Bessel函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用

劉冬冬

摘要：本文首先介紹了貝塞爾函數(shù)的來源，然后介紹了其在物理學(xué)中的應(yīng)用。貝塞爾函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用是很廣泛的，筆者主要以貝塞爾函數(shù)在熱傳導(dǎo)問題、量子力學(xué)和電動力學(xué)中的應(yīng)用為例來說明其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：貝塞爾函數(shù)；熱傳導(dǎo)；球方勢阱；圓柱形導(dǎo)體；圓柱形波導(dǎo)

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）01-0119

一、引言

貝塞爾函數(shù)的幾個正整數(shù)階特例早在18世紀(jì)中葉就由瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動時提出，丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利，歐拉、拉格朗日等數(shù)學(xué)大師對貝塞爾函數(shù)的研究做出貢獻(xiàn)。1817年，德國數(shù)學(xué)家貝塞爾在研究開普勒提出的三體引力系統(tǒng)的運動問題時，第一次系統(tǒng)地提出了貝塞爾函數(shù)的總體理論框架，后人以他的名字來命名了這種函數(shù)，現(xiàn)在貝塞爾函數(shù)廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)中。貝塞爾方程是在柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式 α=n；在球形域問題中得到的是半奇數(shù)階形式 α=n+1/2），因此貝塞爾函數(shù)在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，最典型的問題有：

在圓柱形波導(dǎo)中的電磁波傳播問題；圓柱體中的熱傳導(dǎo)問題；圓形（或環(huán)形）薄膜的振動模態(tài)分析問題。在其他一些領(lǐng)域，貝塞爾函數(shù)也相當(dāng)有用。譬如在信號處理中的調(diào)頻合成（FM synthesis）或凱澤窗（Kaiser window）的定義中，都要用到貝塞爾函數(shù)。

二、貝塞爾方程和貝塞爾函數(shù)

1. 貝塞爾方程的來源

貝塞爾方程是在柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的。柱坐標(biāo)系中拉普拉斯算符的表達(dá)式為△=■■（ρ■）+■■+■，令U（ρ，φ，Z）=R（ρ）φ（φ）Z（z），通過對拉普拉斯方程 2 U=0分離變量得到關(guān)于變量ρ的方程：

ρ2R″（ρ）+ρR′（ρ）+[（λ-μ）ρ2-n2]R（ρ）=0 （1）或

ρ2R″（ρ）+ρR′（ρ）+[（-μ）ρ2-n2]R（ρ）=0 （2）

其中n=0，1，2……，若（λ-μ）或（-μ）≥0則k2=（λ-μ）或（-μ）此時上述二方程均變?yōu)椋?/p>

ρ2R″（ρ）+ρR′（ρ）+[k2ρ2-n2]R（ρ）=0 （3）

稱為n階貝塞爾方程，令x=kρ，y（x）=R（ρ）則n階貝塞爾方程又可表示為：

x2y″（x）+xy′（x）+（x2-n2）=0 （4）

（3）和（4）是整數(shù)階貝塞爾方程，若將之進(jìn)行推廣即將n推廣為實數(shù)υ則得到任意階的貝塞爾方程：

x2y″（x）+xy′（x）+（x2-υ2）=0 （5）

2. 貝塞爾方程的通解

（1）υ和-υ階的Bessel函數(shù)——第一類柱函數(shù)，

Jυ（x）=■■（■）2k+υ，Jυ（x）=■■（■）2k-υ均為Bessel方程的特解，當(dāng)υ≠n（n=0，±1，±2……）時Bessel方程的通解是yc=CυJυ（x）+D-υ（x），當(dāng)υ=n時J-n（x）=（-1）nJn（x）。

（2）第二類柱函數(shù)——Neumann函數(shù)

定義Nυ（x）=■為第二類柱函數(shù)，此時Bessel方程的通解表示為：yc=AυJυ（x）+BυNυ（x）。

（3）第三類柱函數(shù)——Hankel函數(shù)

定義Hυ（1）（x）=Jυ（x）+iNυ（x），Hυ（2）=Jυ（x）-iNυ（x）為第三類柱函數(shù)，于是貝塞爾函數(shù)的通解又可表示為：y（x）=C1Hυ（1）（x）+C2Hυ（2）（x）。

3. 球貝塞爾方程的來源

利用球坐標(biāo)系拉普拉斯算符的表達(dá)式，可得球坐標(biāo)系亥姆霍茲方程的表達(dá)式：

■■（r2■）+■■（sinθ■）+■■+k2υ=0 （6）

把變數(shù)r跟變數(shù)θ，φ分離開來，以υ（r，θ，φ）=R（r）Y（θ，φ）代入式（6），用■遍乘各項并適當(dāng)移項得：

■■（r2■）+k2r2=■■（sinθ■）-■■ （7）

左邊是r的函數(shù)，右邊是θ，φ的函數(shù)，兩邊相等是不可能的，除非兩邊實際上是同一個常數(shù)，通常把這個常數(shù)記作l（l+1）。這就分解為兩個方程：

■■（sinθ■）+■■+l（l+1）R=0 （8）■（r2■）+[k2r2-l（l+1）]R=0 （9）

其中式（9）亦即：

r2■+2r■+[k2r2-l（l+1）]R=0 （10）

這叫做l階球貝塞爾方程。這是因為對于k>0，可以把自變數(shù)r和函數(shù)R（r）分別換作x和x=krR（r）=■ ，則方程（10）式成為：

x2■+x■+[x2-（l+■）2]y=0 （11）

這正是l+■階的貝塞爾方程。

4. 球貝塞爾方程的解

若k=0，則方程（10）退化為：

r2■+2r■-l（l+1）R=0 （12）

其線性獨立的兩解是rl和■。k≠0時（l+■）階貝塞爾方程有如下幾種解J （x），J （x），N （x），H（1） （x），H（2） （x），其中任取兩個就組成（l+■）階貝塞爾方程的線性獨立解。這樣球貝塞爾方程的線性獨立解也就是下列五中之中任取的兩種：jl（x）=■J （x），j-l（x）=■J （x），n1（x）=■N（1） ， hl= ■H（1） （x），h（2）（x）=■H（2） （x）。

三、貝塞爾函數(shù)在量子力學(xué)中的應(yīng)用分析

1. 球方勢阱

許多事實，譬如原子核的質(zhì)量與質(zhì)量數(shù)A成正比，原子核的結(jié)合能也近似地與核子數(shù)成正比等說明核子之間的力是短程的強作用力，它的作用距離只有10-13厘米的數(shù)量級，這樣短程作用力的勢能可以簡單地用一球方勢阱替代，我們討論球方勢阱中的束縛態(tài)，勢能形式為：

V（r）=-ν0，r≤a0，r>a 其中ν0為常數(shù)，

在束縛態(tài)情形（-ν0

■+■■+[■（E+ν0）-■]R=0，r≤a ■+■■+[■E-■]R=0，r>a （13）

考慮到-ν0

令ρ=kr=r■，r≤a ar=r■，r>a則式（13）可化為：

■+■■+[1-■]R=0，r≤a ■+■■+[-1-■]R=0，r>a （14）

式（14）球貝塞爾方程和虛宗量球貝塞爾方程，他們的通解是：

R=Ajl（ρ）+Bnl（ρ），r≤a R=Chl（1）（iρ）+Dhl（2）（iρ），r>a，其中jl和nl分別是l階球貝塞爾函數(shù)和球諾伊曼函數(shù)，hl（1）和hl（2）是l階第一類和第二類球漢克爾函數(shù)。

2. 無限深球方勢阱中運動的粒子

考慮在半徑為a的球形匣子中運動的粒子，這相當(dāng)于粒子在一個無限深方勢阱中運動，即V（r）=0（ra），對于角動量l≠0的量子態(tài)徑向波函數(shù)Rl（r）滿足下列微分方程：

Rln+■R′l+[k2-■]Rl=0（r

而在邊界上要求Rl（r） r=a=0引入無量綱變數(shù)ρ=kr則式（15）化為：■+■■+[1-■]R1=0 （16）

這就是球貝塞爾方程。令R1=■，經(jīng)過計算可求出U1滿足下列方程：Ul″+■Ul′+[1-■]Ul=0 （17）

這正是半奇數(shù)（l+■）階貝塞爾方程（l=0，1，2……），它的兩個線性無關(guān)解可表示為J （ρ），J （ρ）。所以徑向波函數(shù)的兩個解是：Rl∝■J ，■J 通常用球貝塞爾函數(shù)及球諾伊曼函數(shù)表示：jl（ρ）=■J （ρ），nl=（-1）l+1■J （ρ）。

3. 有限深球方勢阱中運動的粒子

考慮在半徑為a的球形有限深球方勢阱中運動，有限深球方勢阱形式如下：V（r）=0，ra，考慮E<ν0（束縛態(tài)）情況，

令k=■k′=■，則徑向方程為：

Rl″+■Rl′+[k2-■]Rl=0（ra） （18）

它是球貝塞爾方程，其解為球貝塞爾函數(shù)（取jl，nl，hl，hl，當(dāng)中任意兩個線性疊加）。但在ra區(qū)域能保證處r→∞束縛態(tài)邊界條件的波函數(shù)只能取虛宗量漢克爾函數(shù)hl（ik′r），Rl（r）=Bk′lhl（ik′r）（r>a）

四、貝塞爾函數(shù)在電動力學(xué)中的應(yīng)用分析

貝塞爾函數(shù)在電動力學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，例如：應(yīng)用于均勻外場中的導(dǎo)體柱求空間電勢分布、圓柱形導(dǎo)體中的趨膚效應(yīng)、圓柱形波導(dǎo)中波膜的分析、圓柱形諧振腔中的應(yīng)用等.若介質(zhì)各向同性、分布均勻且內(nèi)部沒有自由電荷或電流，則恒場滿足拉普拉斯方程的求解問題，按不同的邊界形狀，可選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用分離變量法求出拉普拉斯方程的通解，再由邊界條件確定通解中的待定系數(shù)。在柱坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為：[■■（ρ■）+■■+■]φ=0，其通解為φ=■eiυφ{(diào)[aksinh（kz）+bkcosh（kz）][cυkJυ（kρ）+dυkNυ（kρ）]+[a′ksinh（kz）+b′kcosh（kz）][c′υkIυ（kρ）+dυkKυ（kρ）]}或Jυ、Nυ式中、分別是第一、二類υ階貝塞爾函數(shù)，Iυ、Kυ則是第一、二類υ階變形貝塞爾函數(shù)。

注意：（a）若φ與z無關(guān)則φ=a0+b0lnρ+■（aυ ρυ+bυρ-υ）[cυcos（υφ）+cυsin（υφ）]或φ=a0+b0lnρ+■（aυ ρυ+bυ ρ-υ）exp（iυφ）；

（b）如果φ的取值不受限制，則υ為正整數(shù)，否則υ為正實數(shù)。

1. 均勻外場中的圓柱形導(dǎo)體

在均勻外場E=E0ex中有一半徑為R，線電荷密度為λ的無限長圓柱形導(dǎo)體，柱軸與外場垂直，求空間電勢分布。

解：柱內(nèi)電場為零，在柱坐標(biāo)系中柱外電勢滿足方程：

2φ=0，ρ

（上接第120頁）

2. 圓柱形波導(dǎo)

設(shè)波導(dǎo)管是由圍繞Z軸的理想導(dǎo)體柱面構(gòu)成，則波導(dǎo)中電磁波的縱場振幅滿足柱坐標(biāo)系中的亥姆霍茲方程：

[■+■■+■■]Y（ρ，φ）=0 （19）

及邊界條件Y ρ=0 =有限Y ρ=a =0當(dāng)Y=E0z■ ρ=a =0當(dāng)Y=H0z （20）

令Y（ρ，φ）=R（ρ）φ（φ），則原方程分離為兩個方程：

（■+m2）φ=0 （21）[■+■■+（kc2-■）]R=0 （22）

由于解必須是單值的，方程（21）的解為：

φ=exp（imφ），m=0，±1，±2…… （23）

由于解在原點有限，m階貝塞爾方程（22）的解為：

R=Jm（kcρ），m=0，±1，±2……，因而通解為： （24）

Y（ρ，φ）=Jm（kcρ）[A1exp（imφ）+A2exp（-imφ）]

式中A1，A2均為待定系數(shù)，由波導(dǎo)管壁上的邊界條件可求出。

參考文獻(xiàn)：

[1] 姚端正.數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[2] 梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社，1998.

[3] 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)卷[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[4] 劉覺平.電動力學(xué)[M].北京.高等教育出版社，2004.

[5] John David Jackson.Classical Electrodynamics （The third edition）[M].BeiJing：High Education Press，2004.

[6] 奚定平.貝塞爾函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1998.

（作者單位：山西省呂梁市體育運動學(xué)校 033000）