關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的思考與實踐

張鎖榮

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出：“推理一般包括合情推理和演繹推理”，要求“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力?！睌?shù)學(xué)教學(xué)中，要重視學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)，具體的形式有歸納性猜想、類比性猜想、探索性猜想、仿照性猜想等。

一、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的思考

1.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的必要性

什么是科學(xué)的方法，如果用一句話回答，那么它應(yīng)該是“猜想與驗證”。數(shù)學(xué)方法理論的倡導(dǎo)者波利亞對猜想作了深入研究，著有《數(shù)學(xué)與猜想》一書。波利亞曾說，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的、值得尊重的，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度；在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須有猜想的地位；教學(xué)必須為發(fā)明做準(zhǔn)備，或至少給一點(diǎn)發(fā)明的嘗試。無論如何，教學(xué)不應(yīng)該壓制學(xué)生中間的發(fā)明萌芽。波利亞認(rèn)為，在有些情況下，教猜想比教證明更重要。牛頓也曾說：“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！?/p>

2.數(shù)學(xué)猜想能力的本質(zhì)

數(shù)學(xué)猜想實際上是一種數(shù)學(xué)想象，是人的思維在探索數(shù)學(xué)規(guī)律、本質(zhì)時的一種策略。它是建立在已有的事實和經(jīng)驗上，運(yùn)用非邏輯手段而得到的一種假定，是一種合情推理。數(shù)學(xué)猜想能縮短解決問題的時間，能獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會，能鍛煉數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)猜想并不是胡思亂想，基本思維模式是：問題反復(fù)思索聯(lián)想—頓悟提出假說—驗證結(jié)論。歷史上許多重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是經(jīng)過“猜想”這一非邏輯手段而得到的。

3.對數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的觀念更新

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，是數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)，是數(shù)學(xué)教育永恒不變的主題。縱觀歷年來的教學(xué)大綱與《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，對于數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的認(rèn)識在提高、觀念在更新。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)只重視邏輯思維能力的培養(yǎng)是不夠的，還需要發(fā)展學(xué)生的形象思維和直覺思維。

綜上所述，大膽猜想、仔細(xì)驗證是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)猜想實際上是一種創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力有利于鼓勵學(xué)生用多種思維方式思考問題，從而可以更好地培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的實踐

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)，就是要選擇合適的題材，把握好教育與訓(xùn)練的時機(jī)，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體事例提出猜想的過程，教會學(xué)生猜想，進(jìn)行合情推理，使學(xué)生獲得探究、發(fā)現(xiàn)和論證的體驗，從而訓(xùn)練學(xué)生的猜想能力。那么，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中合理運(yùn)用與有機(jī)滲透呢？下面談?wù)勎业囊恍嵺`和思考。

1.歸納性猜想

數(shù)學(xué)家高斯說過：“數(shù)學(xué)中許多方法與定理是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)行的手續(xù)而已?！睔w納性猜想是從對個別或特殊的事物的判斷，擴(kuò)大為對同類一般事物的判斷，這種思維過程稱為歸納性猜想。數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的形成和法則的概括以及解題就應(yīng)體現(xiàn)出歸納思想，要盡量通過觀察直觀圖形，或讓學(xué)生自己動手借助于實物的討論，在有了豐富感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上提出猜想，進(jìn)而歸納出相應(yīng)的法則、性質(zhì)和公式。小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念、法則、公式都是通過對部分?jǐn)?shù)學(xué)事實進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合，從中歸納出一般的結(jié)論。在新知教學(xué)中，要充分展示發(fā)現(xiàn)新知的探究過程，充分展現(xiàn)獲取新知的思維過程，給學(xué)生充分的探索、歸納、發(fā)現(xiàn)的機(jī)會，培養(yǎng)學(xué)生的“歸納性猜想”。

2.類比性猜想

波利亞在《怎樣解題》中說：“在求解（求證）一個問題時，如果能成功地發(fā)現(xiàn)一個比較簡單的類比題，那么這個類比問題可以引導(dǎo)我們到達(dá)原問題的解答?！鳖惐刃圆孪胧歉鶕?jù)兩個或兩類對象之間在某些方面（如特性、屬性、關(guān)系）的相似或相同，從而猜測它們在其他方面也可能相似或相同的一種猜想。常見的類比有直線與平面的類比、平面和空間的類比、數(shù)和形的類比、加減和乘除的類比、有限和無限的類比、個體和整體的類比。教學(xué)中，我們既要讓學(xué)生敢于進(jìn)行類比，不怕失?。煌瑫r還要正確地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理類比，講清原則和作用。引導(dǎo)學(xué)生用類比推理作出合理猜想，再用嚴(yán)格的邏輯推理加以驗證，這是我們數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和解決問題的基本而重要的思想方法。在新知教學(xué)過程中，對于新舊知識緊密聯(lián)系的內(nèi)容，抓住新舊知識的連接點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，要引導(dǎo)學(xué)生充分調(diào)動原有知識和經(jīng)驗，使學(xué)生能借助舊知產(chǎn)生正遷移，憑借“猜想—驗證”的途徑，先建立“類比性猜想”，然后從不同角度來驗證猜想，利用類比性猜想來創(chuàng)造新知，體會數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系。

案例一：“圓柱體積公式計算”的教學(xué)片段與反思

片段一 創(chuàng)設(shè)情景，感知圓柱體積的概念。

教師拿出一個裝了半杯水的燒杯，拿出一個圓柱形的物體，準(zhǔn)備投入燒杯中。

師：同學(xué)們想一想會發(fā)生什么情況？（教師將圓柱形的物體投入水中）請仔細(xì)觀察后，說一說你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：水面上升了一些。生2：圓柱形的物體擠掉了原來水占有的空間。生3：圓柱體占有一定空間。

師：我們通常把這個空間叫體積。

生：我發(fā)現(xiàn)上升的水的體積和圓柱的體積是相等的。

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)得都很精彩，誰來說一說什么叫圓柱的體積。

生：圓柱所占空間的大小就叫圓柱的體積。

片段二 比較大小，創(chuàng)設(shè)猜想圓柱體積的情景。

教師又拿出一個圓柱（底面略小而高長一些，體積相差不多）。

師：這兩個圓柱的體積，哪個比較大一些？

生1：第一個比較大，因為它高一些。生2：第二個比較大，因為它粗一些。生3：他們都是猜的。第一個圓柱它雖然高一些，但底面積小一些；第二個圓柱雖然底面大一些，但它的高少了一些，所以無法準(zhǔn)確地比較它們的大小。

師：有什么辦法能比較它們的大小呢？（小組討論）

生：準(zhǔn)備半杯水，將第一個圓柱浸沒水中，做好標(biāo)志，再把第二個圓柱浸沒水中，做個標(biāo)志，哪個水面上升得高一些，哪個圓柱的體積就比較大。

師：這個方法好。如果要準(zhǔn)確地知道哪個圓柱的體積大，大多少，你有什么好辦法？（小組討論）

生：要是學(xué)會了計算圓柱的體積就好解決了。

片段三 類比猜想，感知圓柱的體積計算公式。

師：你覺得圓柱體積的大小和什么有關(guān)？

生1：和圓柱的高有關(guān)，一個圓柱它的高增加，它的體積也會變大些。

生2：和圓柱的底面大小有關(guān)，一個圓柱的底面增加，它的體積也會變大些。

師：很好！大膽地推想一下圓柱的體積應(yīng)如何計算？（小組討論）

生：我猜想用圓柱的底面積乘以它的高就可以求出體積。

師：你同意他的猜想嗎？說說你的理由。

生1：我覺得他的想法很有道理，因為圓柱體可以看作是有很多個相同的圓疊加起來的。

生2：我也覺得有道理，因為長方體和正方體的體積公式也是底面積乘以高。

片段四 仔細(xì)驗證，推導(dǎo)圓柱的體積計算公式。

師：同學(xué)們都會大膽猜想，但還要小心地論證猜想的科學(xué)性。

教師拿出一個圓柱體教具，把它藏在衣服里，只露出一個底面。

師：你看到了什么？

生：圓形。

師：你還記得圓是轉(zhuǎn)化成什么圖形的面積來求它的面積公式的嗎？

生：把圓的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積。

教師把整個圓柱拿出來，問：怎么求這個圓柱的體積呢？（小組討論）

生：可以把這個圓柱轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)會求的長方體的體積來求。

師：說說你們小組是如何轉(zhuǎn)化的。

生上臺操作展示。生：我們把圓柱平均分成16份，可以拼成一個近似的長方體，這個長方體的高就是圓柱的高，底面積和圓柱的底面積相等。所以，圓柱的體積可以用底面積乘高來求。

師：你同意嗎？照這樣做一遍，然后說一說如何求圓柱的體積。

教師課件出示將圓柱分成32份和64份后拼成長方體的過程；然后總結(jié)“如果分的份數(shù)越多就越接近于長方體”；最后學(xué)生自主得出圓柱的體積公式。

反思：整個教學(xué)，由淺及深，引導(dǎo)學(xué)生積極探索、猜想、驗證。首先，使得學(xué)生建立圓柱的體積概念，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生“你覺得圓柱體積的大小和什么有關(guān)”，給學(xué)生提供了重要的猜想的條件和情境。其次，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想圓柱的體積應(yīng)如何計算？直接讓學(xué)生自由猜想圓柱的體積計算公式。實踐表明，學(xué)生根據(jù)已有的長方體（或正方體）的體積就可以類比猜想出圓柱的體積計算公式。最后，進(jìn)行驗證。這樣教學(xué)，培養(yǎng)了學(xué)生大膽猜想、勇于探索、積極思索、敢于創(chuàng)新的精神。

3.探索性猜想

歸納性猜想和類比性猜想都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、猜想、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的。波利亞曾說：“我想談一個小小的建議，可否在學(xué)生做題之前，讓他們猜想該題的結(jié)果，或者部分結(jié)果?！痹诮鉀Q問題時，如果能先對問題作初步的邏輯分析，然后再依據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生作出逼近結(jié)論的猜想。最后，再加以檢驗、修改和驗證。我們把這種帶有探索推理性的猜想稱為探索性猜想。

（1）通過試驗假設(shè)提出探索性猜想。在解決問題時，使邏輯思維因素和非邏輯思維因素交織在一起，兩者協(xié)同作用，有利于激活思維，開闊思路，把握問題的關(guān)鍵，提高分析問題、解決問題能力。這樣教學(xué)，既要注重算理，又要合理估計結(jié)果，并能根據(jù)條件合理作出猜想，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性。

教學(xué)中，教師應(yīng)給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會，讓學(xué)生在觀察、討論、交流、猜測的過程中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，從中探得規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去分析、解決問題，逐步培養(yǎng)學(xué)生探索和解決問題的能力。教學(xué)中，既讓學(xué)生說算理，又引導(dǎo)學(xué)生估計結(jié)果，并能依據(jù)條件作出合情猜想，從中學(xué)會科學(xué)的思維方法。

（2）通過數(shù)形結(jié)合提出探索性猜想。數(shù)形結(jié)合方法之一是借助形的生動和直觀性來認(rèn)識數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生主動而有效地觀察圖形，培養(yǎng)學(xué)生從圖中讀懂重要信息并整理信息的能力，提高提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)對數(shù)形結(jié)合思維模式的認(rèn)知，體會圖形對數(shù)學(xué)規(guī)律形成的意義。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、歸納、類比、猜測等過程，提出探索性猜想，發(fā)展合情推理能力。

4.仿照性猜想

精心選擇與課本上相關(guān)的知識點(diǎn)或思想方法，通過猜想驗證，在已有知識的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生去探索，舉一反三，在知識遷移中發(fā)展“仿照性猜想”。

案例二：猜想與驗證相結(jié)合

在學(xué)習(xí)圓柱的表面積和體積之后，我出示了以下這道題：

把一個底面積為24平方厘米的正方體木塊削成一個最大的圓柱體，然后在圓柱體的表面涂上油漆。要刷油漆的面積是多少？

同學(xué)們議論紛紛。大家都認(rèn)為要求圓柱的表面積，需要知道底面直徑（或半徑）以及圓柱的高。可這道題只告訴我們正方體的底面積是24平方厘米，底面（正方形）的邊長求不出來，怎么辦呢？

善于思考的同學(xué)聯(lián)想到以前做過一道與今天有點(diǎn)類似的題目：已知正方形的面積是10平方厘米，求正方形內(nèi)最大圓的面積。

這道題中圓柱的表面積與正方體表面積會不會也存在類似這樣的規(guī)律呢？即圓柱的表面積是不是占正方體表面積的78.5%呢？

我們就列式計算，然后驗算。

最后證明，剛才的猜想是正確的。于是，我們可以很快求出要刷油漆的面積（圓柱的表面積）。

反思：探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線。開啟學(xué)生的“猜想”，讓學(xué)生喜歡和善于猜想，讓猜想成為學(xué)生自主探索的序曲。我們既要讓學(xué)生大膽猜想，又要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)驗證，并能依據(jù)條件或經(jīng)驗作出合理的猜想。然后，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來探索，在探索過程中經(jīng)歷先猜想、后驗證的體驗與經(jīng)歷，將觀察、分析、假設(shè)、驗證交織在一起，不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力。

綜上所述，讓小學(xué)生充分經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)、猜想和驗證的過程，合理地滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)學(xué)猜想能力，有利于從小培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)的素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。