是誰把數(shù)學推向了深淵？

曹廣福

數(shù)學史上爭吵的事情層出不窮，有些爭論甚至鬧出了人命，√2讓喜歡多嘴的小伙子希帕索斯喪了命，被畢達哥拉斯學派的人裝進袋子扔進了大海。這可能是數(shù)學史上最血腥的一樁公案。

無窮小的出現(xiàn)讓數(shù)學家們鬧成了一鍋粥，地位尊崇的大主教貝克萊把牛頓的“流數(shù)”攻擊得體無完膚，稱之為“已死量的幽靈”，因為在牛頓的文章中，這個“幽靈”一會兒是0，消失了，一會兒又不知從什么地方冒了出來。貝克萊的抨擊把性格靦腆的牛頓嚇得噤若寒蟬，如果不是朋友的再三勸說，估計很多著作都不會面世。貝克萊的悖論也是對形式邏輯的一次有力的打擊，貝克萊問“無窮小量究竟是否為0？”就無窮小量在當時實際應用而言，它既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。如果不是柯西等人特別是維爾斯特拉斯發(fā)明的“δ-ε”語言，給了極限概念一個嚴格的定義，估計無窮小真的要變成“幽靈”。

數(shù)學史上的爭論對數(shù)學的影響一次比一次巨大。如果說牛頓的“幽靈”是傳統(tǒng)的形式邏輯與分析學之間的“決斗”，那么康托爾樸素的集合論則幾乎把數(shù)學推向了深淵。康托爾出生于俄國的圣彼得堡，猶太后裔，后來遷居到德國。在而立之年，他提出了令人高深莫測的無窮大概念，這個無窮大不是微積分里的無窮大，是表述集合元素多少的。集合的概念不需要我多做解釋，相信學過一點數(shù)學的人都知道。眾所周知，有限集存在有多少元素的問題，例如一個班級有多少人？班級的人數(shù)成為這個班級的“基數(shù)”或“勢”，任何有限集都可以數(shù)出它的元素來，可如果問自然數(shù)有多少？有理數(shù)有多少？實數(shù)有多少？誰能回答？康托爾的目的就是要給這樣的集合（也叫無窮集、無限集）進行“計數(shù)”并比較不同集合中元素的多少。如果你沒有學過集合論，估計你回答不了諸如這樣的問題：“有理數(shù)集合與自然數(shù)集合中哪個集合所含的元素更多？”

集合論雖然成了現(xiàn)代一切數(shù)學的基石，甚至一些在他之前產(chǎn)生的數(shù)學也被納入了集合論這個大籮筐中。然而，無論是集合論還是康托爾本人都經(jīng)受了難以想象的煎熬?？低袪柕募险摬⑽茨鼙煌瑫r代的所有人接受，當時的數(shù)學權威，康托爾的老師克朗涅克爾也許是出于嫉妒，他猛烈攻擊康托爾的工作，并竭力阻撓康托爾的提升，不讓康托爾在柏林大學獲得職位。他說：“康托爾走進了超窮數(shù)的地獄?！?克朗涅克爾有一句名言：“上帝創(chuàng)造了正整數(shù)，其余的是人的工作?！本褪钦f，人只能在正整數(shù)的有窮范圍內(nèi)研究，至于無窮的世界則完全超乎人的能力之外，他甚至不承認康托爾為他的學生。無休止的爭吵使得康托爾心力交瘁，精神終于崩潰，于1918年1月6日在哈爾精神病醫(yī)院不幸逝世。

雖然康托爾的集合論很快為大多數(shù)數(shù)學家們接受并成為幾乎一切數(shù)學分支的基礎，龐卡萊甚至聲稱：“數(shù)學嚴格的基礎已經(jīng)達到?！钡痪弥螅藗儼l(fā)現(xiàn)康托爾的集合論存在著嚴重的矛盾，最早發(fā)現(xiàn)矛盾的是康托爾本人，也稱之為“康托爾悖論”，這個悖論是說“既然任何性質(zhì)都可以決定一個集合，那么所有的集合又可以組成一個集合，即‘所有集合的集合。顯然，此集合應該是最大的集合了，因此其基數(shù)也應是最大的，然而其子集的集合的基數(shù)按‘康托爾定理又必然是更大的，那么，‘所有集合的集合就不成其為‘所有集合的集合”。這一悖論并沒有讓康托爾恐慌，因為通過反證法便可以證明沒有“所有集合的集合”或者說“最大的集合”，當然也就沒有“最大的基數(shù)”。真正給集合論帶來致命一擊的人是羅素，他在1903年給康托爾寫了一封信，這封信的內(nèi)容就是著名的“羅素悖論”，程代展老師已經(jīng)介紹了這個悖論，這里就不重復了。

羅素悖論給數(shù)學界帶來的恐慌是空前的，好比大廈的地基產(chǎn)生了動搖，整個數(shù)學王國大有土崩瓦解之虞。以希爾伯特為首的一批一流數(shù)學家致力于挽救工作，希望把生命垂危的集合論救活。希爾伯特認為，良好的數(shù)學基礎是可以建立起來的，在他的倡導下，以策密羅為首的一批數(shù)學家著手數(shù)學基礎的建立。遺憾的是，事與愿違，希爾伯特的預言并沒有能實現(xiàn)。無可奈何之下，人們給集合論加上了一些公理，著名的策密羅選擇公理便是在這樣的背景下誕生的。這個選擇公理說：“在一簇集合中，可以從每個集合中選且僅選取一個元素構成新的集合”，對于有限個甚至可數(shù)個集合來說，這個公理都是顯而易見的，但對于不可數(shù)多個集合就不是一件簡單的事了。事實上，他涉及基本的邏輯問題，由數(shù)學歸納法，我們很容易證明從一列集合中每個集合選取一個元素，可對于一個不可數(shù)集合簇，你如何選??？可以證明，選擇公理與所謂的超窮歸納法是等價的，換句話說，你要么承認超窮歸納法，要么承認選擇公理。

在一系列公理下，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的悖論可以避免，然而，且別高興得太早，焉知集合論中沒有沒被發(fā)現(xiàn)的悖論？龐卡萊就這個問題發(fā)表了一個有趣的評論：“為了防備狼，羊群用籬笆圍了起來，但不知道籬笆墻內(nèi)還有沒有狼?！保▉碓矗嚎茖W網(wǎng)，2013-02-25 ）endprint