柴油機(jī)振動(dòng)信號(hào)的分形特征及故障診斷

董安，潘宏俠

（中北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，太原 030051）

柴油機(jī)缸蓋的振動(dòng)信號(hào)是由不同零部件或者不同振源激發(fā)的信號(hào)相互疊加形成的，具有明顯的非線性、非平穩(wěn)性。分形維數(shù)是表征信號(hào)復(fù)雜程度的重要參數(shù)，是衡量分形無序性的重要指標(biāo)。大量的研究資料表明，分形維數(shù)能夠反映機(jī)械設(shè)備、機(jī)械零部件的運(yùn)行狀態(tài)及其信號(hào)的不規(guī)則性和非平穩(wěn)性，它可以有效識(shí)別機(jī)械設(shè)備的故障狀態(tài)[1]。分形維數(shù)中應(yīng)用最廣泛的是關(guān)聯(lián)維數(shù)，它對(duì)吸引子的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)及不均勻性反映敏感，而且計(jì)算過程比較簡(jiǎn)單。但是，關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)噪聲比較敏感。文獻(xiàn)[2]指出，當(dāng)信號(hào)中噪聲較小時(shí)計(jì)算的關(guān)聯(lián)維數(shù)比較可靠，噪聲含量較大時(shí)，信號(hào)的關(guān)聯(lián)積分的收斂區(qū)間很小，計(jì)算的關(guān)聯(lián)維數(shù)不可靠，必須進(jìn)行降噪處理。小波包降噪可以有效濾除不需要的頻率成分、降低噪聲干擾、增強(qiáng)有用信號(hào)，降噪效果明顯。本文將柴油機(jī)缸蓋振動(dòng)信號(hào)經(jīng)小波包降噪處理后，再通過改進(jìn)的G-P算法求得關(guān)聯(lián)維數(shù)，發(fā)現(xiàn)在不同的工況下柴油機(jī)具有明顯不同的關(guān)聯(lián)維數(shù)，可以有效區(qū)分故障。

1 小波包降噪

利用小波包分解與重構(gòu)技術(shù)可以將小波變換中上一層中未分解的中高頻段系數(shù)繼續(xù)分解，信號(hào)經(jīng)小波包變換后被分解成很多序列，每一序列對(duì)應(yīng)原始信號(hào)中某個(gè)頻帶的成分。

通常小波包對(duì)信號(hào)降噪步驟如下[3]

(1)選擇一個(gè)小波基函數(shù)，確定它需要分解的層次，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包分解。

(2)對(duì)于一個(gè)給定的熵標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算其最優(yōu)樹，確定最優(yōu)小波包基。

(3)對(duì)每一個(gè)小波包分解系數(shù)，選擇恰當(dāng)?shù)拈撝挡?duì)系數(shù)進(jìn)行量化處理。

(4)信號(hào)的小波包重構(gòu)。

小波包降噪具備了有效區(qū)分信號(hào)中突變部分和噪聲的優(yōu)點(diǎn)，并且有更精細(xì)的局部分析能力，降噪效果要優(yōu)于小波分解。

2 關(guān)聯(lián)維數(shù)

1983 年，Grassberger和Procaccia根據(jù)嵌入定理和相空間重構(gòu)理論，提出了從時(shí)間序列直接計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)的方法，通常稱之為G-P算法[4]。

設(shè)原始時(shí)間序列｛xk：k＝1，2，…，N｝，將其嵌入到m維歐氏空間Rm中，有

式中：τ為延遲時(shí)間，τ＝kΔt，Δt是兩次相鄰采樣的時(shí)間間隔，k取整數(shù)；n=1，…，M，其中

在M個(gè)點(diǎn)中任選一點(diǎn)Xi，計(jì)算其余的點(diǎn)到Xi之間的距離rij，則

傳統(tǒng)的G-P算法選擇2-范數(shù)計(jì)算向量距離，但是其計(jì)算量比較大。由于∞-范數(shù)和2-范數(shù)在空間拓?fù)鋵W(xué)意義上是等價(jià)的。前者的計(jì)算量小，程序運(yùn)行速度快。本文對(duì)G-P算法改進(jìn)，選用∞-范數(shù)

對(duì)重構(gòu)相空間中的這M個(gè)點(diǎn)，計(jì)算其有關(guān)聯(lián)的向量對(duì)數(shù)，凡距離小于相空間中的超球半徑r的向量，都稱為有關(guān)聯(lián)的向量。將有關(guān)聯(lián)的向量所占的比例，記作關(guān)聯(lián)積分函數(shù)C(r)

式中H是Heaviside函數(shù)，表達(dá)式為

由（7）可以推導(dǎo)出關(guān)聯(lián)維數(shù)D為

通常是先計(jì)算在某一嵌入維數(shù)m下一系列點(diǎn)(r，C(r))，由這些點(diǎn)描出lnC(r)-lnr雙對(duì)數(shù)曲線圖。然后確定曲線無標(biāo)度區(qū)的范圍，并用最小二乘擬合落在其內(nèi)的點(diǎn)，擬合直線的斜率就是關(guān)聯(lián)維數(shù)D。

關(guān)于幾個(gè)參數(shù)的討論：

（1）超球半徑r

一般地，超球半徑r應(yīng)滿足

若r的取值偏大，則任何一對(duì)向量都會(huì)發(fā)生“關(guān)聯(lián)”，這時(shí)C(r)=1；若r取值太小，則任何一對(duì)向量都不會(huì)“關(guān)聯(lián)”，有C(r)=0。選擇合適r值，能在某一區(qū)間內(nèi)滿足式（7），使關(guān)聯(lián)維數(shù)能客觀反映系統(tǒng)的本質(zhì)特質(zhì)。通常，取lmin=min(‖Xi－Xj‖)；lmax=max(‖Xi－Xj‖)；i，j=1，2，…，M ；i≠j。

（2）延遲時(shí)間τ

延遲時(shí)間τ太小會(huì)使系統(tǒng)信息不易顯露，產(chǎn)生冗余誤差；太大的τ將使延遲坐標(biāo)之間相關(guān)性差，不能反映系統(tǒng)特性。確定延遲時(shí)間τ的通常有自相關(guān)函數(shù)法、偽相圖法、互信息法等，其目的是使重構(gòu)相空間后各分量保持相互獨(dú)立。

（3）嵌入維數(shù)m

根據(jù)拓肯斯(Takens)嵌入定理

式中m是嵌入相空間的維數(shù)，dA是原相空間吸引子所處空間的維數(shù)。原相空間至少是2維，則有m≥5。原狀態(tài)空間吸引子的維數(shù)一般不知道，所以最小嵌入維數(shù)也很難給出。一般地，為了使重構(gòu)后的相空間能容納原相空間吸引子的特征，盡可能將最小嵌入維數(shù)取足夠大，因?yàn)殛P(guān)聯(lián)維數(shù)隨著嵌入維數(shù)m的增大更易趨于飽和。常用的計(jì)算方法有[5]：飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法、偽最近領(lǐng)域法（FNN）、真實(shí)矢量場(chǎng)法、Cao法。

（4）無標(biāo)度區(qū)

自然界中存在大量的隨機(jī)分形，它沒有數(shù)學(xué)中的分形具有在無窮尺度上的自仿射性或自相似，它只在一定的尺度范圍（無標(biāo)度區(qū)）內(nèi)具有分形特性。無標(biāo)度區(qū)是分形理論中的一個(gè)重要特征，它關(guān)系到關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性。確定無標(biāo)度區(qū)的方法有很多，如[6]：人工判定法、強(qiáng)化系數(shù)法、相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法、擬合誤差法、分維值誤差法、自相似比法、三折線法、遺傳算法和自適應(yīng)方法。

3 柴油機(jī)故障診斷實(shí)例分析

本文對(duì)某V12缸柴油機(jī)缸蓋的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析。采集振動(dòng)信號(hào)的測(cè)點(diǎn)有22個(gè)，選取敏感性強(qiáng)和穩(wěn)定性好的測(cè)點(diǎn)進(jìn)行分析。本文測(cè)點(diǎn)位置在左側(cè)1缸缸蓋罩處，壓電傳感器的型號(hào)為YD 83 D-512。實(shí)驗(yàn)采樣頻率為40 kHz，柴油機(jī)轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，提取缸蓋振動(dòng)加速度信號(hào)。

柴油機(jī)缸蓋振動(dòng)信號(hào)關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算會(huì)受到諸多因素的影響，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的選擇也至關(guān)重要[7]。對(duì)于四沖程柴油機(jī)，曲軸每轉(zhuǎn)2圈為一個(gè)工作循環(huán)，其周期為T=2×60／1 500=0.08 s。本文選取的樣本長(zhǎng)度為4個(gè)工作循環(huán)，一個(gè)樣本時(shí)間為0.32 s，取抽樣步長(zhǎng)bu=4，抽樣降頻后的頻率為10 kHz，則一個(gè)樣本數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為N=0.32×10 000=3 200點(diǎn)。選擇三種工況：正常、左1缸斷油（故障1）、供油提前角增大2.5°（故障2）。利用ddencmp函數(shù)獲取默認(rèn)閾值，再利用wdencmp函數(shù)對(duì)信號(hào)降噪處理。對(duì)小波包分解后的中高頻系數(shù)依次采用調(diào)節(jié)閾值遞增進(jìn)行閾值量化處理，對(duì)三種工況均選擇閾值增量為15，小波包重構(gòu)后其信噪比（SNR）和均方跟誤差（RMSE）較優(yōu)。對(duì)降噪后的振動(dòng)信號(hào)，利用自相關(guān)函數(shù)法求延遲時(shí)間。文獻(xiàn)[8]在求發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲的關(guān)聯(lián)維數(shù)時(shí)，取自相關(guān)函數(shù)的值第一次為零時(shí)對(duì)應(yīng)的延遲時(shí)間比較理想。本文取自相關(guān)函數(shù)變?yōu)榱銜r(shí)對(duì)應(yīng)的延遲時(shí)間。正常工況下的自相關(guān)函數(shù)曲線，如圖1所示，從圖中可以看出時(shí)間延遲τ=2Δt。用同樣的方法求時(shí)間延遲，故障1工況下τ=4Δt，故障2工況下τ=3Δt。

逐漸增大嵌入維數(shù)m（m從5開始，依次遞增5），由改進(jìn)的G-P算法畫出三種工況下的lnC-lnr雙對(duì)數(shù)曲線圖，如圖2—4。

選擇人工判定法確定無標(biāo)度區(qū)。依據(jù)視覺效果確定一段線性關(guān)系最好的區(qū)間為無標(biāo)度區(qū)，即每條曲線中最平坦、線性度最高的部分。文中超球半徑的搜索次數(shù)ss=40（最少為20），因此每條雙對(duì)數(shù)曲線描的點(diǎn)數(shù)為40。對(duì)于前面幾條曲線選擇第2—5點(diǎn)，后面幾條選擇第1—4點(diǎn)作為無標(biāo)度區(qū)。然后用最小二乘法對(duì)無標(biāo)度區(qū)進(jìn)行線性擬合，擬合直線的斜率即為關(guān)聯(lián)維數(shù)。三種工況下小波包降噪后的關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)變化，如圖5所示。

圖2 正常工況下的雙對(duì)數(shù)曲線圖

圖3 故障1工況下的雙對(duì)數(shù)曲線圖

圖4 故障2工況下的雙對(duì)數(shù)曲線圖

從圖中可知：正常工況下嵌入維數(shù)m=45時(shí)，關(guān)聯(lián)維數(shù)達(dá)到飽和，D=5.42.左1缸斷油工況下嵌入維數(shù)m=35時(shí)，關(guān)聯(lián)維數(shù)達(dá)到飽和，D=6.25.供油提前角增大2.5°工況下嵌入維數(shù)m=40時(shí)，關(guān)聯(lián)維數(shù)達(dá)到飽和，D=7.18。

圖5 小波包降噪后關(guān)聯(lián)維隨嵌入維數(shù)變化圖

柴油機(jī)的氣缸在正常工況下是一種自激振動(dòng)，其頻率成分相對(duì)較少；而當(dāng)柴油機(jī)發(fā)生故障時(shí)，會(huì)產(chǎn)生附加的振源，當(dāng)其振動(dòng)的周期成分越多，振動(dòng)就越是趨近于隨機(jī)振動(dòng)，而隨機(jī)振動(dòng)的關(guān)聯(lián)維數(shù)較大[2]。在斷油故障工況下柴油機(jī)會(huì)出現(xiàn)動(dòng)力不足，而供油提前角增大會(huì)導(dǎo)致燃油燃燒不充分、油耗率高以及工作粗暴，這些都會(huì)導(dǎo)致柴油機(jī)激振源增多，其振動(dòng)的無序性、非平穩(wěn)性特征增強(qiáng)。因此它們的關(guān)聯(lián)維數(shù)值比正常時(shí)（D=5.42）大，而供油提前角增大時(shí)關(guān)聯(lián)維數(shù)最大（D=7.18），說明它的信號(hào)更為復(fù)雜、無序性程度更高。

對(duì)原始信號(hào)，利用同樣的方法可以得到三種工況下的關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)變化，如圖6所示。

圖6 小波包降噪前關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)變化圖

對(duì)于未經(jīng)降噪處理的原始振動(dòng)信號(hào)，其關(guān)聯(lián)維數(shù)和嵌入維數(shù)的關(guān)系比較雜亂，計(jì)算出來的關(guān)聯(lián)維數(shù)值偏大并且沒有趨于飽和的趨勢(shì)。因此，用含有噪聲的信號(hào)計(jì)算出來的關(guān)聯(lián)維數(shù)來描述系統(tǒng)的無序性、非平穩(wěn)性是不可靠的。

4 結(jié)語

（1）經(jīng)過小波包降噪處理后的信號(hào)，關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)的增加達(dá)到飽和并趨于穩(wěn)定，說明小波包能有效降低噪聲干擾；

（2）柴油機(jī)的振動(dòng)信號(hào)在相空間趨于某一有限維或奇異吸引子，其在不同工況下具有不同的分形特性，關(guān)聯(lián)維數(shù)表征了信號(hào)的復(fù)雜程度，可以作為一個(gè)特征參量，將它用于柴油機(jī)的故障診斷是可行有效的；

（3）人工判定法會(huì)有一定的誤差，但是計(jì)算結(jié)果總體不影響故障區(qū)分效果；影響關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算結(jié)果有諸多因素，這需要更加深入的研究。

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