基于有限元方法的薄板超聲Lamb波頻散曲線計算

陳 亮， 王恩報， 馬 豪， 董彥磊， 王 瑜

(電子科技大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，四川 成都 611731)

0 引 言

超聲Lamb波檢測技術(shù)是薄板結(jié)構(gòu)檢測一種較為先進的無損檢測技術(shù)，針對厚度在6 mm以下的薄板結(jié)構(gòu)，利用換能器激勵調(diào)制信號到薄板中，分析調(diào)制信號在傳播過程中發(fā)生散射、反射和透射后的回波信號，對傳播路徑上的缺陷等信息進行檢測[1-3]。由于Lamb波的頻散特性，對于探傷參數(shù)選擇，辨識性較好的模態(tài)選擇以及結(jié)果分析的簡易性等存在很多難題，在實際工業(yè)生產(chǎn)過程中的廣泛應(yīng)用產(chǎn)生了很大的阻礙[4]。

通過觀察超聲Lamb波的頻散曲線不難看出，頻厚積在1 MHz·mm范圍附近，超聲Lamb波主要以S0模態(tài)和A0模態(tài)進行傳播；頻厚積大于2 MHz·mm時，超聲Lamb波將頻散成諸多復(fù)雜的模態(tài)形式進行傳播[5-6]。因此選取頻厚積在1 MHz·mm范圍時對于檢測信息的分析的辨識性較好。通過分析檢測信息中S0模態(tài)和A0模態(tài)的信號，對傳播路徑上的信息進行確定[7-10]。

本文主要采用有限元仿真的方法對薄鋁板材料中超聲Lamb波的傳播進行模擬建模，通過提取仿真結(jié)果數(shù)據(jù)，計算群速度和相速度的大小，擬合繪制在2 MHz·mm以下的頻散曲線，并通過Matlab對超聲Lamb波的頻率方程進行數(shù)值模擬，繪制鋁板材料超聲Lamb波的理論頻散曲線。將兩種方法計算所得頻散曲線進行對比，驗證有限元數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性。

1 超聲Lamb波頻散曲線理論求解

超聲Lamb波在板中傳播會出現(xiàn)頻散現(xiàn)象，即會出現(xiàn)多模態(tài)現(xiàn)象。自由邊界條件下Raleigh-Lamb頻率特征方程為[11-13]：

對稱模態(tài)

(1)

反對稱模態(tài)

(2)

式中：p和q分別表示為：

(3)

波數(shù)k在數(shù)值上等于ω/cp，cp是Lamb波的相速度，ω為圓頻率；cL和cT分別表示材料的縱波和橫波速度；h為薄板的厚度，

其中，

E是材料的彈性模量；ν為泊松比；ρ為材料密度。

群速度cg可以通過相速度cp來求解，cg與cp有如下關(guān)系：

cg=dω/dk

(4)

將k=ω/cp代入上式得:

(5)

利用ω=2πf，上面的等式可以寫做：

(6)

利用Matlab對頻率特征方程以及群速度與相速度的關(guān)系式進行求解，繪制群速度和相速度的頻散曲線[14]。

求解對象材料為鋁板，密度為ρ=2 700 kg/m3，cL=6.27 mm/μs，cT=3.14 mm/μs。通過數(shù)值求解得到群速度和相速度的頻散曲線分別如圖1和圖2所示。

圖1 群速度理論頻散曲線

圖2 相速度理論頻散曲線

2 超聲Lamb波在板中傳播有限元模擬

2.1 材料參數(shù)確定

采用ABAQUS對薄鋁板中超聲Lamb波傳播進行數(shù)值模擬。所采用鋁板材料密度ρ=2 700 kg/m3，泊松比υ=0.33，彈性模量E=70 GPa。

2.2 激勵信號選取

分別采用50，100，150，200，250，300，350，400，450和500 kHz的10種不同中心頻率的5周期漢寧窗調(diào)制正弦信號作為激勵信號。圖3所示為中心頻率為250 kHz的5周期漢寧窗調(diào)制信號。

2.3 有限元仿真計算群速度大小

建立厚度h=4 mm，長度x=300mm的鋁板模型，激勵信號采用上述中心頻率250 kHz的5周期漢寧窗調(diào)制信號呈45°加載在模型左上角的集中力，接收點在激發(fā)點位置，采用四方形網(wǎng)格劃分，模型圖見圖4。

圖3 250 kHz的5周期漢寧窗調(diào)制正弦信號

仿真結(jié)果接收到的時域波形圖如圖5所示。從激勵信號到接收點收到回波信號的距離為600 mm。

圖5 仿真時域波形圖(群速度計算)

采用10種激勵信號，求出分別對應(yīng)的S0、A0模態(tài)的群速度，同時與前面利用數(shù)值求解此材料參數(shù)鋁板的理論群速度曲線相比較，對比結(jié)果如表1所示。

表1 有限元仿真計算群速度及其與理論數(shù)值求解誤差

從表1可知，有限元仿真計算S0和A0模態(tài)群速度的相對誤差均小于5%，因此可以驗證對板中Lamb波傳播頻散現(xiàn)象有限元仿真群速度模擬的有效性。

通過表1中的數(shù)據(jù)可以繪制出通過有限元計算得出的頻厚積在0.2～2 MHz·mm內(nèi)A0模態(tài)和S0模態(tài)的群速度頻散曲線，如圖6所示。

圖6 有限元計算群速度頻散曲線

2.4 有限元仿真計算相速度大小

建模厚度h=4 mm，長度=800 mm的鋁板模型，激勵信號采用上述中心頻率250 kHz的5周期漢寧窗調(diào)制信號呈45°加載在模型左上角的集中力，信號接收點選取在距離激勵觸發(fā)位置400、410 mm的點位置，網(wǎng)格劃分采用四方形網(wǎng)格劃分，模型圖見圖7。

仿真結(jié)果距離激勵信號400、410 mm距離的接收點接收的信號時域波形圖如圖8所示。

圖8 仿真時域波形圖(相速度計算)

計算A0和S0模態(tài)單一頻率在經(jīng)過400～410 mm這10 mm距離時所用的時間差。

與群速度有限元仿真計算相同，采用10種激勵信號，求出分別對應(yīng)的S0模態(tài)和A0模態(tài)的相速度，同時與前面利用數(shù)值求解此材料參數(shù)鋁板的理論相速度曲線相比較，對比結(jié)果如表2所示。

從表2可知，有限元仿真計算所得S0和A0模態(tài)相速度的相對誤差均小于5%，因此可以驗證對板中Lamb波傳播頻散有限元仿真相速度模擬的有效性。

通過表2中的數(shù)據(jù)可以繪制出通過有限元計算得出的頻厚積在0.2～2 MHz·mm范圍內(nèi)A0模態(tài)和S0模態(tài)的相速度頻散曲線，如圖9所示。

表2 有限元仿真計算相速度及其與理論數(shù)值求解誤差

圖9 有限元計算相速度頻散曲線

3 結(jié) 語

通過有限元方法對薄板結(jié)構(gòu)進行仿真，對超聲Lamb的傳播模式進行研究，得到以下結(jié)論：

(1) 對10組不同的頻率對應(yīng)的頻厚積進行有限元仿真，對仿真結(jié)果進行計算，繪制了頻厚積在0.2～2 MHz·mm范圍內(nèi)A0模態(tài)和S0模態(tài)的群速度和相速度的頻散曲線。

(2) 求解超聲Lamb波的頻率方程，繪制超聲Lamb波的理論頻散曲線，將有限元方法繪制的頻散曲線與其進行對比，證實了有限元方法的有效性。

同時，對于復(fù)合結(jié)構(gòu)和非平面結(jié)構(gòu)，很難建立相應(yīng)的頻散曲線數(shù)學(xué)描述方程，采用有限元方法可以得到相應(yīng)的頻散曲線，對此類結(jié)構(gòu)的檢測提供理論指導(dǎo)。

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