艙段截斷時邊界條件的選取方法

丁 宏，陳美霞，魏建輝，謝 坤

(華中科技大學，湖北 武漢 430074)

0 引 言

工程中對船舶等結(jié)構(gòu)進行動態(tài)分析時，如果對全船進行分析，結(jié)構(gòu)十分復雜，計算量十分龐大，還有許多并不關心的特性會影響分析結(jié)果。因此如果只關心某個艙段的響應特性，為了建模和分析方便，不需建立整船的有限元模型。對所關心艙段進行計算分析，單個的艙段模型能否代替多艙段，卻研究不多。

Yoshikawa[1]等分析表明，對于簡單殼體，在一定頻率以上，艙段的振動特性與無限長結(jié)構(gòu)的振動特性比較接近，也就是說結(jié)構(gòu)的截斷對振動的影響不是很大。對于潛艇等較為復雜的系統(tǒng)，殷學文[2]等認為，在低于艇體艙段第一階彈性頻率的頻段上，用單艙段來模擬整個艇體，殼體表面振速誤差較大，不能用單艙段模擬整艇來進行定量分析。李鵬[3]等對散貨船全船三艙段與獨立三艙段進行對比分析，對全船采用慣性釋放方法，比較了與獨立三艙段的相當應力，表明獨立三艙段的結(jié)果偏高，與實際相差較大。沈順根[4]等研究認為，在低于艇體第一階彈性頻率的頻段內(nèi)，單艙段模型不能反映艇體的總振動。

根據(jù)瑞利約束定理[5]，加約束使固有頻率提高，且新的固有頻率出現(xiàn)在原來的2個固有頻率之間。根據(jù)這個理論，可以調(diào)整結(jié)構(gòu)的邊界條件來對固有頻率等動態(tài)特性進行一定的控制。蔡青[6]利用三向約束的方法分析單艙段的諧響應特性，但并沒有與全船模型進行比較來分析約束的影響。邊界條件應該如何設置才能使單艙段的動態(tài)響應比較接近于在全船中的響應，或者說結(jié)構(gòu)的截斷時邊界條件如何選取，在工程中具有實際意義。

1 結(jié)構(gòu)連續(xù)的邊界條件

描述圓柱殼的理論有多種，采用Flügge殼體理論[7]來描述圓柱殼的振動在頻率不太高時具有較高的精確度，該理論將環(huán)肋結(jié)構(gòu)均視為作用在圓柱殼上的動反力，圓柱殼的振動方程如下所示：

[l][uvw]T+D([F]+[fr]+[fs])=0。

(1)

圖1 圓柱殼和艙壁的位移及內(nèi)力示意圖Fig.1 Displacements and forces of cylindrical shells and bulkhead

艙段之間通過艙壁等結(jié)構(gòu)隔開，分為一個個相對獨立的結(jié)構(gòu)。對于圓柱殼艙段，艙壁和端板的作用也需要考慮。

對于直接相鄰的結(jié)構(gòu)，在連接處需要滿足一定的連續(xù)性條件。記全船模型各艙段圓柱殼的編號為q(q=1～5)，艙壁(含端板)編號為p(p=0～5)。圓柱殼的軸向、周向和徑向的位移分別記為wq，vq和uq，艙壁和端板的軸向、軸向和徑向分別記為up、vp和wp。為了簡化分析，只考慮艙段一端的邊界條件，因此取艙段1。在艙壁1處(p=1，q=1～2)，滿足以下條件：

Nφ,1=0,

2 數(shù)值算例

采用有限元軟件Ansys建模，計算由5個艙段構(gòu)成的全船模型與不同邊界條件的單艙段模型在模態(tài)和諧響應方面的異同，以選取一種邊界條件，使單艙段的振動特性比較接近于該艙段在全船中的特性。

2.1 模型介紹與邊界條件

各模型的結(jié)構(gòu)材料為鋼材，具體的物理參數(shù)為：密度ρ=7 800 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3。

采用的全船模型尺寸為：總長L=5.25 m，半徑R=0.425 m，肋距l(xiāng)=0.075 m，肋骨尺寸0.004 m×0.033 m，殼體厚t=0.004 m，每隔1.05 m設置一道艙壁，艙壁厚0.012 m，兩端板結(jié)構(gòu)與艙壁相同，如圖2(a)所示。單艙段模型長度l=1.05 m，其他尺寸與整體模型一致，結(jié)構(gòu)如圖2(b)所示。

圖2 算例模型(半剖)Fig.2 Geometry of analysis models

為了便于比較，分析邊界條件影響時，取全船模型最右端的第I艙段(以下簡稱全船模型)與單艙段模型比較，這樣只需要對單艙段模型的一端賦予一定的邊界條件，包括三向位移約束、Z向(軸向)位移約束、X向和Y向簡支約束以及不約束等狀態(tài)。

2.2 模態(tài)分析

先重點分析全船模型的模態(tài)，該模型兩端均為自由狀態(tài)。整體模型的模態(tài)可分為船體梁模態(tài)、艙段模態(tài)和艙壁模態(tài)等。從計算結(jié)果來看，在第一階艙段頻率(414 Hz)以下，主要是船體梁模態(tài)和艙壁模態(tài)。在第一階艙段模態(tài)出現(xiàn)時，艙壁位置成為圓柱殼艙段振動的節(jié)點，在此位置，不僅位移連續(xù)，轉(zhuǎn)角也連續(xù)。

圖3 全船模型的船體梁模態(tài)與艙段模態(tài)Fig.3 Ship girder mode and cabin mode of the whole ship model

由于全船模型由5個相同艙段組成，各艙除邊界條件外結(jié)構(gòu)完全一樣，因此在同一個頻率附近往往出現(xiàn)多個相似模態(tài)。在第一階艙段頻率之上，隨著頻率增加，艙壁等局部模態(tài)很多，這里只考慮I艙的艙段模態(tài)。

從全船模型和單艙段模型的模態(tài)分析結(jié)果中，可以找到一些整體模型的I艙段與單艙段模型相對應的模態(tài)。各模型的模態(tài)云圖具有較高的相似度，固有頻率則有一定差別。

對照模態(tài)云圖，可以將單艙段圓柱殼對應模態(tài)的固有頻率列出來，與全船模型的I艙段進行對比，結(jié)果如表1所示。

表1 各模型相同模態(tài)下的固有頻率/Hz

注①：指的是各單艙段模型與全船模型對應振型的固有頻率相差的百分比。

從上面的模態(tài)分析可知，全船模型模態(tài)比較豐富，許多全船結(jié)構(gòu)的艙段模態(tài)在單艙段模型中沒有出現(xiàn)，這是因為這些模態(tài)并不是I艙的固有模態(tài)，而是船體其他艙段的固有模態(tài)，或者艙段之間的耦合模態(tài)。

比較艙段圓柱殼模態(tài)的固有頻率可知，三向約束單艙段的固有頻率偏大，有些模態(tài)的固有頻率比全船模型高1%左右，但有些模態(tài)，比如呼吸模態(tài)(n=0)，固有頻率相差達到10.8%，已經(jīng)超出工程應用允許的范圍；Z向約束單艙段的固有頻率與全船模型差別在0.1%～5%之間；自由條件下，艙段的固有頻率偏低，與全船模型相差最大的約為2.9%左右。X向和Y向簡支約束單艙段模型比全船模型相同模態(tài)固有頻率略低，差別在0.02%～1.26%之間，是各種約束方法中差別最小的。

比較固有頻率可知，完全自由艙段<約束X，Y向艙段<約束三向艙段，約束越強，固有頻率越高。從固有頻率而言，將艙段截斷處理為約束X向和Y向的位移比較合理。

2.3 諧響應分析

本文同時比較不同邊界條件對諧響應的影響，模型及邊界條件與模態(tài)分析時一致。激勵為點作用力，位置在分析艙段中央的底部，方向垂直于圓柱殼表面。由于作用力的具體大小并不影響各模型響應的相對大小關系，這里簡單地取為單位力。計算頻率取0～800 Hz，間隔1 Hz。

圖4 激勵點處的速度響應對比Fig.4 Velocity response comparison of the excited point

圖5 圓柱殼響應均方根速度對比Fig.5 Mean square velocity comparison of the cylindrical shells

從諧響應的計算結(jié)果曲線對比可以看出：X向和Y向簡支約束艙段與全船模型最為接近，在一階艙段頻率(414 Hz)以上時與全船模型基本吻合。采用三向約束或軸向位移約束的單艙段模型相對與全船模型相比，固有頻率較高，響應曲線向右移動，特別是在0.6倍環(huán)頻率(600 Hz)以下的頻段；全自由單艙段模型相對于全船模型固有頻率較低，響應曲線則向左移動。在0.6倍環(huán)頻率以上時，不同的邊界條件對響應的影響較小，說明頻率較高時結(jié)構(gòu)響應對邊界條件的變化不敏感，可以比較隨意地選擇一種邊界條件來模擬全船模型的連續(xù)性條件。

XY雙向簡支約束的單艙段模型響應曲線的峰值均處在一組全船模型I艙段的響應峰當中，而其他約束條件下的單艙段模型則與全船模型的響應峰谷頻率有一定的偏差。也就是說，XY雙向簡支約束的單艙段模型能較好地代表全船模型I艙段的主要模態(tài)。

采用XY向簡支約束能較好地模擬全船結(jié)構(gòu)，原因可能是艙壁在XY面內(nèi)的剛度、相鄰艙段的彎曲剛度對本艙段圓柱殼在艙壁平面內(nèi)具有較強的約束作用。這種約束作用與對圓柱殼的XY向進行簡支的效果比較相似，因而這2個模型的響應結(jié)果比較類似。

具體到響應曲線的每一個峰谷位置，在模態(tài)分析中均能找到對應的固有模態(tài)。其中，當軸向半波數(shù)為奇數(shù)(m=1，3…)時，激勵點處于波腹位置，此時輸入功率較大，艙段的均方振速較大，響應曲線出現(xiàn)峰值；當軸向半波數(shù)為偶數(shù)時，激勵點處于波節(jié)位置，此時外力不能激起對應模態(tài)，輸入功率較小，結(jié)構(gòu)的均方振速出現(xiàn)極小值。除艙段模態(tài)會引起響應曲線的波動之外，艙壁處的模態(tài)等也會引起響應的變化。

全船模型I艙段在分析頻帶內(nèi)的峰谷較多，這是因為全船模型有5個相同的艙段，作用在I艙的激勵力也會激起其他艙段的模態(tài)，因此單艙段模型出現(xiàn)的模態(tài)在全船模型中可能出現(xiàn)多次；如果再考慮耦合模態(tài)和空間的對稱性，則在相近頻帶里，全船模型還會出現(xiàn)更多的固有模態(tài)，因此采用單艙段和一定的邊界約束條件并不能完全代替全船結(jié)構(gòu)的連續(xù)性條件。

全船模型的響應曲線在112 Hz、522 Hz處出現(xiàn)峰值，而其他單艙段模型并沒有出現(xiàn)。通過模態(tài)分析可知，這對應的是全船模型的整體模態(tài)，單艙段模型并沒有這些固有模態(tài)。112 Hz對應的是艙段在X方向上的一階船體梁模態(tài)，其模態(tài)云圖如圖6(a)所示。抽取全船外殼側(cè)面一條直線上的節(jié)點，其X方向上的節(jié)點位移隨軸向位置的變化如圖6(b)所示，這條曲線基本上可以代表船體梁的模態(tài)。在522 Hz附近時，艙段之間發(fā)生方向相反的錯動，其模態(tài)云圖和模態(tài)曲線如圖7所示。

圖6 全船模型在112 Hz附近的一個模態(tài)Fig.6 Mode shapes around 112 Hz of the whole ship model

圖7 全船模型在522 Hz附近的一個模態(tài)Fig.7 Mode shapes around 522 Hz of the whole ship model

3 結(jié) 語

本文分析了加環(huán)肋圓柱殼的運動，艙壁處的位移、內(nèi)力和彎矩的連續(xù)性邊界條件。對單艙段一端分別施加自由、周向徑向簡支約束、軸向約束以及三向約束等不同的邊界條件，從模態(tài)的固有頻率和頻響曲線兩方面與全船模型的I艙段進行比較，結(jié)果表明，在艙段頻率以上，將艙段截斷處理為周向徑向簡支約束比較合理。用單艙段來代替全船模型，可以反映全船模型中的主要艙段模態(tài)，但不能反映船體梁模態(tài)。

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