整體化數(shù)學(xué)思想在高考試題中的應(yīng)用

劉長(zhǎng)偉

數(shù)學(xué)思想、方法是數(shù)學(xué)中的精髓，是聯(lián)系數(shù)學(xué)中各類(lèi)知識(shí)的紐帶。學(xué)生一旦掌握了這些思想和方法，將會(huì)終身受益。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們?cè)絹?lái)越感覺(jué)到滲透數(shù)學(xué)思想的重要性，因?yàn)檫@是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)上的認(rèn)識(shí)。雖然數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，但解題并不是數(shù)學(xué)教育的全部，根據(jù)新課程理念，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思想去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。整體化思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，是一種從宏觀的的角度來(lái)審視問(wèn)題、解決問(wèn)題的思想。下面就通過(guò)一些典型的高考數(shù)學(xué)試題的解析感悟一下整體化數(shù)學(xué)思想的魅力。

一、集合問(wèn)題中的正難則反法或補(bǔ)集法

集合這個(gè)概念本身就具有整體性，某些確定的、不同的對(duì)象的全體就構(gòu)成一個(gè)集合。集合的性質(zhì)也是集合中全體元素具有的性質(zhì)，集合論所體現(xiàn)出來(lái)的整體思想在解題中可以帶來(lái)許多便捷，集合論的思想方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，從整體上推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

例1：（2011年江蘇高考試題）設(shè)集合，A={（x，y）|■≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠？覫則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________。

分析：當(dāng)m≤0時(shí)，集合A是以（2，0）為圓心，以m為半徑的圓，當(dāng)m>0時(shí)，集合A是以（2，0）為圓心，以■和m為半徑的圓環(huán)。集合B是在兩條平行線之間的區(qū)域。若從題的條件出發(fā)，用直接方法解此題要分三種情況，還要考慮題本身的隱含條件，情況多，學(xué)生容易出錯(cuò)，若從問(wèn)題的反面即A∩B=？覫來(lái)考慮此題，只需分如圖（1）的兩種情況，減少計(jì)算量有助于學(xué)生準(zhǔn)確答題。簡(jiǎn)解如下：

1.A=？覫，即■>m2，解得0

2.A≠？覫，則m≤0或m≥■。從圖象上看A∩B≠？覫就是兩個(gè)集合所表示的區(qū)域沒(méi)有重合部分，而由l1，l2直線方程可知l1必在l2的下方，故可得如圖（1）所示的兩種情況。

■

可得：（1）■>|m|？圯m>2+■或m<2-■，由圖易知取m>2+■；

（2）■>|m|？圯m>■或m<■；

再由A≠？覫，故m≤0。

由（1），（2）可知，當(dāng)A∩B=？覫？圯m<■或m>2+■；所以A∩B≠？覫？圯■≤m≤2+■；

評(píng)注：上面的解法是間接求法，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔，類(lèi)似的一些問(wèn)題若用直接法解題可能就會(huì)陷入煩瑣計(jì)算的泥潭中，分類(lèi)太多了，學(xué)生出錯(cuò)的概率大，遇到此類(lèi)情況，“正難則反”這種間接解決問(wèn)題的整體化思想便顯示出它的優(yōu)越性。

二、立體幾何中的補(bǔ)形法或補(bǔ)體法

利用補(bǔ)形法或補(bǔ)體法的關(guān)鍵，是敢于掙脫思想上無(wú)形的牢籠，突破思維定勢(shì)的束縛，正確地看待整體與局部的辯證關(guān)系，善于擴(kuò)展思維的空間，通過(guò)恰當(dāng)?shù)难a(bǔ)形、補(bǔ)體，從宏觀、整體的角度來(lái)思索和處理問(wèn)題。

例2：（1997年全國(guó)高考試題）如右圖（2），在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)。設(shè)AA1=2，求三棱錐F-A1ED1的體積。

解：取AB的中點(diǎn)G，CC1的中點(diǎn)M，連接MD1、GE、EF、GA1、GF、ME、MF，則補(bǔ)成三棱柱A1GE-D1MF是直三棱柱，可求得S■=■，故V■=V■=V■=■V■=■×■×2=1。

評(píng)注：補(bǔ)形法的基本解題思路：認(rèn)清原圖形（幾何體）的形體結(jié)構(gòu)，聯(lián)想此幾何圖形（幾何體）拓展后整體結(jié)構(gòu)圖形，再?gòu)恼w圖形（幾何體）中重新認(rèn)識(shí)原幾何圖形，利用整體結(jié)構(gòu)圖形（幾何體）尋找、發(fā)現(xiàn)解題思路。

三、線性規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)法

線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論比較完整、方法比較成熟、應(yīng)用比較廣泛的一個(gè)分支，通過(guò)線性規(guī)劃的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。從近幾年高考試題來(lái)看，對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的考查綜合程度變得越來(lái)越高，應(yīng)該引起足夠的重視。

例3：（2012年江蘇高考試題）已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則■的取值范圍是 。

略解：令■=x，

y=■，

條件就轉(zhuǎn)

化為：3x+y≥5x+y≤4y≥exx>0，y>0

求■的取值范圍。由線性規(guī)劃知識(shí)，做出（x，y）所在的平面區(qū)域（如圖3），求出y=ex的切線為y=ex且易判斷切點(diǎn)P（1，e）在區(qū)域頂點(diǎn)A，B之間，故易求出■的范圍為[e，7]。

評(píng)注：線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它是整體化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用典范。線性規(guī)劃中不論是線性區(qū)域還是目標(biāo)函數(shù)都體現(xiàn)了從整體來(lái)考慮問(wèn)題的一種“整體化”的思想。另外，由于目標(biāo)函數(shù)的多樣性和隱蔽性，把要解決的問(wèn)題化歸為線性規(guī)劃問(wèn)題是此類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)，而能夠順利識(shí)別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是此類(lèi)問(wèn)題的另一個(gè)難點(diǎn)，也是能夠正確解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

四、解析幾何

（一）設(shè)而不求法

“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是很常見(jiàn)的一種方法，其本質(zhì)就是在整體化思想的指導(dǎo)下，根據(jù)題設(shè)條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)法繞過(guò)煩難的計(jì)算，尋求簡(jiǎn)潔、巧妙的通道，達(dá)到“曲徑通幽”效果。

例4：（2012年遼寧理科高考試題）如圖（4），橢圓C0：■+■=1（a>b>0，a，b為常數(shù)），動(dòng)圓C1：x2+y2=t12，b

（1）求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）設(shè)動(dòng)圓C2：x2+y2=t22與C0相交于A1，B1，C1，D1四點(diǎn)，其中b

解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0），則直線A1A的方程為y=■（x+a）①，直線A2B的方程y=■（x-a）②，由①②得y2=■（x2-a2）③，由點(diǎn)A（x1，y1）在橢圓C0上，故■+■=1，從而y12=b2（1-■）代入③得■+■=1（x<-a，y<0）

（2）證明：設(shè)At（x2，y2），由矩形ABCD矩形A1B1C1D1的面積相等，得：4|x1||y1|=4|x2||y2|，故x12y12=x22y22，因?yàn)辄c(diǎn)A，A1均在橢圓上，所以b2x12（1-■）=b2x22（1-■）。

由t1≠t2，知x1≠x2，x12+x22=a2，從而y12+y22=b2，因此t12+t22=a2+b2為定值。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運(yùn)用。本題綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大?？衫谩霸O(shè)而不求”的方法整體考慮問(wèn)題，設(shè)點(diǎn)而不求點(diǎn)，是從問(wèn)題的結(jié)構(gòu)、形式上做巧妙的變化，探尋出結(jié)論從而解決問(wèn)題。“設(shè)而不求”法是解析幾何之中的一種重要的數(shù)學(xué)方法，但運(yùn)用此法一定要注意對(duì)解題過(guò)程的檢驗(yàn)，以免出現(xiàn)多解。

（二）利用曲線系解題

如果兩條曲線的方程是：f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，它們的交點(diǎn)是P（x0，y0），則方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0的曲線是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P的曲線系方程，利用或構(gòu)造這個(gè)方程解題，可以使某些問(wèn)題的求解得以簡(jiǎn)化，利用曲線系來(lái)解題也是整體化思想的一個(gè)體現(xiàn)。

例5：（2011全國(guó)高考試題）如圖（5），已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x2+■=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為-■的直線l與C交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足OA+OB+OP=0。

（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q

四點(diǎn)在同一圓上。

（Ⅰ）由題意易得P（-■，

-1）滿(mǎn)足橢圓方程，所以點(diǎn)P在橢圓C上。

（Ⅱ）分析：此問(wèn)題的證明通常有兩種思路。思路一：證明∠APB，∠AQB互補(bǔ)。通過(guò)證明這兩個(gè)角的正切值互為相反數(shù)即可，在求正切值時(shí)要注意利用倒角公式。思路二：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)找出圓心N，然后證明N到四個(gè)點(diǎn)A、P、B、Q的距離相等即可。上面的兩種思路是常規(guī)解法，但解題過(guò)程較繁，需要學(xué)生有很好的計(jì)算能力及恒等變形能力。下面從另一個(gè)角度利用曲線系這個(gè)整體化思想來(lái)解此題。

（Ⅱ）由P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，故Q（■，1），易得直線PQ的方程：■x-y=0。直線AB的方程：■x+y-1=0。所以曲線C1：（■x-y）（■x+y-1）=0表示直線PQ和AB，又橢圓C：2x2+y2-2=0，所以經(jīng)過(guò)A、P、B、Q四點(diǎn)的曲線方程是：（2x2+y2-2）+λ（■x-y）（■x+y-1）=0。整理為：（2+2λ）x2+（1-λ）y2-■λx+λy-2=0（*），若方程（*）表示圓，則2+2λ=1-λ，∴λ=-■。此時(shí)方程（*）為：（x+■）2+（y-■）2=■。因此A、P、B、Q四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，且圓的方程為：（x+■）2+（y-■）2=■。

評(píng)注：過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程，過(guò)直線與圓的交點(diǎn)以及過(guò)兩個(gè)圓的交點(diǎn)的圓系方程，及圓錐曲線系方程，利用“曲線系”這整體化思想在解決有關(guān)直線與直線及直線與圓、圓與圓或直線與圓錐曲線的問(wèn)題中，有時(shí)起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用。往往會(huì)給人一種耳目一新的感覺(jué)。

通過(guò)上述幾例高考試題的解析，我們不難感受到整體化數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要作用。數(shù)學(xué)方法往往都是數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)方法要靠數(shù)學(xué)思想來(lái)指導(dǎo)，只有有了正確的數(shù)學(xué)思想，才會(huì)產(chǎn)生有效的數(shù)學(xué)方法。因此教師應(yīng)該把思想滲透貫穿于自己平時(shí)的教學(xué)之中，在平時(shí)的課堂教學(xué)中注重提煉典型問(wèn)題中的重要的數(shù)學(xué)思想。這是數(shù)學(xué)精髓和本質(zhì)的東西。（責(zé)任編輯：張華偉）endprint

解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0），則直線A1A的方程為y=■（x+a）①，直線A2B的方程y=■（x-a）②，由①②得y2=■（x2-a2）③，由點(diǎn)A（x1，y1）在橢圓C0上，故■+■=1，從而y12=b2（1-■）代入③得■+■=1（x<-a，y<0）

（2）證明：設(shè)At（x2，y2），由矩形ABCD矩形A1B1C1D1的面積相等，得：4|x1||y1|=4|x2||y2|，故x12y12=x22y22，因?yàn)辄c(diǎn)A，A1均在橢圓上，所以b2x12（1-■）=b2x22（1-■）。

由t1≠t2，知x1≠x2，x12+x22=a2，從而y12+y22=b2，因此t12+t22=a2+b2為定值。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運(yùn)用。本題綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大?？衫谩霸O(shè)而不求”的方法整體考慮問(wèn)題，設(shè)點(diǎn)而不求點(diǎn)，是從問(wèn)題的結(jié)構(gòu)、形式上做巧妙的變化，探尋出結(jié)論從而解決問(wèn)題。“設(shè)而不求”法是解析幾何之中的一種重要的數(shù)學(xué)方法，但運(yùn)用此法一定要注意對(duì)解題過(guò)程的檢驗(yàn)，以免出現(xiàn)多解。

（二）利用曲線系解題

如果兩條曲線的方程是：f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，它們的交點(diǎn)是P（x0，y0），則方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0的曲線是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P的曲線系方程，利用或構(gòu)造這個(gè)方程解題，可以使某些問(wèn)題的求解得以簡(jiǎn)化，利用曲線系來(lái)解題也是整體化思想的一個(gè)體現(xiàn)。

例5：（2011全國(guó)高考試題）如圖（5），已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x2+■=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為-■的直線l與C交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足OA+OB+OP=0。

（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q

四點(diǎn)在同一圓上。

（Ⅰ）由題意易得P（-■，

-1）滿(mǎn)足橢圓方程，所以點(diǎn)P在橢圓C上。

（Ⅱ）分析：此問(wèn)題的證明通常有兩種思路。思路一：證明∠APB，∠AQB互補(bǔ)。通過(guò)證明這兩個(gè)角的正切值互為相反數(shù)即可，在求正切值時(shí)要注意利用倒角公式。思路二：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)找出圓心N，然后證明N到四個(gè)點(diǎn)A、P、B、Q的距離相等即可。上面的兩種思路是常規(guī)解法，但解題過(guò)程較繁，需要學(xué)生有很好的計(jì)算能力及恒等變形能力。下面從另一個(gè)角度利用曲線系這個(gè)整體化思想來(lái)解此題。

（Ⅱ）由P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，故Q（■，1），易得直線PQ的方程：■x-y=0。直線AB的方程：■x+y-1=0。所以曲線C1：（■x-y）（■x+y-1）=0表示直線PQ和AB，又橢圓C：2x2+y2-2=0，所以經(jīng)過(guò)A、P、B、Q四點(diǎn)的曲線方程是：（2x2+y2-2）+λ（■x-y）（■x+y-1）=0。整理為：（2+2λ）x2+（1-λ）y2-■λx+λy-2=0（*），若方程（*）表示圓，則2+2λ=1-λ，∴λ=-■。此時(shí)方程（*）為：（x+■）2+（y-■）2=■。因此A、P、B、Q四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，且圓的方程為：（x+■）2+（y-■）2=■。

評(píng)注：過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程，過(guò)直線與圓的交點(diǎn)以及過(guò)兩個(gè)圓的交點(diǎn)的圓系方程，及圓錐曲線系方程，利用“曲線系”這整體化思想在解決有關(guān)直線與直線及直線與圓、圓與圓或直線與圓錐曲線的問(wèn)題中，有時(shí)起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用。往往會(huì)給人一種耳目一新的感覺(jué)。

通過(guò)上述幾例高考試題的解析，我們不難感受到整體化數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要作用。數(shù)學(xué)方法往往都是數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)方法要靠數(shù)學(xué)思想來(lái)指導(dǎo)，只有有了正確的數(shù)學(xué)思想，才會(huì)產(chǎn)生有效的數(shù)學(xué)方法。因此教師應(yīng)該把思想滲透貫穿于自己平時(shí)的教學(xué)之中，在平時(shí)的課堂教學(xué)中注重提煉典型問(wèn)題中的重要的數(shù)學(xué)思想。這是數(shù)學(xué)精髓和本質(zhì)的東西。（責(zé)任編輯：張華偉）endprint

解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0），則直線A1A的方程為y=■（x+a）①，直線A2B的方程y=■（x-a）②，由①②得y2=■（x2-a2）③，由點(diǎn)A（x1，y1）在橢圓C0上，故■+■=1，從而y12=b2（1-■）代入③得■+■=1（x<-a，y<0）

（2）證明：設(shè)At（x2，y2），由矩形ABCD矩形A1B1C1D1的面積相等，得：4|x1||y1|=4|x2||y2|，故x12y12=x22y22，因?yàn)辄c(diǎn)A，A1均在橢圓上，所以b2x12（1-■）=b2x22（1-■）。

由t1≠t2，知x1≠x2，x12+x22=a2，從而y12+y22=b2，因此t12+t22=a2+b2為定值。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運(yùn)用。本題綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大?？衫谩霸O(shè)而不求”的方法整體考慮問(wèn)題，設(shè)點(diǎn)而不求點(diǎn)，是從問(wèn)題的結(jié)構(gòu)、形式上做巧妙的變化，探尋出結(jié)論從而解決問(wèn)題?！霸O(shè)而不求”法是解析幾何之中的一種重要的數(shù)學(xué)方法，但運(yùn)用此法一定要注意對(duì)解題過(guò)程的檢驗(yàn)，以免出現(xiàn)多解。

（二）利用曲線系解題

如果兩條曲線的方程是：f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，它們的交點(diǎn)是P（x0，y0），則方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0的曲線是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P的曲線系方程，利用或構(gòu)造這個(gè)方程解題，可以使某些問(wèn)題的求解得以簡(jiǎn)化，利用曲線系來(lái)解題也是整體化思想的一個(gè)體現(xiàn)。

例5：（2011全國(guó)高考試題）如圖（5），已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x2+■=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為-■的直線l與C交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足OA+OB+OP=0。

（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q

四點(diǎn)在同一圓上。

（Ⅰ）由題意易得P（-■，

-1）滿(mǎn)足橢圓方程，所以點(diǎn)P在橢圓C上。

（Ⅱ）分析：此問(wèn)題的證明通常有兩種思路。思路一：證明∠APB，∠AQB互補(bǔ)。通過(guò)證明這兩個(gè)角的正切值互為相反數(shù)即可，在求正切值時(shí)要注意利用倒角公式。思路二：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)找出圓心N，然后證明N到四個(gè)點(diǎn)A、P、B、Q的距離相等即可。上面的兩種思路是常規(guī)解法，但解題過(guò)程較繁，需要學(xué)生有很好的計(jì)算能力及恒等變形能力。下面從另一個(gè)角度利用曲線系這個(gè)整體化思想來(lái)解此題。

（Ⅱ）由P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，故Q（■，1），易得直線PQ的方程：■x-y=0。直線AB的方程：■x+y-1=0。所以曲線C1：（■x-y）（■x+y-1）=0表示直線PQ和AB，又橢圓C：2x2+y2-2=0，所以經(jīng)過(guò)A、P、B、Q四點(diǎn)的曲線方程是：（2x2+y2-2）+λ（■x-y）（■x+y-1）=0。整理為：（2+2λ）x2+（1-λ）y2-■λx+λy-2=0（*），若方程（*）表示圓，則2+2λ=1-λ，∴λ=-■。此時(shí)方程（*）為：（x+■）2+（y-■）2=■。因此A、P、B、Q四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，且圓的方程為：（x+■）2+（y-■）2=■。

評(píng)注：過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程，過(guò)直線與圓的交點(diǎn)以及過(guò)兩個(gè)圓的交點(diǎn)的圓系方程，及圓錐曲線系方程，利用“曲線系”這整體化思想在解決有關(guān)直線與直線及直線與圓、圓與圓或直線與圓錐曲線的問(wèn)題中，有時(shí)起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用。往往會(huì)給人一種耳目一新的感覺(jué)。

通過(guò)上述幾例高考試題的解析，我們不難感受到整體化數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要作用。數(shù)學(xué)方法往往都是數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)方法要靠數(shù)學(xué)思想來(lái)指導(dǎo)，只有有了正確的數(shù)學(xué)思想，才會(huì)產(chǎn)生有效的數(shù)學(xué)方法。因此教師應(yīng)該把思想滲透貫穿于自己平時(shí)的教學(xué)之中，在平時(shí)的課堂教學(xué)中注重提煉典型問(wèn)題中的重要的數(shù)學(xué)思想。這是數(shù)學(xué)精髓和本質(zhì)的東西。（責(zé)任編輯：張華偉）endprint