帶有記憶的熱彈盤方程整體吸引子的存在性

馬志勇

帶有記憶的熱彈盤方程整體吸引子的存在性

馬志勇

(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

研究了帶有記憶的熱彈盤模型整體吸引子的存在性。在已知解的衰減結(jié)論下,建立恰當(dāng)?shù)姆?hào)空間,利用能量方法通過抬高初值正則性,得到解的漸近正則性結(jié)果,同時(shí)在Kuratowski測(cè)度下,證明了吸收球的緊性,最終得到吸引子的存在性。

熱彈盤;吸引子;整體存在

0 引言

熱彈性是通過溫度變化引起固體彈性模量變化的性質(zhì)[1-2],粗略地說,它既具有某些彈性固體材料的性質(zhì),又具有某些黏性流體的性質(zhì)。熱彈方程是熱彈性力學(xué)方程組的簡(jiǎn)稱,是根據(jù)熱彈性體的變形和溫度的分布規(guī)律建立的數(shù)學(xué)模型。關(guān)于材料的彈性、黏性性質(zhì)的研究歷史悠久,近幾十年來(lái),新型復(fù)合材料、功能材料、生物材料、建筑材料等材料科學(xué)的發(fā)展,愈來(lái)愈深入地涉及到熱黏彈性性質(zhì)。對(duì)于本文研究的熱彈模型,Romero和Kranosel’skii等[4]也進(jìn)行了研究,前者在La Salle原則下證明了解不是指數(shù)衰減的,但并沒有給出任何衰減率,后者在提高初值正則性后證明了解是呈多項(xiàng)式衰減的。本文證明此方程吸引子的整體存在性。

1 模型介紹及分析

本文研究下面的黏彈方程:

初值為:

邊值為:

式中:u,θ分別代表位移和溫度;x,t分別表示空間和時(shí)間變量;?是Rn中的一個(gè)集合;u0,u1,θ0以及ψ是給定的函數(shù);ρ,c,m,γ為常數(shù);函數(shù)k是記憶核函數(shù)。定義μ(s)=-k＇(s),給函數(shù)μ一些假設(shè)條件:

其中,σ為大于0的常數(shù)。

同時(shí)裝備有內(nèi)積:

進(jìn)一步有

令Φ=(u,v,θ,ηt),Φ0=(u0,v0,θ0,η0),這樣原方程組可變?yōu)橄旅娴男问?

式中,A是定義在空間M上的線性算子,

算子A的定義域?yàn)?/p>

2 已有的結(jié)論

下面這些已有的結(jié)論[3-4]說明了該模型解的整體存在性,以及大時(shí)間性態(tài)。

引理1.1算子A是C0半群S(t)的極小生成元。

引理1.2如果Φ0∈D(A),那么一定存在常數(shù)

C使得:

進(jìn)一步對(duì)任意的m∈N成立:

3 結(jié)論

定理1.1在假設(shè)條件式(5)成立下,式(1)～(4)存在唯一整體吸引子Λ。

下面將利用上面已有的結(jié)論證明該模型吸引子的存在性。采取的方法是通過提高初值正則性得到解的漸近正則性,同時(shí)證明吸收球的存在性以及緊性,進(jìn)而通過定義證明吸引子的存在性。

證明為了便于證明,作變量代換,令ut=v,這樣式(1)、(2)轉(zhuǎn)變?yōu)橄旅娴男问?

在下面的Hilbert空間中考慮式(12)～(15):

當(dāng)緊集Λ?H滿足下面兩個(gè)條件時(shí)就變?yōu)槲?

(1)Λ是關(guān)于S(t)的不變集,即對(duì)任意的t滿足S(t)Λ=Λ;

由引理1.2的結(jié)果可得到對(duì)于C0半群S(t)存在有界吸收集???H,即對(duì)于任意的有界集??H成立:

接下來(lái),定義線性算子A滿足Af=-f,眾所周知,A是L2上的正定算子,定義域?yàn)镈(A)= H2∩H10,進(jìn)一步定義算子As,在其定義域?yàn)閂2s= D(As)上裝備內(nèi)積:

特別地,V-1=H-1,V0=L2,V1=H10,當(dāng)s1＞s2時(shí),Vs2|←Vs2是緊嵌入,定義Hilbert空間:

很明顯,H0=H。

現(xiàn)在,令Φ0=(u0,v0,θ0,η0)∈?0,其中?0為半群S(t)的不變吸收集,在H0中對(duì)式(12)～(15)兩邊分別與〈Aσu,Aσv,Aσθ,Aσηt〉做內(nèi)積得到:

定義下列函數(shù):

這里qk∈C2,在邊界Γ滿足qk=νk,這樣我們定義下面的函數(shù):

類似于引理1.1、引理1.2和文獻(xiàn)[3]中定理1.1的證明,選擇合適的系數(shù),得到:

利用緊嵌入[8]:

同時(shí)定義空間G(t)=?(t)×B(t)?H,由式(19)可得,G(t)是H中的緊集,同時(shí),對(duì)任意固定的t≥0以及當(dāng)時(shí),一定成立:

這里αH表示Kuratowski測(cè)度。

由于?0是不變、聯(lián)通、緊的吸收集且滿足式(20),故利用吸引子經(jīng)典理論[9],可以斷定ω-極限集,即

是整體吸引子。這樣就完成了定理1.1的證明。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過能量方法證明了帶有記憶的熱彈盤模型整體吸引子的存在性,此方法還可應(yīng)用到其他帶有能量耗散性質(zhì)的偏微分方程中去。

[1]馬志勇,羅琳.帶有記憶的黏彈方程解的整體存在性[J].上海第二工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2011,28(2):103-105.

[2]馬志勇,秦玉明.熱彈方程組及相關(guān)模型整體適定性的研究[D].上海:東華大學(xué),2009.

[3]ROMERO P G.Polynomial dacay to thermoelastic plateswith memory[J].Quarterly of Applied Mathematics,2009, 3:553-558.

[4]KRASNOSEL’SKII M A,VAINIKKO G M,ZABREIKO P P,et al.Approximate solution of operator equations[M]. Groningen:Noordhoff,1972.

[5]TEMAM R.Infnite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics[M].New York:Springer-Verlag, 1988.

[6]PATA V,ZUCCHI A.Attractors for a damped hyperbolic equation with linear memory[J].Adv Math Sci Appl, 2001,11:505-529.

[7]HALE J.Asymptotic behavior and dynamics in infnite dimensions[M].Boston:Pitman,1985.

[8]QIN Y.Nonlinear parabolic-hyperbolic systems and their attractors[M].Basel:Boston-BerlinBirkhauser,2008.

[9]PAZE A.Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations[M].Berlin:Springer-Verlag,1983.

Global Attractors for Thermoelastic Plates with Memory

MA Zhi-yong
(School of Science,Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,P.R.China)

The thermoelastic plates with memory is considered.The existence of the global attractor for this system is given.Under the decay result of the solution and the symbol space properly,by using the energy method through raising the initial regularity,the asymptotic regularity results of solutions is proven.At the same time in the Kuratowski measure,the global attractor follows directly from the compactness of the absorption ball is proved.

thermoelastic plates;attractors;global exist

O29

A

1001-4543(2014)04-0316-04

2014-06-26

馬志勇(1980–),男,河南安陽(yáng)人,副教授,博士,主要研究方向?yàn)槠⒎址匠?。電子郵箱zyma@sspu.edu.cn。

數(shù)學(xué)天元基金(No.11326047)、上海市優(yōu)青資助計(jì)劃項(xiàng)目(No.zzegd12006)、上海第二工業(yè)大學(xué)曙光研究院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所項(xiàng)目No.A30XK121y03)、上海第二工業(yè)大學(xué)重點(diǎn)學(xué)科項(xiàng)目(No.XXKZD1304)資助