運(yùn)用幾何直觀 成就精彩課堂

黃麗紅

一、借助幾何直觀，明晰領(lǐng)悟數(shù)理

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生“知其然”，更要讓學(xué)生“知其所以然”?，F(xiàn)行教材中的知識(shí)結(jié)論往往只有高度濃縮的一句話，看似簡(jiǎn)單，實(shí)則內(nèi)涵深刻?？捎捎诮處焸€(gè)體數(shù)學(xué)知識(shí)素養(yǎng)的欠缺或教學(xué)思路不夠開(kāi)闊，無(wú)法引導(dǎo)學(xué)生深刻挖掘簡(jiǎn)單知識(shí)中隱含的“所以然”，學(xué)生不明知識(shí)中的道理，導(dǎo)致生搬硬套書(shū)中的結(jié)論。就如教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”時(shí)，教師一般的教學(xué)流程是——先復(fù)習(xí)2和5的倍數(shù)特征，只要看個(gè)位就可判斷是否為2和5的倍數(shù)；然后列舉一些3的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)不能從個(gè)位進(jìn)行判斷，從而猜想、驗(yàn)證與各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和有關(guān)；最后得出結(jié)論，記憶并應(yīng)用結(jié)論。山東省陳興遠(yuǎn)老師在教學(xué)此內(nèi)容時(shí)，在教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)上增加了“初步了解蘊(yùn)含于2、5、3的倍數(shù)特征中的道理”環(huán)節(jié)。

陳老師借助“百數(shù)表”和“擺棋子”讓學(xué)生通過(guò)猜想、驗(yàn)證、討論、交流等活動(dòng)經(jīng)歷了探究3的倍數(shù)特征的過(guò)程。得出結(jié)論后，教師還激勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑。學(xué)生提出“為什么2和5的倍數(shù)只看個(gè)位就行了，而3的倍數(shù)只看個(gè)位不行，還要把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加？”面對(duì)學(xué)生提問(wèn)，陳老師引導(dǎo)學(xué)生借助小棒直觀圖深刻剖析了蘊(yùn)含于“2、5、3倍數(shù)的特征”中的數(shù)學(xué)道理。教師先呈現(xiàn)“36”的小棒示意圖，借助圖說(shuō)明為什么判斷其是否為2、5的倍數(shù)只要看個(gè)位就行（如圖所示）。

接著以“54”為例，借助小棒圖讓學(xué)生直觀看到：1個(gè)十被3除余一，5個(gè)十被3除，共余5個(gè)一，再加上個(gè)位上的4個(gè)一，一共9根小棒，剛好是3的倍數(shù)（如圖2所示）。

最后再用“123”這個(gè)數(shù)的小棒直觀圖（如圖3所示），使學(xué)生深刻理解：百位、十位上的數(shù)除以3余下的根數(shù)和個(gè)位的根數(shù)相加是6，6是3的倍數(shù)，所以“123”是3的倍數(shù)。陳老師借助幾何直觀這個(gè)“腳手架”，讓學(xué)生明晰“3的倍數(shù)特征”，使學(xué)生深刻領(lǐng)悟“3的倍數(shù)特征”隱含的“所以然”。

二、借助幾何直觀，凸顯概念本質(zhì)

在教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生背一些概念一字不差，可應(yīng)用起來(lái)漏洞百出。對(duì)小學(xué)生而言，抽象的概念晦澀難懂，不易理解且容易遺忘。如果能將概念學(xué)習(xí)與幾何直觀相結(jié)合，就能使抽象的概念具體化，枯燥的知識(shí)形象化，隱性的知識(shí)顯性化。

例如，教學(xué) “因數(shù)和倍數(shù)”時(shí)，由于因數(shù)和倍數(shù)是數(shù)論的開(kāi)始，比較抽象。在以往的教學(xué)中，我們往往忽視幾何直觀的作用，只是讓學(xué)生熟記相關(guān)概念，導(dǎo)致其在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)覺(jué)得枯燥乏味，理解困難，達(dá)不到融會(huì)貫通的程度，體會(huì)不到初等數(shù)論的抽象性、嚴(yán)密性和邏輯性之美。福建的李麗蓉老師執(zhí)教“找因數(shù)”一課時(shí)，巧借幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生尋求找因數(shù)的方法，形象化解找因數(shù)的難點(diǎn)。以下是教學(xué)片段。

師：請(qǐng)用12個(gè)大小相同的小正方形擺成一個(gè)長(zhǎng)方形，并用乘法算式表示出擺法。

生1：3×4=12，每行3個(gè)，擺4行。

生2：4×3=12，每行4個(gè)，擺3行。

（教師展示學(xué)生的擺法，如圖4、5所示）

（課件把圖5旋轉(zhuǎn)，學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)圖5與圖4完全一樣，明白了12有因數(shù)3與4）

師：還有不同的擺法嗎？

生3：2×6=12，6×2=12。

師：說(shuō)說(shuō)你的擺法。

生3：2×6=12是每行擺2個(gè)，擺6行。6×2=12是每行擺6個(gè)，擺2行。

生4：這兩種擺法擺出的長(zhǎng)方形形狀、大小是一樣的，只要把豎的那種擺法放平。

（教師根據(jù)學(xué)生回答，課件出示圖6）

生：1×12=12也可以，直接擺成一行。（教師展示圖7）

師：我們看擺法找因數(shù)，一對(duì)一對(duì)地找出了12的因數(shù)有：1，12，2，6，3，4?！扒Ы痣y買(mǎi)回頭看”，回顧找因數(shù)的過(guò)程，擺長(zhǎng)方形和找因數(shù)之間有什么聯(lián)系嗎？

……

執(zhí)教“找因數(shù)”一課時(shí)，教師們都有這樣的發(fā)現(xiàn)——學(xué)生都能隨口說(shuō)出算式，甚至當(dāng)有的學(xué)生說(shuō)出2？郾4×5=12時(shí)，教師往往一語(yǔ)帶過(guò)：“因數(shù)必須是非0的自然數(shù)，所以2？郾4和5不是12的因數(shù)?！倍罾蠋熞髮W(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方形的擺法寫(xiě)出相應(yīng)的乘法算式，這樣就從只關(guān)注思維的單一性轉(zhuǎn)移到數(shù)與形結(jié)合的多種策略上來(lái)，學(xué)生也不會(huì)說(shuō)出類(lèi)似2？郾4×5=12的算式（因?yàn)闆](méi)法擺）。利用幾何直觀，學(xué)生形象地感受到找一個(gè)數(shù)的因數(shù)與擺長(zhǎng)方形之間的關(guān)系：擺圖形的過(guò)程正好是找因數(shù)的過(guò)程；擺法的有限決定了因數(shù)個(gè)數(shù)的有限（擺法只有3種，12的因數(shù)就只能找出3對(duì)）。這樣，將抽象的因數(shù)找法，化為具體的圖形擺法，凸顯了因數(shù)的本質(zhì)特征，學(xué)生易于理解、印象深刻。教師借助直觀，“借”出了課堂的精彩。

三、借助幾何直觀，展示方法之妙

幾何直觀是具體的，不是虛無(wú)的，它與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相連。很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容，都具有雙重性，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，可以從數(shù)形兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)它們。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀、形象的圖形，學(xué)生解題思路豁然開(kāi)朗。

一位教師在教學(xué)《分?jǐn)?shù)加法巧算》一課時(shí)，展示習(xí)題。

+++++=？

學(xué)生都利用通分進(jìn)行計(jì)算，雖然數(shù)字繁雜，但還是“不辭辛勞”地計(jì)算出了結(jié)果。教師此時(shí)再增加兩個(gè)加數(shù)和，如果還用通分計(jì)算，太難太復(fù)雜了，此時(shí)多數(shù)學(xué)生不再埋頭苦干了，都在猜想更簡(jiǎn)捷的方法。在學(xué)生愁眉不展、欲罷不能之際，教師引導(dǎo)學(xué)生利用如下圖形，以形助數(shù)，化繁為簡(jiǎn)，啟迪學(xué)生找到解題方法。

？搖？搖？搖？搖？搖

“一圖抵百語(yǔ)”，探索出以上規(guī)律后，問(wèn)題迎刃而解。如果不借助圖形分析，就連聽(tīng)課的教師也未必懂得該怎樣計(jì)算。數(shù)形結(jié)合，使復(fù)雜的問(wèn)題形象化、簡(jiǎn)單化，學(xué)生在觀察、計(jì)算中不僅感悟到轉(zhuǎn)化、極限與建模思想，還深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔與精妙。

（作者單位：福建省龍巖市普通教育教學(xué)研究室？搖？搖？搖責(zé)任編輯：王彬）