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    基于RBF和POU的曲面重建方法

    2014-02-09 07:47:14鄧珍榮彭希為黃文明
    關(guān)鍵詞:子域二叉樹點(diǎn)數(shù)

    鄧珍榮,彭希為,黃文明

    (1.桂林電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院,廣西桂林541004;2.中國農(nóng)業(yè)銀行吉安分行,江西吉安343000)

    0 引 言

    曲面重建是逆向工程中最重要的關(guān)鍵技術(shù),目前已經(jīng)取得了不少研究成果。在諸多曲面重建方法中,隱式曲面重建方法引起了各國學(xué)者越來越多的關(guān)注。1982年,F(xiàn)ranke率先使用徑向基函數(shù)解決點(diǎn)云數(shù)據(jù)的插值問題。1999年,Turk提出了變分隱式曲面重建方法,該方法的時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度分別為O(N3)和O(N2)。此后,Carr使用貪婪算法對點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行快速曲面重建,使得時間復(fù)雜度由O(N3)降為O(Nlog N),空間復(fù)雜度也由O(N2)降為O(N),實(shí)現(xiàn)了大規(guī)模點(diǎn)云數(shù)據(jù)的隱式曲面重建。但是,該方法使用的徑向基函數(shù)仍然是全局支撐函數(shù),并且需要為每個插值中心增加兩個離面約束點(diǎn)。這使得該方法的效率受到一定程度的影響,導(dǎo)致該方法難以被廣泛應(yīng)用。除此之外,Morse、Ohtake、Tobor等人也分別提出了不同的基于徑向基函數(shù)的曲面重建方法。隨著該方法不斷的改進(jìn),已從最初只能對幾千個數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲面重建發(fā)展到現(xiàn)在可以實(shí)現(xiàn)大規(guī)模點(diǎn)云數(shù)據(jù)的多尺度曲面重建。無論是重建曲面的品質(zhì),還是重建效率都有了大幅度提高。

    在文獻(xiàn)[6-8]的方法基礎(chǔ)上,本文提出了一種基于RBF和POU的曲面重建方法,根據(jù)點(diǎn)云模型的形狀和分布密度,采用二叉樹遞歸分解點(diǎn)云空間,能夠有效控制點(diǎn)云空間的分解程度,確保重建曲面的連續(xù)性和光滑性。

    1 理論基礎(chǔ)

    1.1 徑向基函數(shù)插值理論

    給定三維空間中的一個點(diǎn)集P={pj∈R3|j=1,2,…,N},實(shí)數(shù)集H={hj∈R|j=1,2,…,N}是P對應(yīng)的約束值。如果可以構(gòu)造一個標(biāo)量函數(shù)f:R3→R,使得

    則由方程f(p)=0可以定義一個隱式曲面。

    對于方程f(p)=0所描述的曲面,其光滑性可以通過能量函數(shù)E來衡量

    如果該曲面不存在曲率變化較大的區(qū)域,則能量函數(shù)E的值較小。文獻(xiàn)[2]指出使用徑向基函數(shù)建立的隱式曲面方程可以使能量函數(shù)E取得最小值,這就保證了隱式曲面的連續(xù)性和光滑性。其表達(dá)形式為

    其中,p表示隱式曲面上的任意一點(diǎn);pj表示用于定義隱式曲面方程的數(shù)據(jù)點(diǎn),稱為約束點(diǎn)或者插值中心;是徑向基函數(shù);為歐幾里德范數(shù);ωi是的權(quán)系數(shù);R(p)是一個一階多項(xiàng)式,用于確保隱式曲面的連續(xù)性。對于隱式曲面上的任意一點(diǎn)(x,y,z),R(p)的表達(dá)形式為R(p)=r0+r1x+r2y+r3z。

    根據(jù)約束值的不同,用于定義隱式曲面方程的約束點(diǎn)可以分為兩類。一類稱為插值約束點(diǎn),即點(diǎn)云中的數(shù)據(jù)點(diǎn),它們位于隱式曲面上,對應(yīng)的約束值為0;另一類稱為離面約束點(diǎn),必須額外獲取,它們不位于隱式曲面上,對應(yīng)的約束值不為0。文獻(xiàn)[2]定義了3種不同類型的離面約束點(diǎn),包括:內(nèi)部約束點(diǎn)、外部約束點(diǎn)和法矢約束點(diǎn)。

    為了求解權(quán)系數(shù)ωi和多項(xiàng)式R(p)的系數(shù)r0,r1,r2,r3,f(p)必須滿足兩類約束點(diǎn)給定的約束條件

    和正交條件

    線性方程組的左邊是一個半正定的矩陣,因而存在唯一的一組解(ω1,ω2,…,ωN,r1,r2,r3,r4)。將其代入式(3),即可得到隱式曲面方程。

    1.2 單元分解原理

    單元分解(partition of unity,POU)的主要思想是“分而治之”,即將全局問題分解成局部問題求解,然后對局部解加權(quán)求和得到全局解[8]。

    給定三維空間中的一個點(diǎn)集P={pj∈R3|j=1,2,…,N},Ω是P所在空間域。首先,將Ω分解成M個相互重疊的子域{Ωi|i=1,2,…,M},并使得Ω∪Ωi;然后,分別對這些子域中的點(diǎn)集{Pi|PiP∩i=1,2,…,M}進(jìn)行曲面重建,得到相應(yīng)的局部重構(gòu)函數(shù){fi(p)|p∈Pi∩i=1,2,…,M};最后,構(gòu)造一組非負(fù)的緊支撐函數(shù){wi(p)|∑wi=1∩i=1,2,…,M}作為權(quán)重系數(shù),對所有局部重構(gòu)函數(shù)加權(quán)求和得到全局重構(gòu)函數(shù)

    約束條件∑wi=1由加權(quán)函數(shù){Wi(p)|i=1,2,…,M}經(jīng)過正則化處理

    加以滿足;其中,加權(quán)函數(shù)Wi(p)必須保證全局重構(gòu)函數(shù)F (P)的連續(xù)性,即在子域Ωi的邊界處必須是連續(xù)的。

    2 方法描述

    2.1 點(diǎn)云空間自適應(yīng)分解

    運(yùn)用單元分解原理進(jìn)行曲面重建時,首先必須將點(diǎn)云空間分解成若干個相互重疊的子域。子域可以是任意形狀,實(shí)際應(yīng)用時通常選用包圍盒形、球形和橢球形。由于局部重構(gòu)函數(shù)的計(jì)算僅取決于子域中的數(shù)據(jù)點(diǎn),因此子域中的點(diǎn)數(shù)將對曲面重建的品質(zhì)和效率產(chǎn)生直接的影響。如果子域中的點(diǎn)數(shù)過多,則曲面重建的效率不高;如果子域中的點(diǎn)數(shù)過少,則重建曲面的精度難以保證。有鑒于此,本文采用二叉樹遞歸分解點(diǎn)云空間,通過調(diào)節(jié)事先設(shè)置的四個參數(shù)來控制點(diǎn)云空間的分解程度。這4個參數(shù)分別為Tleaf、Tmin、Tmax和q。其中,Tleaf用于控制二叉樹葉子結(jié)點(diǎn)中的點(diǎn)數(shù);Tmin、Tmax和q用于設(shè)定重疊區(qū)域中的最少點(diǎn)數(shù)。

    以下是二叉樹及其結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu):

    讀取點(diǎn)云數(shù)據(jù),查找點(diǎn)云中數(shù)據(jù)點(diǎn)在X、Y、Z軸上的最大坐標(biāo)值和最小坐標(biāo)值,進(jìn)而構(gòu)造一個棱邊與坐標(biāo)軸平行并且包含所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的長方體包圍盒作為二叉樹的根結(jié)點(diǎn)。對根結(jié)點(diǎn)進(jìn)行遞歸分解,使二叉樹結(jié)點(diǎn)中的點(diǎn)數(shù)逐層減少,所有葉子結(jié)點(diǎn)中的點(diǎn)數(shù)介于Tleaf/2和Tleaf之間。如圖1所示,Ωl是二叉樹的某個結(jié)點(diǎn)。如果Ωl中的點(diǎn)數(shù)nl小于等于Tleaf,則將Ωl標(biāo)記為“葉子結(jié)點(diǎn)”,不再對其進(jìn)行分解;否則,將Ωl標(biāo)記為“非葉子結(jié)點(diǎn)”,繼續(xù)對其進(jìn)行分解。具體步驟如下所述:

    步驟1 確定Ωl的最長軸,用垂直于該軸的平面將Ωl分割成兩個大小相同的子域C1、C2。其中,C2中的點(diǎn)數(shù)大于等于C1中的點(diǎn)數(shù)。由于nl>Tleaf,因此C2中的點(diǎn)數(shù)大于Tleaf/2。

    步驟2 擴(kuò)大C1,使之與C2重疊。如果重疊區(qū)域中的點(diǎn)數(shù)大于等于Toverlap并且C1中的點(diǎn)數(shù)大于等于Tleaf/2,則執(zhí)行下一步驟;否則,繼續(xù)擴(kuò)大C1,直到滿足上述兩個條件。其中

    圖1 二叉樹結(jié)點(diǎn)的分解

    以下是點(diǎn)云空間自適應(yīng)分解的偽代碼:

    2.2 局部曲面重建

    使用徑向基函數(shù)建立各個子域的隱式曲面方程時,如果僅由插值約束點(diǎn)來定義隱式曲面,則線性方程組(6)會產(chǎn)生平凡解。因此,必須額外增加離面約束點(diǎn)以解決上述問題。

    本文采用法矢約束方式[2]為子域中的每個插值約束點(diǎn)構(gòu)造一個離面約束點(diǎn)。給定子域中的某一插值約束點(diǎn)pi,ni是點(diǎn)pi的法向量。將點(diǎn)pi沿其法矢方向偏移一段距離d即可得到與之對應(yīng)的離面約束點(diǎn)pi′=pi+dni。如果點(diǎn)pi′位于點(diǎn)云模型的內(nèi)部,則其約束值hi′>0;如果點(diǎn)pi′位于點(diǎn)云模型的外部,則其約束值hi′<0。對子域中的兩類約束點(diǎn)進(jìn)行插值即可得到局部重構(gòu)函數(shù)fi(p)。

    2.3 構(gòu)造全局重構(gòu)函數(shù)

    對局部重構(gòu)函數(shù){fi(p)|i=1,2,…,M}加權(quán)求和得到全局重構(gòu)函數(shù)F (P)。其表達(dá)形式為

    函數(shù)Wi(p)必須保證全局重構(gòu)函數(shù)F (P)的連續(xù)性。本文采用文獻(xiàn)[6]中的方法將函數(shù)Wi(p)定義為距離函數(shù)與衰減函數(shù)的組合Wi(p)=V Di(p);其中,距離函數(shù)Di(p)在子域Ωi邊界處的值為1。對于棱邊與坐標(biāo)軸平行的包圍盒形子域,選用距離函數(shù)

    受V(0)=1,V(1)=0,V′(0)=V′(1)=0等條件的約束,衰減函數(shù)V可以從以下公式中選擇

    根據(jù)所選衰減函數(shù)V的不同,函數(shù)Wi(p)能夠滿足不同的連續(xù)性要求。

    3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

    在配有Pentium IV 3.0 GHz和2GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上使用VC++6.0和OpenGL實(shí)現(xiàn)了本文方法,然后使用Bloomenthal方法[9]對隱式曲面進(jìn)行繪制。圖2為bunny、igea、dragon和lucy的原始點(diǎn)云。圖3為本文方法的曲面重建效果。

    4 結(jié)束語

    在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上,本文提出了一種基于RBF和POU的曲面重建方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:該方法能夠根據(jù)點(diǎn)云模型的形狀和分布密度,自適應(yīng)地分解點(diǎn)云空間,確保重建曲面的連續(xù)性和光滑性。

    當(dāng)然本文算法也有需要進(jìn)一步改進(jìn)的地方,比如,僅由插值約束點(diǎn)來定義隱式曲面會產(chǎn)生平凡解,是否有一個方法不需要額外增加離面約束點(diǎn)來解決上述問題,這是值得研究的。

    圖2 原始點(diǎn)云

    圖3 曲面重建效果

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