順學(xué)而教，在“存異”中“求同”
——以解決問(wèn)題的策略(假設(shè))為例

楊金珠

(南京市江寧實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇南京，211106)

蘇教版六(上)解決問(wèn)題的策略(假設(shè))是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了畫(huà)圖、列表、一一列舉和倒推等策略基礎(chǔ)上又一次有關(guān)策略的學(xué)習(xí)，許多課外輔導(dǎo)用書(shū)和提優(yōu)訓(xùn)練都把此類問(wèn)題稱之為“雞兔同籠”。解決此類問(wèn)題需要學(xué)生具備較高的思維水平和邏輯推理能力。

一、了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況

為了全面掌握學(xué)生知識(shí)情況，筆者課前對(duì)所教兩個(gè)班級(jí)103名學(xué)生進(jìn)行“學(xué)習(xí)前置”(只做“自主探索”部分)。

表1學(xué)生預(yù)習(xí)表

課題解決問(wèn)題的策略(2)自主探索 例2：全班42人去公園劃船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有多少只？想一想：你能用已學(xué)過(guò)的策略解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表2。

表2 學(xué)生預(yù)習(xí)情況統(tǒng)計(jì)

從上表信息可知：學(xué)生想到用列表方法(含多種方法中的列表)解決的有50人，占49%；畫(huà)圖9人，占8.7%；算式54人，占52.4%；方程14人，占13.6%。通過(guò)分析能看出學(xué)生解決此類問(wèn)題時(shí)所使用的一般方法是列表法和假設(shè)法。接著，筆者對(duì)學(xué)生做了進(jìn)一步調(diào)查。

師：你是怎么想到用這些方法的？

生1：我們?cè)谖迥昙?jí)學(xué)過(guò)一一列舉，這道題目數(shù)字不大，我一個(gè)一個(gè)列出來(lái)就能找到答案了。

生2：畫(huà)圖的方法比較直觀，好理解。

生3：這學(xué)期第一單元我們學(xué)的就是方程，根據(jù)等量關(guān)系就可以列出方程，不過(guò)怎樣解方程是我爸爸教的。

生4：我在輔導(dǎo)班的時(shí)候?qū)W過(guò)用假設(shè)法求解。

師：對(duì)于用假設(shè)法列出的算式你能解釋每一步表示的意義嗎？

生4：我只是記住算式模型。

通過(guò)訪談，可以較客觀地了解到學(xué)生對(duì)于此類問(wèn)題的一般思考過(guò)程和個(gè)體間的思維差異。教學(xué)中要尊重這種差異，充分展示彼此間不同的觀點(diǎn)和想法，在多維立體互動(dòng)中不斷對(duì)學(xué)生差異進(jìn)行比較、修正和提升。而這，無(wú)疑是需要教師進(jìn)行思考和正視的。

二、教學(xué)案例分析

(一)列表

1.陳諾：我先從9只大船1只小船開(kāi)始想。9只大船1只小船可以坐50人，比42人多，8只大船2只小船……

生1：當(dāng)我們列舉出“6只大船4只小船”正好坐42人時(shí)，下面就不要再列舉了。因?yàn)殡S著大船的增加，小船的減少，人數(shù)會(huì)越來(lái)越多，肯定不符合條件。

師：對(duì)于這張表格的數(shù)據(jù)同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：每增加1只大船，減少1只小船，人數(shù)會(huì)多2人。

生3：我補(bǔ)充一下，應(yīng)該有個(gè)條件“船的只數(shù)10只”要保持不變。

一一列舉是學(xué)生以前學(xué)過(guò)的策略，這其中就蘊(yùn)含了“假設(shè)”的思想，學(xué)生通過(guò)同學(xué)對(duì)列表方法的介紹，初步體會(huì)“假設(shè)”思想在列表中的運(yùn)用。同時(shí)，與以前所學(xué)的一一列舉答案的多樣性不同，此類題目答案是唯一的。

師：我覺(jué)得應(yīng)該從“10只大船0只小船”開(kāi)始想。雖然“10只大船和0只小船”一看就知道不符合條件，但如果寫(xiě)出來(lái)的話，這樣列表就會(huì)很有序。

(用紅筆補(bǔ)上“10只大船0只小船”)

假設(shè)策略的重心是假設(shè)后的調(diào)整，調(diào)整的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是替換的過(guò)程。在“一一列舉”中其實(shí)就蘊(yùn)含“一一替換(1只小船替換1只大船)”的思想。當(dāng)教師提出需要補(bǔ)上“10只大船0只小船”時(shí)，“10大0小”或“0大10小”正是下面學(xué)生畫(huà)圖、假設(shè)法的基礎(chǔ)，這樣從學(xué)生熟知的列表法切入符合學(xué)生的實(shí)際。

2.唐沛年：我和陳諾的方法有點(diǎn)不一樣，我是從1只大船9只小船開(kāi)始想的……

生1：我發(fā)現(xiàn)陳諾列舉的次數(shù)多。

師：你能解釋其中的原因嗎？

生1：當(dāng)我們假設(shè)9只大船1只小船時(shí)，總?cè)藬?shù)是48人，48離42很近。而1只大船和9只小船總?cè)藬?shù)是32人，離42比較遠(yuǎn)。

生2：有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)！如果從不同的角度思考，替換次數(shù)會(huì)有不同。

生3：應(yīng)該像陳諾那樣補(bǔ)上“0只大船和10只小船”的情況。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生兩種不同的列表方法實(shí)際上就是兩種不同假設(shè)法的原型。在這里通過(guò)師生對(duì)話、生生互動(dòng)，為下面調(diào)整假設(shè)策略解決問(wèn)題做了提前滲透和有力鋪墊，可謂“未成曲調(diào)先有情”。

3.岳晨曦：我先假設(shè)有5只大船和5只小船，可以坐40人，然后4只大船6只小船發(fā)現(xiàn)人數(shù)少得更多，所以應(yīng)該是6只大船4只小船。

師：是的，當(dāng)岳晨曦先假設(shè)“5大5小”時(shí)發(fā)現(xiàn)和42人是有“差距”的，岳晨曦先用向小船方向調(diào)整，發(fā)現(xiàn)人數(shù)少更多，所以才向大船方向調(diào)整，誰(shuí)能解釋其中的道理？

一股透骨的寒氣直抵他的心底里，他不禁打了一個(gè)寒顫。莫非……他不敢繼續(xù)想下去了，那簡(jiǎn)直太可怕了！還沒(méi)有弄清事實(shí)的真相，一股巨大的憂郁就將他徹底地?fù)魝?，他默不作聲，離開(kāi)了茶莊。山野中移動(dòng)著一個(gè)越來(lái)越小的灰點(diǎn)，像一朵灰暗的流云在緩慢地往山坡下飄移。冷颼颼地刮來(lái)一陣涼風(fēng)，他突然感到滿目瘡痍的荒涼，身子也失重似的飄浮起來(lái)。以往，他喜歡獨(dú)來(lái)獨(dú)往，喜歡獨(dú)自在山野里漫步，享受那份清靜，那種自在，孤獨(dú)與快樂(lè)?？墒茄巯拢褚粋€(gè)幽靈似的在荒山野嶺里飄蕩著，紅塵世界里，他只能是一只小小的螻蟻。佛在云端拈花微笑，是否見(jiàn)到了他這枚枯黃的落葉在風(fēng)中飄動(dòng)？

生：當(dāng)5只大船5只小船時(shí)坐40人，比42人少，所以應(yīng)該增加大船減少小船，因?yàn)榇蟠茏嗟娜恕?/p>

設(shè)計(jì)意圖：調(diào)整可以是“漸進(jìn)式”的，也可以是“跨越式”的，無(wú)論從哪個(gè)角度想起，重點(diǎn)都是要讓學(xué)生借助表格感受為什么要把大船換成小船或者為什么要把小船換成大船，以及因?yàn)椤皳Q”而帶來(lái)的人數(shù)變化。充分展開(kāi)這個(gè)過(guò)程，使學(xué)生深刻體會(huì)調(diào)整的目的、方向和方法，進(jìn)而初步形成調(diào)整意識(shí)。

(二)畫(huà)圖

陶致遠(yuǎn)講解畫(huà)圖過(guò)程。

師：陶致遠(yuǎn)為什么一次只畫(huà)去2人？

生：一只小船替換一只大船只能少2人。

師：誰(shuí)能把陶致遠(yuǎn)和陳諾的方法聯(lián)系來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

設(shè)計(jì)意圖：借助圖示，結(jié)合學(xué)生的講解把結(jié)果的呈現(xiàn)過(guò)程化、動(dòng)態(tài)化，清晰呈現(xiàn)畫(huà)圖過(guò)程。并與列表方法相互比較，相互驗(yàn)證，相互啟迪。這其中算式方法的雛形已初見(jiàn)端倪，使學(xué)生對(duì)假設(shè)策略的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步接近其核心和本質(zhì)。

(三)算式

蔣霏凡介紹自己的思考過(guò)程。

師：同學(xué)們，“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的思想方法，你能不能根據(jù)陶致遠(yuǎn)的“圖”來(lái)解釋這位同學(xué)的算式呢？

設(shè)計(jì)意圖：細(xì)細(xì)分析列表、畫(huà)圖和算式，可以發(fā)現(xiàn)都有假設(shè)和替換的影子。某些時(shí)候，它們的思路完全一致。“打通”這些方法的聯(lián)系，讓學(xué)生通過(guò)不同的方式理解同一種策略，理解會(huì)更深刻。

師：明明假設(shè)的全是大船，怎么求出來(lái)的卻是小船呢？

(學(xué)生一時(shí)難以回答，沉默片刻后，從畫(huà)圖方法中找到了解釋)

生1：因?yàn)榧僭O(shè)全是大船，會(huì)多算出8人。

生2：把多算的8人要“趕下船”，1只大船“趕”下兩人后就變成小船，因?yàn)橐摆s”4次，就變成了小船。所以假設(shè)全是大船，求出來(lái)的就是小船。

生3：如果假設(shè)全是小船，求出來(lái)的就是大船。

設(shè)計(jì)意圖：為什么明明假設(shè)的是大船，求出來(lái)的卻是小船？這歷來(lái)是不少學(xué)生的困惑之處。在這里，教師應(yīng)放大這個(gè)環(huán)節(jié)，在反問(wèn)、追問(wèn)中，放慢進(jìn)程，借助表格的直觀、示意圖的支撐、形成式的凝練，理解掌握假設(shè)法的內(nèi)涵和本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上抽象出一般算式方法。

三、分析總結(jié)

通過(guò)列表和畫(huà)圖不難發(fā)現(xiàn)，隨著小船數(shù)量的逐一增加，總?cè)藬?shù)逐次減少2人，正是這一基本的變化規(guī)律，我們很容易得出“如果人數(shù)要減少2人，應(yīng)該將一只大船‘變成’小船，反之，人數(shù)要增加2人，應(yīng)該將1只小船‘變成’1只大船”。進(jìn)而思考：如果人數(shù)要減少8人(增加12人)，應(yīng)該將幾只大船(小船)“變成”幾只小船(大船)？有了這些觀察思考的基礎(chǔ)，在列表和畫(huà)圖中就找到了“假設(shè)法”的影子。如果說(shuō)第一次列舉被視為假設(shè)的前提，那么接下來(lái)就可以根據(jù)人數(shù)的差距，計(jì)算出應(yīng)該將多少只大船(小船)“變成”小船(大船)，就能解決一共有多少只大船和多少只小船的問(wèn)題。由此，解決“雞兔同籠”一類問(wèn)題的典型方法——假設(shè)法，便躍然紙上。這樣教學(xué)不僅切合教材的實(shí)際，而且切合教學(xué)的實(shí)際，更是切合學(xué)生的實(shí)際。

[1] 周勝瓊.小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“雞兔同籠”教學(xué)反思[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2012(6).

[2] 潘粉娥.“雞兔同籠問(wèn)題”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].課程教材教學(xué)研究：小教研究，2013(12).

[3] 王興.淺談如何提高小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量[J].教育教學(xué)論壇，2013(11).