《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學改革與學生實踐能力的培養(yǎng)*

李 靜，黃靜靜

(1.中國勞動關系學院 基礎部，北京 100048；2.北京信息科技大學 理學院，北京 100192)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》作為一門專門講述概率方法和統(tǒng)計方法的課程，與《高等數(shù)學》(或《微積分》)和《線性代數(shù)》一起構(gòu)成了我國高校理工科和絕大多數(shù)文科專業(yè)的三門核心數(shù)學課程。與其他兩門課程稍有不同的是，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中涉及的理論和方法大都來自于生活中的實際問題，在現(xiàn)實生活中有很強的實用性。通過該課程的學習，學生不但要從理論上掌握相關的知識點，更要具備利用所學知識分析和解決實際問題的能力。然而，通過我們自己的教學經(jīng)驗和相關的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，目前《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》在內(nèi)容設置和教學方法上都存在著嚴重的缺陷，不能適應目前社會經(jīng)濟形勢對學生綜合能力的要求。

值得說明的是，雖然目前大學課堂教學關于學生實踐創(chuàng)新能力培養(yǎng)和重視不夠，但這種缺陷在傳統(tǒng)考試方式下并不能得以體現(xiàn)。傳統(tǒng)培養(yǎng)模式導致的弊端往往在學生進入實際工作崗位后才表現(xiàn)出來，反映出學校培養(yǎng)與社會需求的嚴重脫節(jié)。與此稍有不同的是，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》現(xiàn)有教學模式缺陷導致學生實踐能力較弱卻直接地表現(xiàn)在數(shù)學建模競賽中。數(shù)學建模競賽有很多題目是關于數(shù)據(jù)分析的，要用到概率統(tǒng)計方法。然而學生在面對這類題目時，往往表現(xiàn)出課堂所學知識不夠，實際操作能力缺乏等。針對上述問題，近年來如何對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》進行改革以更好的培養(yǎng)學生的實踐創(chuàng)新能力引起了廣泛的關注，有的從教學方法上進行討論，有的從教學內(nèi)容改革上進行討論。

本文將以培養(yǎng)和提高學生實踐能力為目標，論述目前《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學模式中存在的問題，并提出相應的改革建議。

一、現(xiàn)有教學模式存在的問題

(一)從課程內(nèi)容設置和課時安排上，存在重概率輕統(tǒng)計的問題

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的教學內(nèi)容主要有概率和數(shù)理統(tǒng)計兩個部分。前者包括隨機事件及其概率、隨機變量及其分布、隨機變量的數(shù)字特征和極限定理 (大數(shù)定律和中心極限定理)四個部分;后者一般包括數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、參數(shù)估計和假設檢驗三個部分。從課時上來講，絕大多數(shù)專業(yè)都是講授一個學期，每周3學時(大部分學校合計為54學時)。在這種內(nèi)容和學時設置下，概率論相關內(nèi)容占用將近三分之二的課時，到了數(shù)理統(tǒng)計部分就沒有足夠的時間進行詳細講解，從而造成很多學生對統(tǒng)計方法所學不深，所需要的統(tǒng)計方法沒有正確理解，更談不上利用所學的知識解決實際問題。

(二)從課程內(nèi)容來看，強調(diào)數(shù)學公式推導，輕視統(tǒng)計思想和應用背景的介紹

現(xiàn)有《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教材大都強調(diào)數(shù)學公式和推導，概念的數(shù)學表達和定理的數(shù)學證明是教學的重點內(nèi)容。很多學生在這種教學模式下感覺該課程仍然是一門數(shù)學課程，很少或者不能體會到其應用性。其實不同于其它數(shù)學課程，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的知識點都有著較強的實際背景，有很強的實用性。

(三)課程中實際例子數(shù)據(jù)量較少，沒有軟件介紹

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程中所涉及的實際例子大都是經(jīng)過簡化的。一方面是數(shù)據(jù)量很少，參數(shù)估計和假設檢驗部分涉及到的實際數(shù)據(jù)大都是10個數(shù)據(jù)左右，有關的計算都是在草稿紙上手工進行。而在實際問題分析中，有時候數(shù)據(jù)量是非常大的。以近幾年的全國大學生數(shù)學建模競賽試題為例，2013年的交通事故對交通堵塞的影響，2012年的葡萄酒問題，2011年的土壤中重金屬濃度問題，都需要處理和分析大量的數(shù)據(jù)。因此對于學生來說，掌握如何使用計算機 (統(tǒng)計軟件)進行實際數(shù)據(jù)分析是非常必要的。另一方面，很多統(tǒng)計方法的使用是有其前提條件的，但是由于書中的例子都是經(jīng)過簡化的，所以學生很少去想其前提條件，從而不能很好的掌握具體方法的使用范圍。比如，假設檢驗部分都是關于正態(tài)總體的檢驗問題，例題中都做了“來自于正態(tài)總體”這種假設，這種設置下學生就很少或者根本就不去考慮如果實際數(shù)據(jù)不是來自于正態(tài)總體怎么辦，以及如何判斷一組實際數(shù)據(jù)是否來自于正態(tài)總體等等這些很重要的問題。從而造成學生不從實際問題出發(fā)，而濫用統(tǒng)計方法的現(xiàn)象。

二、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程改革具體建議

(一)調(diào)整教學內(nèi)容，突出統(tǒng)計方法和實際數(shù)據(jù)分析的講授

為了培養(yǎng)學生的實踐能力，應該讓學生清楚地了解所學知識與實際問題之間的聯(lián)系，讓學生直接面對實際問題進行分析和解決。因此，要相應的調(diào)整該課程的教學內(nèi)容。基于目前課程內(nèi)容較多而課時較少的現(xiàn)狀，一個解決方案是在原來的基礎上增加課時，增加的課時要有針對性的培養(yǎng)學生實際操作能力，比如在原來54學時的基礎上增加18個上機 (實驗)課時。

上機這部分課時主要講授軟件的操作。按照目前學生的實際情況，可以選擇Excel軟件。雖然Excel軟件不是專門的統(tǒng)計分析軟件，但是其統(tǒng)計分析功能十分強大，足以解決一般的統(tǒng)計分析問題，概率論與數(shù)理統(tǒng)計中所涉及的方法在Excel中都可以實現(xiàn)。具體來講，在隨機變量及其分布部分，其中很大一部分問題涉及到具體的分布及概率的計算，傳統(tǒng)教學都是要求學生掌握教材附錄中的常用分布的分位數(shù)表。實際上，利用Excel函數(shù)中的“統(tǒng)計函數(shù)” (打開 Excel，依次選擇“插入”— “函數(shù)”— “統(tǒng)計”)，可以很方便的求取幾種常用分布有關的概率運算。以正態(tài)分布為例，函數(shù) NORMDIST(x，Mean，Standard-dev，Cumulative)可以求取正態(tài)分布的分布函數(shù)值 F(x)和概率密度函數(shù)值 f(x)。例如NORMDIST(3，0，1，1)就是對于服從均值為0，標準差為1的正態(tài)分布X求其F(3)，而NORMDIST(3，0，1，0)則是對于該分布求其f(3)。此外，假設檢驗部分可以借助于計算機進行，一是可以利用Excel進行數(shù)據(jù)的計算，二是可以直接利用Excel的“數(shù)據(jù)分析”模塊中的檢驗功能。在教學中引入Excel軟件，一方面提高了學生的學習興趣和動手操作能力;另外一方面，可以在傳統(tǒng)例題和習題的基礎上增加一些數(shù)據(jù)量較大的題目，比如可以用往年的數(shù)學建模試題中的數(shù)據(jù)，讓學生用軟件進行分析，以提高學生分析和解決實際問題的能力。

除了增加課時之外，對于概率論部分的教學內(nèi)容也要適當調(diào)整。比如隨機事件及其概率部分內(nèi)容可以適當壓縮，比如古典概型部分，由于大部分學生在高中學過排列組合和部分概率的基本知識，所以沒有必要再花費很多的時間。

(二)改變教學方法，加強知識點實際背景的介紹

目前教學模式下，知識點的引入往往是以數(shù)學表達的形式強加給學生，比如幾種常用的分布，參數(shù)估計與假設檢驗等。教材中雖然也有相關的實際背景介紹，但往往就是簡短的幾句話。如果授課教師不能很好的展開的話，往往起不到預期的效果。針對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的實際特點，建議對知識點的引入加強實際背景的介紹，與實際問題結(jié)合起來，使學生能深入的了解其實質(zhì)。比如對于正態(tài)分布的介紹，可以先讓學生觀察幾組實際數(shù)據(jù)，比如100名學生的身高，或者利用Excel“數(shù)據(jù)分析”中的“隨機數(shù)”功能產(chǎn)生幾組服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，讓學生結(jié)合直方圖觀測這些實際數(shù)據(jù)的分布特征歸納出這類數(shù)據(jù)的主要特點，接下來便讓學生思考如何把這些特征用數(shù)學來刻畫和表達。這樣引出正態(tài)分布的定義，給學生的感覺就不會僅僅是一個數(shù)學公式。同樣在假設檢驗部分，假設檢驗的定義以及第一類錯誤、第二類錯誤等概念對于很多學生來說有些抽象，理解起來不那么容易，教師可以借助于一些實例幫助學生在很短的時間內(nèi)掌握假設檢驗的實質(zhì)。比如以一個骰子為例，我們怎么才能驗證它是否均勻，除了采取物理手段以外，我們還可以采用實驗的手段讓學生思考，如果這枚骰子沒有問題，那么1點至6點出現(xiàn)的概率應該一樣。如果實際拋600次的話，那么1點至6點出現(xiàn)的次數(shù)應該都接近100。這600次的試驗結(jié)果其實就是我們的樣本數(shù)據(jù)，我們要做的就是利用這一組樣本數(shù)據(jù)去檢驗骰子是否有問題這一總體的問題。那么怎么用600次的結(jié)果去判斷骰子是否均勻呢?可以讓學生思考，假如600次中恰好每個點對應100次，是否就說明骰子沒有問題?另外假如600次中出現(xiàn)都是6點這種極端情況，能否說明骰子一定有問題?通過這個簡單的例子可以讓學生很容易就能理解和總結(jié)出假設檢驗的有關原理，比如假設檢驗的用途，拒絕或無法拒絕這種結(jié)論是否是絕對的，第一類錯誤和第二類錯誤的真正含義，以及為什么這兩類錯誤無法避免，等等。

(三)加強綜合訓練，改變考核方式

在傳統(tǒng)教材和教學中，習題和練習都是對應于教學內(nèi)容的，因此學生得到的是具體的限制性的訓練，不需要考慮方法的使用，從而沒有得到綜合性的訓練，這往往會導致學生在面對實際問題時無從下手。另外一方面，傳統(tǒng)的考試方式使學生將時間和精力用在了數(shù)學公式的推導和證明上，忽視了實踐能力的培養(yǎng)。在講完所有方法之后，教師應該加強綜合性案例的講解和相應的訓練。比如布置一些實踐性的問題讓學生去做，作為最后成績的重要組成部分?？梢赃x擇一些與生活緊密相關，又不需要投入過多的時間和精力的問題，比如“某個時間段單位時間內(nèi)經(jīng)過我校門口車倆數(shù)大于100輛車的概率是多大?”或者“我校大一學生和大二學生的月消費是否有顯著差異”。對于這樣的問題，就不再是單純的往一個數(shù)據(jù)上套某種具體方法了，而是從數(shù)據(jù)的收集，到數(shù)據(jù)的描述分析，再到最后的檢驗問題都需要學生去解決。比如，收集到的數(shù)據(jù)能否認為來自于一個正態(tài)總體，這是需要通過具體的統(tǒng)計方法來判斷的。進一步，如果可以認為調(diào)查數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體，那么就可以使用所學的關于正態(tài)總體的檢驗方法。如果不能認為調(diào)查數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體，那么所學的正態(tài)總體檢驗方法就不能使用，而要去學習和使用其它方法。通過整個過程的鍛煉，學生加深了對實際問題和統(tǒng)計方法的認識，從而才真正掌握了具體的統(tǒng)計方法，提高了自己的實踐能力。

隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展和科技的進步，政府部門、大中型企業(yè)和咨詢機構(gòu)都面臨大量的數(shù)據(jù)處理工作，包括數(shù)據(jù)采集、存儲、分析、展示、解釋、推斷、預測等，這些工作都屬于統(tǒng)計的基本范疇。因此，數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計建模能力應該成為所有大學生必須具備的基本能力。要想達到這一目標，培養(yǎng)學生的這種能力，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程要進行相應的教學改革。本文主要從課程內(nèi)容的調(diào)整和教學方法的改變等幾個方面做了討論，當然，學生實踐能力的培養(yǎng)和提高需要多個方面的共同努力。

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