一類高次方程的求根問題

張翎

摘 要 高次方程的求根是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，除一些特殊的方程外，大部分只能用計(jì)算方法求得方程的近似解。本文將多項(xiàng)式中最大公因式的理論運(yùn)用于這一問題，討論了一類特殊的高次方程的求根問題。

關(guān)鍵詞 最大公因式 重根 不可約多項(xiàng)式 標(biāo)準(zhǔn)分解式

中圖分類號(hào)：O151.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Solution of an Equation of Higher Degree

ZHANG Ling

（College of Mathematics and Computer Science， Yunnan University of Nationalities， Kunming，Yunnan 650031）

Abstract Roots of high-order equation is a more complex problem， in addition to some special equation， the most they can obtain approximate solutions equation method of calculation. This article will use the greatest common divisor of the polynomial theory applied to this problem， discuss the issue of a special kind of rooting higher equations.

Key words greatest common factor； multiple roots； irreducible polynomial； standardized decomposition expression

1 一類高次方程的求根問題

設(shè)有高次方程 + + … + + = 0，如果多項(xiàng)式 （） = + + … + + 有重根，它就有重因式，如果能將其重因式去掉，那么 （）的次數(shù)就會(huì)降低，這就有助于求出 （） = 0的根。

由多項(xiàng)式的理論，如果不可約多項(xiàng)式 （）是多項(xiàng)式 （）的重因式（≥2），那么它就是 （）的導(dǎo)函數(shù) （）的重因式（≥1），故 （）就是 （）與 （）的公因式，于是最大公因式（ （）， （））≠1，即其次數(shù)（ （）， （））>1，用（ （） （））去除 （）所得的商（） = 的次數(shù)就比 （）的次數(shù)低，并且它與 （）有完全相同的因式，從而有完全相同的根。這樣，求高次方程 （） = 0的根的問題就轉(zhuǎn)化為求次數(shù)較低的方程（） = 0的根。

事實(shí)上設(shè) （）的標(biāo)準(zhǔn)分解式為，即不可約多項(xiàng)式 （）， （）， … （）分別是 （）的重，重，…，重因式，由最大公因式的理論，

于是，（） = = （） （）… （）。可見，（）沒有重因式，但它與 （）具有完全相同的因式。當(dāng) （）有重因式時(shí)，（ （）， （））>1，于是（）的次數(shù)比 （）的次數(shù)低。用這樣的方法求出 （）的不相同的根后，可以確定每一個(gè)根的重?cái)?shù)，從而得到 （）的全部根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。關(guān)于重根，多項(xiàng)式理論中有下面的結(jié)論： = 是多項(xiàng)式 （）的重根的充分必要條件是 = 是 （）， （）， …，（）的根，但不是（）的根。

下面通過例子來說明這一方法。

例1. 求高次方程 2 + 7 + 9 = 0的根。

解：設(shè) （） = 2 + 7 + 9， （）= 4 6 + 14 6，用輾轉(zhuǎn)相除法求得 （）與 （）的最大公因式 （）= （ （）， （））= + 3，用 （）去除 （）得（）= = + 3，易得（）的根為 = + 和 = ，，也是 （）= 0的根。再來討論這兩個(gè)根的重?cái)?shù)。

由于 （）= 0， （）= 0，但 （）≠0， （）≠0，可知，都是 （）= 0的二重根。由于 （）= 0為4次方程，所以它們是該方程的全部根。

有時(shí)（） = 0的根仍然不易求出，此時(shí)也可以先求出（ （）， （）） = 0的根，因?yàn)樗鼈兪?（）= 0的重根，故也是（） = 0的根，這樣降低了（）的次數(shù)，從而比較容易求出（） = 0的其余根。

實(shí)際上，當(dāng) （） = （ （）， （））≠1時(shí)，它是 （）與 （）的公因式，從而是 （）的重因式，于是 （）= ，此時(shí)可以求出 （）與 （） 的根，它們都是 （）的根，并且 （）的次數(shù)比（）的次數(shù)低，因而求根也更容易。

例2. 求高次方程 + 4 + 6 12 16 8 = 0的根。

解：設(shè) （）= + 4 + 6 12 16 8，用輾轉(zhuǎn)相除法求得 （） = （ （）， （））= + 2 + 2，于是 （） = （），用帶余除法可求得 （） = 2。

易見 （）的根為 = ， = -，又 （）的根為 = -1 + ， = -1 ，他們都是 （）的二重根。故 （）的全部根為 = （單根）， = -（單根）， = -1 + （二重根）， = -1 （二重根）。

如果 （）是有理系數(shù)多項(xiàng)式，并且它有有理根，可以結(jié)合有理系數(shù)多項(xiàng)式求有理根的方法，先求出 （）的有理根，這樣可以降低 （）的次數(shù)，使計(jì)算更加容易。

關(guān)于有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根，多項(xiàng)式理論中有下面的兩個(gè)結(jié)論：第一，如果有理數(shù)（其中與互素）是整系數(shù)多項(xiàng)式 （） = + + … + + 的根，那么|，|。第二，任一有理系數(shù)多項(xiàng)式 （）都可以表成一個(gè)有理數(shù)與一個(gè)本原多項(xiàng)式 （）的乘積 （） = （）。而本原多項(xiàng)式是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。

例3. 求高次方程 + 3 + + 3 2 + 2 = 0的根。

解：設(shè) （） = + 3 + + 3 2 + 2

由上面的第一個(gè)結(jié)論，如果 （）有有理根，只可能是？或？，代入驗(yàn)算，只有 （-1） = 0故 = -1是 （）的有理根。又 （-1）≠0，于是 = -1是 （）的單根。

設(shè) （） = （ + 1） （），用帶余除法求得 （） = 2 + 5 6 + 7 4 + 2，用輾轉(zhuǎn)相除法求得 （）與 （）的最大公因式（ （）， （）） = + 1。

故 （） = （），用帶余除法可得 （） = + 2，于是 （） = （ + 1）。

故 （）的全部根為 = -1（單根）， = + （二重根）， = （二重根）， = （單根）， = -（單根）。

2 結(jié)束語

用本文介紹的方法求高次方程 （）= 0的根，實(shí)際上是將 （）分解成 （） = （），分別求出和 （）的根，從而得到 （）的根。因此要求≠1，只有這樣，才能將 （） 的求根問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)次數(shù)較低的多項(xiàng)式和 （）的根。所以，只有當(dāng) （）有重根時(shí)， （）與 （）才不互素，這個(gè)方法才有意義。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐德余等.高等代數(shù)[M].成都：四川大學(xué)出版社，2002.

[2] 劉仲奎等.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.