)化為如下的確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題：

(5)

1.3 不確定性多目標(biāo)優(yōu)化算法

不確定性問題的求解都是典型的雙層嵌套問題。其中外層優(yōu)化用于設(shè)計向量的尋優(yōu)，而內(nèi)層優(yōu)化用于計算不確定目標(biāo)函數(shù)的區(qū)間。由于嵌套優(yōu)化的存在，轉(zhuǎn)化后的優(yōu)化問題通常是非連續(xù)和不可導(dǎo)的，所以傳統(tǒng)的基于梯度的優(yōu)化方法難以對之有效求解。本文中對于外層和內(nèi)層優(yōu)化都選用隨機搜索的遺傳算法。內(nèi)層采用隔代遺傳算法(IP-GA)在不確定域求解目標(biāo)函數(shù)區(qū)間，外層采用加入精英保持策略和去除重復(fù)個體的非支配排序遺傳算法(NSGA-II)對車架應(yīng)力響應(yīng)和質(zhì)量響應(yīng)兩個目標(biāo)進(jìn)行不確定性優(yōu)化。

目前多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法分為基于Pareto概念與不基于Pareto概念的遺傳算法?；赑areto概念的遺傳算法是求解多目標(biāo)問題非劣最優(yōu)解的有效途徑，也是目前研究的熱點[11]。在基于Pareto的方法中NSGA-II是最有效的。NSGA-II算法由非支配排序遺傳算法(NSGA)發(fā)展而來，其基本思想是[12]：采用非支配排序算法對種群進(jìn)行非支配排序分層，為每個個體賦予虛擬適應(yīng)度值，然后進(jìn)行選擇、交叉、變異等操作；為了保持Pareto最優(yōu)解集的均勻分布，使用共享函數(shù)和小生境技術(shù)，為處于同一非支配層上的個體指定虛擬的適應(yīng)度。該算法采用了擁擠度和擁擠度比較算子，使種群中的個體能均勻地擴展到整個Pareto域，保持種群的多樣性，避免局部收斂；采用精英保持策略，將父代種群和子代種群一起排序競爭而得到下一代，從而保證下一代的個體更加優(yōu)良；求解Pareto解集準(zhǔn)確性和分散性較好。

(6)

(7)

(8)

2 車架有限元模型

某半掛牽引車車架為邊梁式結(jié)構(gòu)。主要由2根主縱梁、2根副縱梁和4根橫梁組成。主副縱梁之間通過鉚釘連接。本文中以車架最為典型的彎曲工況進(jìn)行不確定性多目標(biāo)優(yōu)化，利用Hypermesh軟件對車架進(jìn)行幾何清理、網(wǎng)格劃分以及約束和載荷的加載。加載時車架質(zhì)量和載荷乘以動載系數(shù)，本文中動載系數(shù)取2.5，方向豎直向下，以模擬牽引車在平坦路面上以較高速度行駛時產(chǎn)生的對稱垂直動載荷。

在分析計算時，為消除車架的剛體位移，須對車架的自由度進(jìn)行約束，約束前板簧的3個平動自由度UX、UY、UZ；釋放前板簧的3個轉(zhuǎn)動自由度ROTX、ROTY、ROTZ；約束后板簧豎直方向的平動自由度UZ；釋放其它方向的所有自由度。車架結(jié)構(gòu)有限元模型如圖1所示。P1為駕駛室作用在車架上的載荷，P2為發(fā)動機總成及其它附件的載荷，P3為油箱等附件的載荷，P4為備胎等附件的載荷，P5為滿載時貨物作用在牽引車車架上的垂向載荷，P6為滿載時貨物作用在牽引車車架上的水平載荷。

3 不確定性多目標(biāo)優(yōu)化

3.1 設(shè)計變量和不確定變量的選取

選取車架橫梁和縱梁共5種不同的厚度作為設(shè)計變量。由于制造和測量等誤差，材料的密度ρ和彈性模量E為不確定量，根據(jù)文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[15]，取彈性模量和密度的不確定水平均為5%。設(shè)計變量和不確定量取值范圍分別如表1和表2所示。

表1 各優(yōu)化變量取值范圍

表2 各不確定變量取值范圍

3.2 目標(biāo)函數(shù)的建立

本文中通過合理優(yōu)化車架各梁的厚度以達(dá)到加強車架強度和減輕車架質(zhì)量的目的。因此以車架強度最大(即應(yīng)力最小)和車架質(zhì)量最小建立多目標(biāo)優(yōu)化問題，考慮車架材料密度ρ和彈性模量E的不確定性，車架的不確定性多目標(biāo)優(yōu)化模型可以描述為

(9)

式中：σ為車架的應(yīng)力值；m為車架的質(zhì)量值，σC(X,U)和mC(X,U)可通過式(3)求得。

3.3 近似模型的構(gòu)建

本文中使用Kriging模型來代替直接的有限元模型計算，以節(jié)省計算時間。

Kriging模型是一種估計方差最小的無偏估計模型，它能夠提供一種精確的插值。它由全局模型和局部偏差迭加而成，可表示為

Y(X)=f(X)+Z(X)

(10)

式中：Y(X)為未知的近似模型；f(X)為已知的多項式函數(shù)；Z(X)為均值為零、方差σ2和協(xié)方差不為零的隨機過程。選取Kriging模型函數(shù)類型為高斯函數(shù)。本文中構(gòu)建了設(shè)計變量和不確定變量與目標(biāo)函數(shù)之間的近似模型。具體步驟如下：

(1)采用拉丁超立方實驗設(shè)計，對5個設(shè)計變量和2個不確定變量進(jìn)行50次采樣；

(2)將采樣值賦予車架有限元模型進(jìn)行計算，得出車架應(yīng)力和車架質(zhì)量的響應(yīng)值；

(3)通過Matlab-DACE工具箱分別建立設(shè)計變量和不確定變量與車架應(yīng)力響應(yīng)的近似模型以及設(shè)計變量和不確定變量與車架質(zhì)量響應(yīng)的近似模型；

(4)精度判斷：設(shè)計變量和不確定變量空間，采用拉丁超立方實驗設(shè)計，選擇3個采樣點，分別對真實模型和近似模型進(jìn)行求解，并計算兩者的相對誤差，如果相對誤差滿足給定精度要求(設(shè)定為5%)，則構(gòu)建近似模型成功，獲得Kriging近似模型的具體參數(shù)；否則將這些采樣點加入步驟(1)的采樣點集，轉(zhuǎn)步驟(3)重新構(gòu)建近似模型。

通過以上步驟構(gòu)建的近似模型，其精度如表3和表4所示。從表中可以看出，模型的相對誤差都小于5%，滿足預(yù)先設(shè)定的要求。

表3 近似模型應(yīng)力響應(yīng)精度判斷

表4 近似模型質(zhì)量響應(yīng)精度判斷

3.4 優(yōu)化過程與結(jié)果分析

本文中將加入精英保持策略和去除重復(fù)個體的非支配排序遺傳算法(NSGA-II)和隔代遺傳算法(IP-GA)結(jié)合起來，在近似模型的基礎(chǔ)上，求解車架雙層嵌套優(yōu)化問題。

首先，外層NSGA-II在車架各梁組成的設(shè)計空間內(nèi)尋優(yōu)，對于每個所取的設(shè)計向量進(jìn)入內(nèi)層IP-GA，在不確定彈性模量E和密度ρ組成的不確定參數(shù)空間內(nèi)搜索，通過計算近似模型確定目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)的上下界，進(jìn)而得到目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)的平均值。把內(nèi)層優(yōu)化結(jié)果反饋給外層優(yōu)化算法，以幫助外層算法繼續(xù)尋優(yōu)，直到滿足停止準(zhǔn)則輸出最后的Pareto最優(yōu)解集。優(yōu)化流程如圖2所示。

經(jīng)過200次迭代，得到Pareto解集如圖3所示；其中比較有代表性的10組解如表5所示。車架優(yōu)化前后的數(shù)據(jù)見表6。

對比表5和表6的數(shù)據(jù)可以看出，通過不確定性多目標(biāo)優(yōu)化，車架的質(zhì)量和應(yīng)力值可以得到明顯改善。設(shè)計者可根據(jù)自己對目標(biāo)的期望和工程經(jīng)驗來選擇合適的設(shè)計變量，如果設(shè)計者對整車質(zhì)量關(guān)注較大，可以選擇9、10這兩組數(shù)據(jù)；如果對車架受力比較關(guān)注，可以選擇4、5這兩組數(shù)據(jù)；如果需要綜合考慮車架的應(yīng)力和質(zhì)量，則可選擇6～8這3組數(shù)據(jù)。

表5 不確定性優(yōu)化的Pareto最優(yōu)解

表6 車架優(yōu)化前數(shù)據(jù)

利用NSGA-II算法對車架進(jìn)行確定性多目標(biāo)優(yōu)化，將優(yōu)化得出的值和不確定性多目標(biāo)優(yōu)化得出的值進(jìn)行對比，如圖4所示。

由圖可見，不確定性優(yōu)化的結(jié)果值絕大部分略高于確定性優(yōu)化結(jié)果的值，這是由于在不確定性優(yōu)化過程中考慮了材料參數(shù)不確定性的影響，采用目標(biāo)函數(shù)區(qū)間中間值來判斷設(shè)計變量的優(yōu)劣。在圖中應(yīng)力大于190MPa的區(qū)域出現(xiàn)幾組不確定性優(yōu)化解小于確定性優(yōu)化解。這說明在沒有對不確定性參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響大小進(jìn)行優(yōu)化時，只考慮目標(biāo)函數(shù)平均值得出的解也有可能比確定性得出的結(jié)果要小。通過結(jié)果的對比，盡管不確定性優(yōu)化值偏大，但它考慮了材料參數(shù)波動對車架性能的影響。因此不確定性優(yōu)化比確定性優(yōu)化具有更好的可靠性，也更能反映真實的情況，具有更好的工程實際意義。

4 結(jié)論

本文中在車架有限元模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建了設(shè)計變量和不確定變量與目標(biāo)函數(shù)之間的近似模型，以代替計算時調(diào)用真實的有限元模型。在滿足精度的前提下，大大減少了計算時間?？紤]車架材料參數(shù)不確定因素，提出將NSGA-II和IP-GA結(jié)合起來求解車架雙層嵌套優(yōu)化問題。由于內(nèi)層采用效率很高的IP-GA算法，因此節(jié)約了計算時間。該法能兼顧設(shè)計目標(biāo)性能和可靠穩(wěn)定性，使設(shè)計對不確定擾動不敏感，具有一定的理論和工程實際意義。

最后將確定性優(yōu)化值和不確定性優(yōu)化值進(jìn)行對比，得出不確定性優(yōu)化的優(yōu)越性，同時也說明不確定性優(yōu)化能更好地反映實際模型。

雖然文中考慮了不確定性參數(shù)的影響，但沒有分析不確定性參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響。下一步的工作將會在提高計算效率和不確定性參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響方面做進(jìn)一步的研究。

[1] 姜潮.基于區(qū)間的不確定性優(yōu)化理論與算法 [D].長沙：湖南大學(xué)，2008.

[2] Gyeong-Mi Cho. Log-barrier Method for Two-stage Quadratic Stochastic Programing[J]．Applied Mathematics and Computation，2005，164(1)：45-69.

[3] Senguptaa, Paltk, Chakrabortyd. Interpretation of Inequality Constraints Involving Interval Coefficients and a Solution to Interval Linear Programming[J]．Fuzzy Sets and Systems,2001,119：129-138.

[4] 余啟志，陳燕.基于拓?fù)鋬?yōu)化的車架結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計[J].汽車科技，2010(5).

[5] 崔中，文桂林，趙子衡，等.基于區(qū)間數(shù)的高速磨床主軸系統(tǒng)的不確定性優(yōu)化研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報,2010,37(8).

[6] Jiang C, Han X, Guan F J, et al. An Uncertain Structural Optimization Method Based on Nonlinear Interval Number Programming and Interval Analysis Method [J]. Engineering Structures, 2007, 29(11): 3168-3177.

[7] 吳崇輝.某清掃車車架結(jié)構(gòu)分析及相關(guān)問題研究[D].長沙：湖南大學(xué)，2011.

[8] 白影春.一種求解大不確定性問題的區(qū)間優(yōu)化方法及應(yīng)用[D].長沙：湖南大學(xué)，2010.

[9] 官鳳嬌, 韓旭, 姜潮. 基于區(qū)間法的發(fā)動機曲軸不確定性優(yōu)化研究[J]. 工程力學(xué)學(xué)報, 2008, 25(9): 198-202.

[10] 李新蘭，姜潮，韓旭.基于區(qū)間的不確定多目標(biāo)優(yōu)化方法及應(yīng)用[J].中國機械工程，2011，22(9)：1100-1106.

[11] 謝濤，陳火旺，康立山.多目標(biāo)優(yōu)化的演化算法[J].計算機學(xué)報,2003,26(8):997-1003.

[12] Deb K, Pratap A, Agarwal S, et al. A Fast Elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm for Multi-objective Optimization: NSGA-II[R]. Kanpur: Indian Institute of Technology, Kan GAL Report 2001, 2000, 6(2): 182-197.

[13] Liu G R, Han X. Computational Inverse Techniques in Nondestructive Evaluation[M]. Florida: CRC Press, 2003.

[14] Xu Y G, Liu G R, Wu Z P. A Novel Hybrid Genetic Algorithm Using Local Optimizer Based on Heuristic Pattern Move[M]. Applied Artificial Intelligence, 2001, 15:601-631.

[15] 宋曉東.楊氏模量不確定度的評定方法[J].吉林建筑工程學(xué)院學(xué)報,2009,26(5)：100-102.