力的第四要素

張憲恩，陳朝軍，宣志剛

(1.攀枝花攀鋼集團(tuán)設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川攀枝花617023;2.新鋼釩技改部，四川攀枝花617000)

力的三要素概念(大小、方向、作用點(diǎn))已深入人心，解決了自然界中大部分力學(xué)問(wèn)題。力的三要素作用的對(duì)象是一個(gè)單體、一個(gè)單質(zhì)點(diǎn)。本文分析、論述力的第四要素。

1 研究對(duì)象

讓我們假設(shè)，有a球、b球兩個(gè)球用桿c連接(見(jiàn)圖1)，a球、b球、桿c組成了一個(gè)系統(tǒng)(以下簡(jiǎn)稱系統(tǒng))?，F(xiàn)在，讓我們分析一下在a球受力后，b球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。記a球、b球的質(zhì)量分別是ma、mb，桿c無(wú)質(zhì)量，只有剛度。桿的剛度有兩種，其一，桿的抗側(cè)移剛度，抗側(cè)移剛度記為kc1;其二，桿的縱向剛度，其縱向剛度記為kc2。

圖1 球的受力

首先，a球受力多種多樣。無(wú)論a球受怎樣一個(gè)力，它都可以簡(jiǎn)化為兩個(gè)力:一個(gè)力(記為F1)是作用于a球、垂直于桿的軸線;一個(gè)力(記為F2)是作用于a球，平行于桿的軸線(見(jiàn)圖1(c))。F2作用時(shí)，系統(tǒng)只作平動(dòng)。F1作用時(shí)，若無(wú)別的什么力，系統(tǒng)開(kāi)始受力時(shí)作以b球?yàn)閳A心、桿的長(zhǎng)度為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，隨后，由于a球作圓周運(yùn)動(dòng)，就要產(chǎn)生離心力，那么系統(tǒng)作沿著離心力與F1合力的方向的運(yùn)動(dòng)。這個(gè)運(yùn)動(dòng)不是本文研究的對(duì)象。本文研究的對(duì)象是，在F1作用下，在a球上施加一個(gè)使系統(tǒng)沿F1方向運(yùn)動(dòng)的彎矩，使系統(tǒng)沿F1方向運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。F2已使系統(tǒng)沿F2方向運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律與F1之相同，所不同的是，桿的縱向剛度遠(yuǎn)大于桿的抗側(cè)移剛度。下面僅論述F1作用下，系統(tǒng)沿F1方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

2 運(yùn)動(dòng)形態(tài)分析

現(xiàn)在讓我們分析系統(tǒng)在F1作用下沿F1方向的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)a球作用F1時(shí)，a球就運(yùn)動(dòng)，那么b球?qū)⒃趺礃幽?。這時(shí)，b球有三種狀態(tài):b球先于a球運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng);b球與a球同時(shí)運(yùn)動(dòng);b球后滯于a球運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。對(duì)第一種狀態(tài)是絕對(duì)不會(huì)發(fā)生的，因b球未先于a球受力。對(duì)于第二狀態(tài)，當(dāng)F1緩慢由小向大增加時(shí)就發(fā)生了，a球、b球、桿c同時(shí)運(yùn)動(dòng)。這時(shí)，a球、b球、桿c組成了一個(gè)剛體，它們之間無(wú)運(yùn)動(dòng)差異。對(duì)第三種狀態(tài)，當(dāng)F1很快地由小向大增加時(shí)就發(fā)生了。讓我們想象一下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，a球受力后很快位移，b球靜止，桿c產(chǎn)生彎曲。b球后滯于a球運(yùn)動(dòng)。我們稱力F1由小(大)向大(小)的增加(或減少)、或力的方向改變、或二者都有，為力F1的變化速度。

那么，力的變化速度多大時(shí)，系統(tǒng)組成的系統(tǒng)不是剛體。讓我們分析a球在F1作用下運(yùn)動(dòng)、b球的運(yùn)動(dòng)原理。a球在F1作用下運(yùn)動(dòng)，由于桿的抗側(cè)移剛度，使得a球在桿中產(chǎn)生剪力，桿又將這個(gè)剪力傳至b球，使b球受力，b球受力后就運(yùn)動(dòng)。但是在F1作用下a球運(yùn)動(dòng)，由桿的抗側(cè)移剛度、b球的質(zhì)量，使得b球運(yùn)動(dòng)后滯于a球。

3 質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)的概念

這里引入一個(gè)概念—質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)的定義是:在a球上作用一個(gè)變化速度較大的力，使得b球運(yùn)動(dòng)后滯于a球的運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，b球后滯于a球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間稱為質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)。

質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)的大小與桿的抗側(cè)移剛度、b球的質(zhì)量有關(guān)。桿的抗側(cè)移剛度越大，質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)就越小。b球的質(zhì)量越大，質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)就越大。讓我們觀察一下彈性單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，一個(gè)單質(zhì)點(diǎn)與支座之間用一個(gè)彈簧片連接，我們給質(zhì)點(diǎn)一個(gè)初始位移使之自由振動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)由平衡位置至一側(cè)最大位移，再經(jīng)過(guò)平衡位置至另一側(cè)最大位移，最后到平衡位置所需要的時(shí)間稱為周期。那么，質(zhì)點(diǎn)由平衡位置至最大位移所需要的時(shí)間是四分之一周期，這個(gè)四分之一周期是否是b球的后滯于a球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間呢。換句話講，質(zhì)點(diǎn)的四分之一周期是否為質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)呢，這個(gè)需要實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證?，F(xiàn)在，我們只有假定，質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)的值為質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的四分之一周期。

式中:f為質(zhì)點(diǎn)反應(yīng);m為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量;k為桿抗側(cè)移剛度。

4 質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)的作用

有了質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)的概念后，系統(tǒng)組成一個(gè)系統(tǒng)，在a球受力狀態(tài)下為非剛體的條件是，力的變化速度在a球中產(chǎn)生位移所需要的時(shí)間與b球的質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)相近。也就是說(shuō)力的變化速度產(chǎn)生的效應(yīng)接近b球的質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)組成的系統(tǒng)為非剛體。力的變化速度產(chǎn)生的效應(yīng)遠(yuǎn)離b球的質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)組成的系統(tǒng)為剛體。

從上面分析可以看出，力的變化速度決定著一個(gè)系統(tǒng)是否為剛體，因此，力的第四要素是力的變化速度。

5 運(yùn)動(dòng)形態(tài)分析推廣

前面的分析是建立在系統(tǒng)靜止?fàn)顟B(tài)，經(jīng)過(guò)分析，系統(tǒng)處于任何狀態(tài)均可。無(wú)論系統(tǒng)處于什么狀態(tài)，只要a球受變化的力，其速度發(fā)生變化，只要這個(gè)變化的力的效應(yīng)接近b球的質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)、且質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)起作用，那么，b球的速度變化就后滯于a球的速度變化。

6 作用

力的第四要素有什么作用呢。力的三要素作用的對(duì)象是單體、單質(zhì)點(diǎn)，因此，力的三要素研究的是單體、單質(zhì)點(diǎn)靜止或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力學(xué)關(guān)系及運(yùn)動(dòng)規(guī)律。力的三要素加上力的第四要素作用的對(duì)象是相關(guān)的雙體。因此，力的四要素研究是相關(guān)雙體的在質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)起作用時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。若力的第四要素特別小，以致使質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)不起作用，這時(shí)，系統(tǒng)為剛體，此時(shí)，其運(yùn)動(dòng)(狀態(tài))規(guī)律與力的三要素的規(guī)律無(wú)差異。

既然力的四要素是研究相關(guān)雙體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此，凡是能簡(jiǎn)化為相關(guān)雙體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，可用力的四要素去解決，如碰撞，爆炸，建筑物的地震反應(yīng)。

7 結(jié)束語(yǔ)

由于作者沒(méi)有實(shí)驗(yàn)的條件，本文未經(jīng)實(shí)驗(yàn)證實(shí)，歡迎有實(shí)驗(yàn)條件的同行采用各種途徑用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證力的第四要素。

［1］浙江大學(xué)理論力學(xué)教研室編.理論力學(xué)(第四版)［M］.北京:高等教育出版社，2009

［2］李卓球，朱四榮.工程力學(xué)［M］.武漢理工大學(xué)出版社，2008