基于LS-SVM的水火彎板機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

李 彥， 王 玲

(江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0 引 言

目前，造船工業(yè)中應(yīng)用最廣泛也是最關(guān)鍵的船板加工技術(shù)之一即是水火彎板成型技術(shù)。由于該工藝技術(shù)性強(qiáng)，難度大，操作技藝難以掌握，目前大型復(fù)雜曲面鋼板水火加工在實(shí)際生產(chǎn)中主要由老技術(shù)工人來(lái)完成，這種人工方式嚴(yán)重制約造船事業(yè)的快速發(fā)展。

而在水火彎板智能控制系統(tǒng)中，機(jī)械手的應(yīng)用將工人從繁重的體力勞動(dòng)中解脫出來(lái)，大大提高了生產(chǎn)效率和加工精度，而且產(chǎn)生的噪聲小。水火彎板工藝的自動(dòng)化和智能化對(duì)提高船外板成型的質(zhì)量和造船速度以及降低造船成本有著重要意義[1]。

本文主要研究水火彎板機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。傳統(tǒng)的求逆方法如代數(shù)法、幾何法及迭代法這幾種方法計(jì)算量大，有一定的限制[2]。本文采用最小二乘支持向量機(jī)LS-SVM算法對(duì)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解，并與LMBP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，仿真效果良好，符合彎板機(jī)械手的控制要求，為下一步動(dòng)力學(xué)研究及實(shí)際使用奠定基礎(chǔ)。

1 水火彎板機(jī)械手正向運(yùn)動(dòng)學(xué)

按照加工工藝的要求，機(jī)械手需要在全空間中進(jìn)行作業(yè)，為了使所有運(yùn)動(dòng)都能實(shí)現(xiàn)，機(jī)械手要有6個(gè)自由度，本文研究的彎板機(jī)械手也采用六自由度。

機(jī)械手的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)是已知6個(gè)關(guān)節(jié)的角度確定末端位姿的過(guò)程。首先用D-H[3]方法建立機(jī)械手的坐標(biāo)模型。D-H分析方法用來(lái)描述機(jī)械手相鄰兩連桿之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：相鄰兩連桿的位姿用1個(gè)4×4的齊次變換矩陣進(jìn)行描述，并由此推導(dǎo)出機(jī)械手末端夾持機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系相對(duì)于底座參考坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，進(jìn)而建立機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和幾何模型，具體如下：

式中：θi為關(guān)節(jié)角度；di為偏移量；ai為連桿長(zhǎng)度；αi為扭轉(zhuǎn)角。

本系統(tǒng)中彎板機(jī)械手6個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍分別為±15°，±30°，±60°，±100°，±120°，±160°，最大速度分別為30°/s，30°/s，30°/s，60°/s，60°/s，60°/s。D-H參數(shù)如表1所示。

表1 彎板機(jī)械手D-H參數(shù)

2 機(jī)械手逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是已知末端軌跡求解各個(gè)關(guān)節(jié)角度的過(guò)程，逆解求取是機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的難點(diǎn)。

傳統(tǒng)求解機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的方法非常復(fù)雜，計(jì)算量大，且存在多解問(wèn)題[4]。機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的求解方法大致可分成封閉解法與數(shù)值解法這兩大類(lèi)。其存在的主要問(wèn)題是計(jì)算量大，受硬件結(jié)構(gòu)的限制比較大，甚至可能得不到有效的逆解。

智能控制方法是現(xiàn)代控制方法的發(fā)展方向，主要包括遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法及各種智能計(jì)算方法的組合形式。針對(duì)機(jī)械手的逆解求取，其求解思路是把機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)控制問(wèn)題來(lái)求解。機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是由笛卡爾空間到關(guān)節(jié)空間的轉(zhuǎn)換，是典型的非線性映射問(wèn)題。而B(niǎo)P網(wǎng)絡(luò)是一種典型的單向傳播的多層前向網(wǎng)絡(luò)，適合解決非線性映射問(wèn)題[5]。

2.1 基于LMBP的彎板機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層，隱含層和輸出層3個(gè)層次組成，確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)即確定每層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)是算法的重點(diǎn)之一。

2.2 基于LSSVM的彎板機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

支持向量機(jī)的主要思想是：將選擇的非線性映射從輸入映射至高維空間，并且在這個(gè)空間中可以構(gòu)造最優(yōu)的決策函數(shù)。當(dāng)構(gòu)造最優(yōu)的決策函數(shù)時(shí)，不僅利用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，而且將原來(lái)的核函數(shù)取代了高維特征空間中的點(diǎn)積運(yùn)算[6-7]。

最小二乘支持向量機(jī)是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)支持向量機(jī)進(jìn)行的擴(kuò)展之一，優(yōu)化指標(biāo)用的是平方項(xiàng)，而且用等式約束代替標(biāo)準(zhǔn)支持向量機(jī)中的不等式約束，從而推出了一系列的等式約束，故把二次規(guī)劃的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為求解線性方程組的問(wèn)題，不僅簡(jiǎn)化了計(jì)算的復(fù)雜性，而且求解速度相對(duì)有所增加[8]。LSSVM的優(yōu)化目標(biāo)采用的是ξi的平方項(xiàng)，所以優(yōu)化問(wèn)題如下式：

(2)

s.t:yi=ωTψ(xi)+b+ξi,i=1,…,n。

(3)

下面引入拉格朗日函數(shù)求解式(2)的優(yōu)化問(wèn)題，

b+ξi-yi}。

(4)

式中ai為拉格朗日乘子。根據(jù)KTT優(yōu)化條件有：

得到以下等式約束條件：

ωTψ(xi)+b+ξi-yi=0。

對(duì)于i=1,…,n，消去ω，ξ可得線性方程組：

式中：e為元素為1的n×1向量；I為n×n的單位陣。

a=[a1,a2,…,an]T,y=[y1,y2,…,yn]T,

G=[ψ(x1)T,ψ(x2)T,…,ψ(xn)T]。

根據(jù)Mercer條件，定義核函數(shù)如下：

K(xi,yi)=ψ(xi)Tψ(xj)。

(6)

綜上，該方程組為：

(7)

式(7)的線性方程可用最小二乘法求出a和b， 則線性回歸函數(shù)為

(8)

通常核函數(shù)采用徑向基函數(shù):

最小二乘支持向量機(jī)通過(guò)有約束的二次優(yōu)化方法確定網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，這種映射與感知器和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF)的形式相似，不同的是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和權(quán)值初值的選取決定了網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練速度和收斂特性，而最小二乘支持向量機(jī)的這種形式?jīng)Q定了其優(yōu)越特性。

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證所用算法在水火彎板機(jī)械手求逆運(yùn)動(dòng)學(xué)中的有效性，本文進(jìn)行了相關(guān)的仿真實(shí)驗(yàn)。

3.1 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

首先在Matlab中建立機(jī)械手的模型，進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)的仿真實(shí)驗(yàn)。

在各關(guān)節(jié)允許的范圍內(nèi)給予機(jī)械手的初始角度q1=[0 0 0 0 0 0]和終點(diǎn)角度q2=[5.120 -15.362 46.885 82.653 100.996 -122.542]。機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過(guò)程平穩(wěn)，圖1是當(dāng)給予上述初始和終點(diǎn)角度后，機(jī)械手在空間中走出的一段平滑軌跡，由此可以驗(yàn)證彎板機(jī)械手模型建立的正確性和有效性。

圖1 機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.1 Trajectory of manipulator

3.2 逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

根據(jù)各關(guān)節(jié)角的變化范圍以及機(jī)器人實(shí)際工作要求確定各關(guān)節(jié)角的變化范圍。根據(jù)“多移動(dòng)小關(guān)節(jié)少移動(dòng)大關(guān)節(jié)”的選取原則，結(jié)合實(shí)際操作的需要，在各關(guān)節(jié)允許的角度范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生1 000組角度值，其中θ1的取值范圍限定為(-5，+5)，θ2為(-5，+5)，θ3為(-10，+10)，θ4為(-15，+15)，θ5為(-30，+30)，θ6為(-60，+60)， 單位為(°)。

從而得到了1 000組輸入輸出數(shù)據(jù)，980組作為訓(xùn)練樣本，20組作為測(cè)試樣本。LMBP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練函數(shù)為trainlm，當(dāng)訓(xùn)練步數(shù)為231時(shí)達(dá)到誤差精度范圍。用20組數(shù)據(jù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行測(cè)試，圖2為關(guān)節(jié)6預(yù)測(cè)值與期望值的比較及誤差曲線。

圖2 關(guān)節(jié)6的LMBP預(yù)測(cè)值與期望值Fig.2 Expected and neural network prediction output of the sixth joint angles

圖3 關(guān)節(jié)6的LMBP誤差曲線Fig.3 Error curve of the sixth joint angles of neural network

由圖2和圖3可看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)雖然可以近似地實(shí)現(xiàn)逆解的求取，但誤差較大，部分角度甚至達(dá)到10°，不能滿足彎板機(jī)械手精度要求。

針對(duì)存在的誤差，本文重點(diǎn)設(shè)計(jì)了LS-SVM即最小二乘支持向量機(jī)，對(duì)機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解分析。樣本同LMBP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的選取方法相同，980組作為訓(xùn)練學(xué)習(xí)樣本，20組作為測(cè)試樣本。圖4～圖7分別為用LS-SVM方法時(shí)，關(guān)節(jié)5和關(guān)節(jié)6的期望值與輸出值比較及誤差曲線圖。

圖4 關(guān)節(jié)5的LSSVM預(yù)測(cè)值與期望值Fig.4 Expected and LSSVM prediction output of the fifth joint angles

圖5 關(guān)節(jié)5的LSSVM誤差曲線Fig.5 Error curve of the fifth joint angles of LSSVM

圖6 關(guān)節(jié)6的LSSVM預(yù)測(cè)值與期望值Fig.6 Expected and LSSVM prediction output of the sixth joint angles

圖7 關(guān)節(jié)6的LSSVM誤差曲線Fig.7 Error curve of the sixth joint angles of LSSVM

由圖4～圖7可以看出，采用最小二乘支持向量機(jī)算法求得的關(guān)節(jié)5的誤差在0.6°范圍內(nèi)，而關(guān)節(jié)6的誤差也降低到5°以下，比LMBP的求解精度有明顯的提高。

用此算法將求得的關(guān)節(jié)角度給予機(jī)械手，由正運(yùn)動(dòng)可以得到機(jī)械手末端軌跡，如圖8所示。由圖可看出，跟蹤誤差在±3 mm范圍內(nèi)，效果良好，能夠滿足彎板機(jī)械手對(duì)加熱軌跡的精度要求。

圖8 彎板機(jī)械手末端軌跡跟蹤效果Fig.8 Tracking results of bending robot

4 結(jié) 語(yǔ)

本文利用D-H方法對(duì)水火彎板機(jī)械手進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)的建模，并在Matlab中進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了模型建立的正確性。重點(diǎn)對(duì)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了相關(guān)探討，首先運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)LMBP對(duì)機(jī)械手逆模型進(jìn)行模擬，基本實(shí)現(xiàn)了由末端軌跡到關(guān)節(jié)角度的映射。針對(duì)存在的誤差，重點(diǎn)介紹了最小二乘支持向量機(jī)LS-SVM的應(yīng)用。根據(jù)各個(gè)關(guān)節(jié)角度的變化范圍，隨機(jī)產(chǎn)生訓(xùn)練樣本對(duì)模型進(jìn)行學(xué)習(xí)，并通過(guò)測(cè)試樣本驗(yàn)證了此方法的可行性和優(yōu)越性。由仿真結(jié)果可以看出，LS-SVM的應(yīng)用使得系統(tǒng)精度提高，誤差減小，很好地對(duì)水火彎板機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了求解，最終實(shí)現(xiàn)末端軌跡的良好跟蹤。

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