關(guān)于測度的教學(xué)探究

虞志堅

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

關(guān)于測度的教學(xué)探究

虞志堅

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

本文對《實變函數(shù)》中的重要概念測度的教學(xué)作了若干探究。既要從直觀上介紹Lebesgue測度的原始定義，也要使學(xué)生明白Lebesgue的原始定義依賴于原集合的性質(zhì)而不能進行推廣的缺陷。在此基礎(chǔ)上更要強調(diào)Caratheodory的定義脫離了原集合的具體性質(zhì)便于進一步抽象推廣。

實變函數(shù)；Lebesgue測度；測度；抽象測度；教學(xué)探究

對于地方本科院校的數(shù)學(xué)系學(xué)生來說，《實變函數(shù)》是一門難度較大的課程。測度是《實變函數(shù)》的一個核心概念，所以，能否深刻理解并掌握測度這個核心概念，是學(xué)生學(xué)好《實變函數(shù)》這門課程的關(guān)鍵。因此，為使學(xué)生能學(xué)好《實變函數(shù)》，作為任課教師應(yīng)當對測度的教學(xué)進行探索研究，以幫助學(xué)生盡快掌握測度的本質(zhì)，并為下一步繼續(xù)學(xué)習(xí)《實變函數(shù)》打下扎實的基礎(chǔ)。筆者在多輪《實變函數(shù)》教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上，對測度的教學(xué)進行了梳理探究。

1 關(guān)于測度的引入

測度概念的引入通常有兩個途徑。一種是從具體到抽象，即從具體的R1或R2空間開始，定義Lebesgue測度，然后將它推廣到抽象空間上，得到抽象的測度［1，2］；另一種是從抽象到具體，具體做法是直接在一般的抽象空間上，以測度必須具備的最核心的性質(zhì)作為公理直接定義測度［3］，再將R1或R2空間上的測度作為具體的例子。兩者各有優(yōu)點，后者對于基礎(chǔ)好的學(xué)生，特別是國內(nèi)一流重點大學(xué)的學(xué)生來說，能夠以最短的時間直接深入測度理論的核心，這是它的優(yōu)點。但對于基礎(chǔ)相對薄弱的學(xué)生來說，這種方法顯得突兀，不大容易接受。前者對于初學(xué)者特別是對地方本科院校的學(xué)生來說更容易理解接受。所以，對于一般地方性本科院校的學(xué)生，我們認為采用第一種方法為好。

2 關(guān)于一維點集與n維點集的測度

常見的《實變函數(shù)》教材大致可以分為兩類，一類介紹一維點集的測度與積分［1］，另一類介紹n維點集的測度以及相應(yīng)的積分［2］。兩者各有所重，也各有優(yōu)點。前者直觀明了，對于熟悉定積分內(nèi)容的學(xué)生，可以直接過渡到測度理論和Lebesgue積分理論；但是，我們不該將目光只停留在一維，而且一維點集的測度與積分跟n維點集的測度與積分在內(nèi)容上并無本質(zhì)區(qū)別，在敘述上也可以統(tǒng)一處理。因而，我們認為，可以直接從n維點集入手介紹測度與積分理論，并將一維的情形作為其特殊例子來處理，應(yīng)當是比較恰當?shù)奶幚矸椒ā?/p>

3 關(guān)于Lebesgue測度的教學(xué)

對于從具體到抽象這一引入勒貝格測度的途徑，也有兩種選擇。一種是測度論的奠基人Lebesgue的原始做法，即先定義點集E的外測度m*（E）與內(nèi)測度m*（E），當它們相等的時候定義點集E可測［1］；另一種是先定義點集E的外測度m*（E），然后通過Caratheodory條件定義測度，這是希臘數(shù)學(xué)家Caratheodory的做法［2］。下面分別介紹之。

定義1［2］56設(shè)E是Rn中的點集，E的外測度m*（E）定義為：

其中 Ii｛｝是覆蓋E的開區(qū)間列。

定義2［2］62設(shè)E是Rn中的有界點集，I是包含E的任一開區(qū)間，定義E的內(nèi)測度m*（E）為：

若m*（E）=m*（E），則稱E是Lebesgue可測的，此時m*（E）=m*（E）就稱為點集E的Lebesgue測度，記作m（E）。設(shè)E是Rn中的無界點集，若對于任何開區(qū)間I，有界集E∩I都是Lebesgue可測的，則稱是Lebesgue可測的。

無疑，Lebesgue的做法直觀上是最容易被接受的，因為這跟數(shù)學(xué)分析中的方法是一脈相承的。但是，這一方法并不是最簡潔的，定義中有界集和無界集受到不同的對待，并且同時出現(xiàn)了內(nèi)外兩種測度，使用起來很不方便。更重要的是，這個測度的定義由于依賴原集合的性質(zhì)，因而不能進行推廣。這是這個定義的缺陷，它妨礙了測度理論的深入學(xué)習(xí)。

定義3［2］62設(shè)E是Rn中的點集，如果對于任一點集T，都有

則稱E是Lebesgue可測的。這時E的外測度m*（E）就稱為E的Lebesgue測度，記作m（E）。

定義3中的（#）式稱為Caratheodory條件，T稱為試驗集。這個定義是說，將E作為尺子，把T分為互不相交的兩部分去度量，如果對于任何試驗集T，Caratheodory條件都成立，那么E就是可測的?？梢宰C明上面這兩種測度的定義是等價的。Caratheodory條件反映了測度的內(nèi)在聯(lián)系，使得這個定義脫離了點集E的具體性質(zhì)，從而可以進行抽象的推廣。因此，初看起來Caratheodory條件并不那么自然直觀，但這卻是引入可測集的最簡捷的方法。Caratheodory條件反映了Caratheodory對Lebesgue測度的深刻理解。

在教學(xué)中，對于地方性本科院校的數(shù)學(xué)系學(xué)生，如臺州學(xué)院學(xué)生，既要從直觀上介紹Lebesgue測度的原始定義，也要使他們明白Lebesgue的原始定義依賴于原集合的性質(zhì)而不能進行推廣的缺陷。在此基礎(chǔ)上更要強調(diào)Caratheodory的定義脫離了原集合的具體性質(zhì)便于進一步的推廣深入，這是大多數(shù)《實變函數(shù)》教材采用Caratheodory定義的原因。

4 關(guān)于測度概念的進一步提升

從上面定義中可以看到，Rn中的任何點集都有外測度。我們知道，外測度只有次可加性而沒有可列可加性，而測度是要滿足可列可加性的，所以，我們要找到Rn的子集族，使得外測度在此子集族上成立可列可加性。

Rn的子集族X稱為一個σ-代數(shù)，如果它滿足：

（1）Rn，Ф，I∈X，其中I為任何區(qū)間，

（2）若A∈X，則AC∈X，

設(shè)Ω為一非空集，2Ω是Ω的冪集，即Ω所有子集構(gòu)成的集族。但Ω的子集太多，我們得剔除掉那些性質(zhì)“不好”的集合。設(shè)映射］，滿足：

（1）m*（Ф）=0，

稱E∈2Ω是m*-可測的，如果對任何的T∈2Ω，成立

容易證明，全體m*-可測集構(gòu)成一個σ-代數(shù)，記為M*。可以證明，對任何，如果它們兩兩不交，則，即可列可加性成立，這時上面的映射］（它先是外測度）就成為M*上的測度。

到這里，我們已經(jīng)看到，外測度是定義在冪集2Ω上的非負函數(shù)，而測度是定義在冪集2Ω中由m*-可測集構(gòu)成σ-代數(shù)M*上的非負函數(shù)。即，通過Caratheodory條件，縮小外測度的定義域，便得到了測度。

最后，我們指出，抽象的測度理論可以完全建立在公理化的基礎(chǔ)上，從中我們可以幾乎看不到任何構(gòu)造性的痕跡。由此可見，從Lebesgue的原始方法到Caratheodory的方法，是測度從具體到抽象的飛躍——測度理論從此在眾多領(lǐng)域都起到了很大的作用。例如，當將測度］的值域限制為［0，1 ］時，測度便是我們知道的概率。換言之，概率是特殊的測度。

在教學(xué)中，在深入講授了具體的測度以后，可以恰當介紹抽象測度的內(nèi)容，以便提升學(xué)有余力學(xué)生的學(xué)習(xí)水平。

［1］鄭維行，王聲望.實變函數(shù)與泛函分析概要（第一冊）［M］.2版.北京：高等教育出版社，1986.

［2］程其襄，張奠畝，魏國強，等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［3］胡適耕.實變函數(shù)論［M］.北京：高等教育出版社，1999.

Teaching Explorations on Measure

YU Zhi-jian

（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China）

In this paper, some teaching explorations on important concept measure in function of real variable are done.It is necessary not only the original definition of measure should be introduced,but also the fault of this definition depending on the specific properties of point sets should be pointed out.Furthermore,it is crucial to be emphasized that the definition of measure based on the Caratheodory condition is convenient to be generalized since this definition separates itself from the concrete characters of point sets.

function of real variable;Lebesgue measures;measures;abstract measures;teaching explorations

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2014.06.016

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

2014-11-05；

2014-11-27

虞志堅（1971- ），男，浙江臺州人，副教授。