淺析分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性

李永玲++殷華敏++楊芳萍

【摘 要】作為數(shù)學(xué)的重要組成部分分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)發(fā)展了將近5個(gè)世紀(jì)，所謂分?jǐn)?shù)階微積分是指微分的階數(shù)或者積分的階數(shù)不再是傳統(tǒng)的整數(shù)階，而是任意的一個(gè)實(shí)數(shù)甚至于可以是復(fù)數(shù)。之所以現(xiàn)在有關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分的研究?jī)?nèi)容非常之多，是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微積分方程在混沌理論、高分子解鏈、非牛頓流體力學(xué)等很多領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，而且經(jīng)過(guò)實(shí)際檢驗(yàn)，分?jǐn)?shù)階微積分方程對(duì)于研究結(jié)果的準(zhǔn)確性有著很大影響?；诖?，本文將對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性進(jìn)行研究。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)階微分方程 存在性

分?jǐn)?shù)階微分方程發(fā)展至今已經(jīng)有300多年的歷史，相較于整數(shù)階微積分而言，也已經(jīng)在很多領(lǐng)域有著較為廣泛的應(yīng)用。如今，分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)成為處理幾何與分?jǐn)?shù)維動(dòng)力學(xué)的最佳分析工具。

分?jǐn)?shù)階微分方程研究的重點(diǎn)是正解的存在性、多重性以及正解的分歧與漸進(jìn)性等。雖然說(shuō)整數(shù)階微分方程的很多研究成果，如函數(shù)論、積分變換、特殊函數(shù)等等，和分?jǐn)?shù)階微分方程在一定程度上有些聯(lián)系，而且有些研究成果可以直接用于分析分?jǐn)?shù)階微分方程。但實(shí)際上分?jǐn)?shù)階微分方程理論體系只能算是剛剛有了雛形，很多研究?jī)?nèi)容均是將整數(shù)階的分析方法照搬到分?jǐn)?shù)階微分方程上，如算子演變、組合方法、不定點(diǎn)理論等。不同的邊值條件和階數(shù)條件，我們可以使用不同的方法來(lái)求解分?jǐn)?shù)階微分方程，也可用來(lái)證明其正解的存在性。就目前的研究情況來(lái)看，使用最多的求解方法就是特殊函數(shù)法，這里的特殊函數(shù)以Green函數(shù)使用最多。對(duì)于不同的邊值條件和階數(shù)條件，求解Green函數(shù)的方法以及所得到的Green函數(shù)值會(huì)有所不同，所以在估計(jì)分?jǐn)?shù)階微分方程正解存在條件以及證明正解存在性的方法上，也會(huì)有較大的區(qū)別。

1819年，Lacroix率先提出了1/2導(dǎo)數(shù)的結(jié)果：d1/2y / dx1/2=；之后在1832年，Liouville根據(jù)級(jí)數(shù)的概念對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了重新定義；1853年，Riemann按照定積分的形式對(duì)分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行了定義。

在整數(shù)階微積分理論的前提下，分?jǐn)?shù)級(jí)微積分有著更深入的發(fā)展，它對(duì)函數(shù)的階數(shù)沒(méi)有任何限制，甚至于是復(fù)數(shù)都可以進(jìn)行計(jì)算。自然界中很多非線性問(wèn)題使用整數(shù)階微積分概念來(lái)解決有一定的難度，但是分?jǐn)?shù)階微積分就有著較大的優(yōu)勢(shì)。譬如，研究擴(kuò)散空間理論，假如某一種微利的擴(kuò)散傳播速度與古典布朗運(yùn)動(dòng)不一致，我們就可以用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來(lái)取代空間擴(kuò)散二階導(dǎo)數(shù)，從而更廣泛的解釋分析擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。在1974年的國(guó)際分?jǐn)?shù)階微積分會(huì)議上，很多專家都認(rèn)可了分?jǐn)?shù)階微積分在很多領(lǐng)域中的應(yīng)用。1982年，B.B.Mandelbrot首次對(duì)分?jǐn)?shù)維數(shù)在自然界以及很多科技領(lǐng)域中的應(yīng)用進(jìn)行了舉例分析。分?jǐn)?shù)階微分方程之所以能夠受到很多研究人員的注意，主要是因?yàn)槠湓诟鱾€(gè)領(lǐng)域中的廣泛適用性，相較于整數(shù)階微分方程，它能夠更加細(xì)致準(zhǔn)確的對(duì)自然現(xiàn)象進(jìn)行描述，而且能夠全面的模擬自然界物理現(xiàn)象及運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在研究人員已經(jīng)對(duì)分?jǐn)?shù)階初值問(wèn)題解的存在性理論進(jìn)行了較為深入的研究，而且基本均是將分?jǐn)?shù)階問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分方程來(lái)進(jìn)行的，線性以及非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性是當(dāng)前國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)界重點(diǎn)研究的課題。

1988年，A.M.A.El-Sayed對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程Dax=f（t，x），a∈（0，1）進(jìn)行了深入的研究，而且求出了該方程解的存在唯一解定理。之后這一定理就被廣泛應(yīng)用于其他相關(guān)研究中，2005年，俞成和高國(guó)柱根據(jù)Shauder不動(dòng)點(diǎn)定理分析了這個(gè)方程解的一個(gè)存在唯一性定理。

2005年，白占兵和呂海深對(duì)非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題進(jìn)行了相應(yīng)研究，從方程Da0+u（t）=f（t，u（t））=0，其中t∈（0，1）。這里定義u（0）=u（1）=0，a∈（0，2]。方程中的Da0+是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)，而且f：[0，1]×[0，+∞]→[0，+∞）。根據(jù)這一類問(wèn)題Green函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理以及Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理，就可以對(duì)該問(wèn)題正解的存在性以及重?cái)?shù)定義。2009年，蔣達(dá)清和苑成軍對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，并給出了Green函數(shù)的一些新性質(zhì)以及相應(yīng)的應(yīng)用范圍。

現(xiàn)在對(duì)非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題主要分析手段有Laplace變換、上下解法、Adomian分解法、各種不動(dòng)點(diǎn)理論等。而且應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)理論研究邊值問(wèn)題時(shí)，還可以細(xì)分為Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理法、Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理法、Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理法等。2007年，M.EI-Shahed分析了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題，Da0+u（t）+λa（t）f（u（t））=0，這里的Da0+就是標(biāo)準(zhǔn)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在分?jǐn)?shù)階微分方程的主要結(jié)論之一就是定理：這里定義f在I×R→R上連續(xù)，而且存在非負(fù)函數(shù)a（t）、h（t），使得|f（t，x）|≤a（t）+ h（t），a（t）∈L[0，1]，h（t）是R上的連續(xù)函數(shù)。其中，ta-1，ta在[0，1]都一致連續(xù)，所以TU是等度連續(xù)的，又TUU，故一致有界，因此T是全連續(xù)，所以，由Leray-Schaulder不動(dòng)點(diǎn)定理知，邊值問(wèn)題（1）至少有一個(gè)解。

雖然分?jǐn)?shù)階微積分至今也研究了數(shù)年，而且取得了很多較為實(shí)用的理論研究成果，但是對(duì)于經(jīng)典微積分理論體系的構(gòu)建還有一定距離?？v觀當(dāng)前的研究重點(diǎn)，分?jǐn)?shù)階微分方程的應(yīng)用研究要比理論研究更為廣泛深入。所以在今后的工作中，對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的基本理論和基本性質(zhì)進(jìn)行分析研究更為重要，這對(duì)于該方程在實(shí)際應(yīng)用的推廣有著更深層次的意義。

【參考文獻(xiàn)】

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