巧算面積 妙解圖形——面積法在“勾股定理”中的應(yīng)用

曹 霞（江蘇省南京市29中致遠(yuǎn)校區(qū)）

面積法是幾何題解法中的一種基本方法，就是利用面積相等，來建立關(guān)于面積的等式或方程，從而求解、證明題目的一種方法.此方法在蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)“勾股定理”的應(yīng)用中尤為常見.

面積法是一種古老的傳統(tǒng)證明方法，早在一千多年以前，三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中就利用“玄圖”中的等積問題巧妙地證明了勾股定理.

如圖1，因?yàn)镾ABCD=c2，SABCD=SEFGH+4S△AGD=（a-b）2+4×ab

所以c2=（a-b）2+4×ab.

c2=a2-2ab+b2+2ab.

圖1

所以a2+b2=c2.

美國(guó)第20 任總統(tǒng)加菲爾德利用圖2 給出了勾股定理的另一種證明，由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡(jiǎn)潔，在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話.

圖2

如圖2，因?yàn)镾ABCD=（a+b）（a+b）=（a+b）2，

SABCD=S△ABE+S△ECD+S△AED=ab+ab+c2

（a+b）2=ab+ab+c2，a2+2ab+b2=2ab+c2

所以a2+b2=c2.

在勾股定理的400 多種證明方法中，用“面積法”證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系式，即具有嚴(yán)密性，又具有直觀性，是數(shù)學(xué)中以形證數(shù)、數(shù)形結(jié)合的典范.

而在勾股定理應(yīng)用的解題中，巧用面積法，往往會(huì)帶來意想不到的簡(jiǎn)便.

例1 如圖3，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝7，BC ＝24，CD⊥AB 于D.

圖3

（1）求AB 的長(zhǎng)；

（2）求CD 的長(zhǎng).

解：（1）因?yàn)樵赗t△ABC 中，∠ACB=90°，

所以AB2=AC2+BC2=72+242=252.

所以AB=25.

（2）因?yàn)镾△ABC=AC·BC=×7×24，

S△ABC=A B·CD=×25×CD，

例1 是利用面積法，解決幾何線段計(jì)算問題的典型代表.解題中抓住△ABC 面積的兩種不同表示，建構(gòu)等量關(guān)系，列出方程求解線段CD.給我們的啟發(fā)是，面積法是幾何計(jì)算中的一個(gè)重要等量關(guān)系，當(dāng)已知條件有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，我們要關(guān)注某一圖形面積的不同表示.

例2 如圖4，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC 沿直線AD 折疊，使它落在斜邊AB 上，點(diǎn)C 與點(diǎn)E 重合，你能求出CD 的長(zhǎng)嗎？

圖4

（1）常規(guī)解法

解：因?yàn)樵赗t△ABC 中，∠ACB=90°，

所以AB2=AC2+BC2=62+82=102.

所以AB=10.

因?yàn)椤鰽CD 折疊得△AED，

所以CD=ED，AC=AE=6，∠AED=∠ACD=90°.

所以BE=AB-AE=10-6=4.

設(shè)CD 為x，則ED=x，BD=8-x，

所以在Rt△BDE 中，x2+42=（8-x）2.

所以x=3，即CD=3

（2）面積法

解：因?yàn)樵赗t△ABC 中，∠ACB=90°，

所以AB2=AC2+BC2=62+82=102.

所以AB=10.

因?yàn)椤鰽CD 折疊得△AED，

所以CD=ED，AC=BE=6，∠AED=∠ACD=90°.

設(shè)CD 為x，則ED=x，BD=8-x

因?yàn)镾△ABD=AC·BD=×6×（8-x）=24-3x，

S△ABD=AB·ED=×10×x=5x，

所以24-3x=5x.

所以x=3，即CD=3.

例2 的常規(guī)解法，抓住Rt△BDE，利用“勾股定理”建構(gòu)直角三角形三邊的等量關(guān)系，列出方程求解線段.這種解題方法學(xué)生掌握主要有兩點(diǎn)困難：①在Rt△BDE 中利用勾股定理建立方程需要線段BE、DE、BD，這三條線段都需要求出或用未知數(shù)x 表示，特別是線段BE 的求值，對(duì)中下等學(xué)生來說比較困難.②列出的方程x2+42=（8-x）2比較復(fù)雜，化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為一元一次方程的過程同樣對(duì)還未接觸二次方程的初二學(xué)生來說有一定的困難.而利用面積法解例2，抓住△BDA 面積的兩種表示方法建立方程，其中線段AB、BD、DE 的表示都比較容易，減少了轉(zhuǎn)化的環(huán)節(jié)，且列出的方程直接就是一個(gè)一元一次方程，所以解方程得過程也比較簡(jiǎn)單.本題也可以抓住△BCA 的面積解題：

S△BCA=AC·BC=×6×8=24，S△BCA=S△BDA+S△DCA=×6x+×10x=8x，則8x=24，x=3，即CD=3.

例3 如圖5，折疊長(zhǎng)方形ABCD，使點(diǎn)D 落在邊BC 上的點(diǎn)F 處（折痕為AE）.已知AB=DC=6 cm，AD=BC=10 cm.求EC 的長(zhǎng).

圖5

（1）常規(guī)解法

解：設(shè)CE 為x，則DE=6-x，

因?yàn)椤鰽DE 折疊得△AFE，

所以AF=AD=10，DE=EF=6-x，∠AFE=∠ADE=90°.

因?yàn)樵赗t△ABF 中，∠ABF=90°，

所以BF2=AF2-AB2=102-62=82.

所以BF=8.

所以CF=BC-BF=10-8=2.

因?yàn)樵赗t△ECF 中，∠C=90°，

所以EF2=CF2+CE2.

所以（6-x）2=22+x2.

（2）面積法

解：設(shè)CE 為x，則DE=6-x

因?yàn)椤鰽DE 折疊得△AFE，

所以S△ADE=S△AFE，AF=AD=10.

因?yàn)樵赗t△ABF 中，∠ABF=90°，

所以BF2=AF2-AB2=102-62=82.

所以BF=8.

所以CF=BC-BF=10-8=2.

因?yàn)镾AFED=SABCD-S△ABF-S△FCE=6×10-×8×6-×2x=36-x

SAFED=2S△ADE

所以36-x=60-10x.

面積法解例3，從割、補(bǔ)兩種不同的角度表示四邊形AFED的面積，建立了比較簡(jiǎn)單的一元一次方程，解題過程的簡(jiǎn)潔.

例4 如圖6，在Rt △ABC中，∠BCA ＝90°，點(diǎn)D 是BC 上一點(diǎn)，AD ＝BD=5，若AB ＝8，求CD 的長(zhǎng).

（1）常規(guī)解法

圖6

解：設(shè)CD 為x，則BC=5+x，

因?yàn)樵赗t△ABC 中，∠ACD=90°，

因?yàn)锳B2=AC2+BC2，AC2=82-（5+x）2，

因?yàn)樵赗t△ACD 中，∠ACD=90°，

所以AD2=AC2+CD2，AC2=52-x2

所以52-x2=82-（5+x）2.

（2）面積法

解：如圖7，過點(diǎn)D 做DE⊥AB 于E，

因?yàn)锳D=BD，

圖7

因?yàn)樵赗t△AED 中，∠AED ＝90°，

所以DE2=AD2-AE2=52-42=32.

所以DE=3.

S△ABD=BD·AC=×5×AC，S△ABD=AB·ED=×8×3，

因?yàn)樵赗t△ACD 中，∠ACD ＝90°，

所以CD2=AD2-AC2=52-

例4 用常規(guī)方法解，沒有一個(gè)直角三角形的三邊能夠全部求出或用未知數(shù)表示，所以無法直接用“勾股定理”建立方程.而是抓住線段AC 在兩個(gè)直角三角形中的不同表示建立方程，難度較大.且所列出的方程52-x2=82-（5+x）2比較復(fù)雜，也造成了學(xué)生的解題困難.面積法解例4，已知條件不具備多個(gè)垂直關(guān)系，所以需要添加輔助線，而等腰三角形的條件提醒我們可以做底邊上的高.

例5 如圖8，正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為5，E 在BA 上，且AE=2，F(xiàn)在BC 上，且CF=1，過D 作DG⊥EF于G，求DG 的長(zhǎng).

圖8

（1）常規(guī)解法

解：連接DE、DF，

BE=AB-AE=5-2=3，BF=CB-CF=5-1=4，

因?yàn)樵赗t△BFE 中，∠B ＝90°，

所以FE2=BE2+BF2=32+42=52

所以FE=5.

同理得DE2=29，DF2=26，

設(shè)EG 為x，則GF=5-x，

因?yàn)樵赗t△DGF 中，DG2=26-（5-x）2.

在Rt△DGE 中，DG2=29-x2，

所以29-x2=26-（5-x）2.

因?yàn)樵赗t△DGE 中，DG2=26-（5-x）2=

（2）面積法

解：連接DE、DF，

BE=AB-AE=5-2=3，BF=CB-CF=5-1=4，

因?yàn)樵赗t△BFE 中，∠B ＝90°，

所以FE2=BE2+BF2=32+42=52.所以FE=5.

S△DEF=E F·DG=×5×DG.

S△FED=SABCD-S△ABE-S△FCD-S△FBE=52-×5×2-×5×1-×3×4=.

利用面積法解，避免了用勾股定理解題的繁難計(jì)算，使解題過程十分的簡(jiǎn)單.

通過以上例題可以發(fā)現(xiàn)，面積法解幾何題，要抓住其特征：①當(dāng)已知條件中有多個(gè)垂直條件時(shí)，我們就應(yīng)該考慮到面積法；②單圖形沿邊找高，有兩條高的圖形要關(guān)注；③復(fù)合圖形可以抓住其面積等它各部分面積之和（差），從整體和部分兩種不同的角度，或者分割和填補(bǔ)兩種不同的方法，表示同一圖形的面積，建立方程.利用面積法解決直角三角形中較復(fù)雜的幾何計(jì)算問題，思路簡(jiǎn)潔，方程簡(jiǎn)單，所以我們應(yīng)多關(guān)注.