S型超協(xié)調(diào)邏輯中的一項(xiàng)重大研究突破—評(píng)張金成《邏輯及數(shù)學(xué)演算中的不動(dòng)項(xiàng)與不可判定命題》

何華燦

(西北工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西 西安 710072)

1 一個(gè)“平凡人”的不平凡貢獻(xiàn)

1)“S型超協(xié)調(diào)邏輯”是我國(guó)學(xué)者張金成自創(chuàng)的一種邏輯，與它最接近的系統(tǒng)有巴西的“次協(xié)調(diào)邏輯”、美國(guó)的“不協(xié)調(diào)邏輯”和澳大利亞的“R型超協(xié)調(diào)邏輯”，不同的是他們都是通過直接約束矛盾律的有效使用范圍來包含“無害矛盾”，而張金成是在堅(jiān)持排斥“邏輯矛盾”的同時(shí)，直接把“辯證矛盾”作為邏輯系統(tǒng)的研究對(duì)象，其“數(shù)理辯證邏輯”的指向更加明確。張金成的論文《邏輯及數(shù)學(xué)演算中的不動(dòng)項(xiàng)與不可判定命題》(以下簡(jiǎn)稱為《張文》)是在S型超協(xié)調(diào)邏輯基礎(chǔ)上的一項(xiàng)重大研究突破，取得了一系列開創(chuàng)性成果，顛覆了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中許多業(yè)已被公認(rèn)的片面結(jié)論。然而，這些開創(chuàng)性研究成果只有在“開放論域”環(huán)境中解讀，才能顯示其存在的意義和思想光芒。如果硬要把它們拉回到“封閉論域”環(huán)境中去解讀，所有存在的意義和思想光芒必將全部被湮滅，這是由于2種不同邏輯理論的立論基礎(chǔ)和研究范疇所決定的，無法避免。

2)張金成是一個(gè)自學(xué)成才的年輕學(xué)者，一個(gè)再普通不過的“平凡人”，他沒有顯赫的教育背景和學(xué)位，沒有在“官科”機(jī)構(gòu)中任職的社會(huì)地位，他的這些前無古人的開創(chuàng)性成果更顯得難能可貴！也正因?yàn)槿绱?，他的這些開創(chuàng)性成果也很容易被人誤判為是“民科”之流的“低劣之作”而被打入冷宮，無人理睬。所以，作者特寫此文予以具名推薦和說明，一是表示對(duì)作者的研究成果的高度負(fù)責(zé)，愿意向?qū)W術(shù)界公開為《張文》承擔(dān)一部分文責(zé)，以利其公開發(fā)表，與廣大讀者見面；二是通過“開放的論域”環(huán)境來解讀“不動(dòng)項(xiàng)”存在的理論意義，并通過“封閉論域”環(huán)境和“開放論域”環(huán)境之間的相互辯證轉(zhuǎn)化關(guān)系來解讀“不動(dòng)項(xiàng)”的認(rèn)識(shí)論價(jià)值，以便讀者深入理解，準(zhǔn)確地把握《張文》的意義和貢獻(xiàn)。

2 “悖論”的外在表現(xiàn)和內(nèi)在本質(zhì)

1)在數(shù)學(xué)形成期，所謂“數(shù)學(xué)知識(shí)”都是一些零星分布的直接觀測(cè)結(jié)果和實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，數(shù)學(xué)理論處在“原始開放”狀態(tài)，各種知識(shí)之間并未形成嚴(yán)格的“認(rèn)識(shí)鏈條”。是古希臘人泰勒斯(公元前624-547)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)定理的邏輯證明，才逐步利用形式邏輯把各種已知知識(shí)組成一個(gè)松散的認(rèn)識(shí)鏈條，部分已知知識(shí)之間可以相互驗(yàn)證。直到歐幾里德(公元前325-265)《幾何原本》的出現(xiàn)，開創(chuàng)了在公理系統(tǒng)基礎(chǔ)上利用形式邏輯組成嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論體系的先河，標(biāo)志著“封閉數(shù)學(xué)”體系結(jié)構(gòu)的正式形成。這種“封閉數(shù)學(xué)”可以在一個(gè)封閉論域上，利用極少量稱為公理的已知知識(shí)和形式邏輯，建立一個(gè)“完整的認(rèn)識(shí)鏈條”，這個(gè)認(rèn)識(shí)鏈條不僅能夠把該封閉論域上的所有已知知識(shí)全部串聯(lián)到認(rèn)識(shí)鏈條上，而且能夠把在邏輯上蘊(yùn)含于公理系統(tǒng)中的全部“未知知識(shí)”演繹出來。這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一個(gè)前所未有的巨大進(jìn)步，但數(shù)學(xué)也因此付出了失去“開放性”的巨大代價(jià)。數(shù)學(xué)家們逐步陷入到“封閉性思維”的習(xí)慣中，慢慢忘卻了“開放性思維”的古老傳統(tǒng)，這就是為什么后來在“封閉數(shù)學(xué)”發(fā)展過程中，各種“悖論”頻頻出現(xiàn)的思想根源。每當(dāng)一個(gè)“域外不動(dòng)項(xiàng)”被意外發(fā)現(xiàn)時(shí)，習(xí)慣于“封閉性思維”的數(shù)學(xué)家們都會(huì)抱著排斥的心態(tài)去對(duì)待，他們不知所措，陷入困惑、恐慌和理論危機(jī)之中，在強(qiáng)烈的“數(shù)學(xué)地震”面前，沒有數(shù)學(xué)家能重新回想起古老的“開放性思維”傳統(tǒng)，到域外去尋找形成“地震”的成因。在漫長(zhǎng)的“解?！边^程中，僅有個(gè)別具有突破“封閉性思維”勇氣和辯證處理問題才能的數(shù)學(xué)家，才有幸在域外發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)對(duì)象，擴(kuò)大數(shù)學(xué)的論域，創(chuàng)立新的數(shù)學(xué)理論，至此這個(gè)“悖論”才算獲得解決，“數(shù)學(xué)地震”的影響才算消除。但是，只要有“封閉數(shù)學(xué)”，新的“悖論”就一定會(huì)出現(xiàn)，“數(shù)學(xué)地震”仍然會(huì)時(shí)有發(fā)生，它一直困擾著現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

2)現(xiàn)在《張文》改變了這個(gè)“被動(dòng)挨震”的局面，他通過S型超協(xié)調(diào)邏輯，用開放的心態(tài)主動(dòng)把人們的視角從已知的論域內(nèi)引到未知的“域外”，讓大家認(rèn)識(shí)到在數(shù)學(xué)中制造大地震的所謂“悖論”不過是“域外不動(dòng)項(xiàng)”而已。只要是有“自指代”的地方，就一定有“域外不動(dòng)項(xiàng)”存在。只要是論域能夠被完全兩分為正集合和反集合的地方，如果有條件存在不動(dòng)項(xiàng)，它必然是“域外不動(dòng)項(xiàng)”。只要有“域外不動(dòng)項(xiàng)”，在它上面必然存在“域外不可判定命題”。如果有人一定要在域內(nèi)利用經(jīng)典邏輯去分析這個(gè)“域外不可判定命題”，他看到的就是一個(gè)無法在域內(nèi)消除的“悖論”。根據(jù)這些規(guī)律性認(rèn)識(shí)，《張文》成功的證明了過去在“封閉數(shù)學(xué)”中“嚴(yán)格證明”出來的許多“正確結(jié)論”，原來都是“開放數(shù)學(xué)”中的域外不動(dòng)項(xiàng)，所謂的“嚴(yán)格證明”，其實(shí)已經(jīng)超出了經(jīng)典邏輯的有效控制范圍，全部不能成立。

3)詳細(xì)的證明結(jié)論和證明過程請(qǐng)大家閱讀《張文》的具體論述，在這里只強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：

①“三分論域”的現(xiàn)象普遍存在。在自然界和科學(xué)理論中，存在大量的三分現(xiàn)象。如數(shù)學(xué)中有大于1的“正整數(shù)域”和小于1的“正小數(shù)域”，它們以“1”為分界線；還有“正數(shù)域”和“負(fù)數(shù)域”，它們以“0”為分界線；謂詞P(x)不僅可以是“永真”公式或者“永假”公式，還可以是“半真半假”公式；人的身體狀況不僅有作為兩極的“健康”狀態(tài)和“生病”狀態(tài)，還有形形色色的“亞健康”狀態(tài)；現(xiàn)代物理學(xué)已證實(shí)，在大家熟悉的“正物質(zhì)世界”之外，還存在一個(gè)陌生的“反物質(zhì)世界”，2個(gè)世界被一個(gè)未知的“過渡空間”隔離。一旦正物質(zhì)和反物質(zhì)穿過“過渡空間”相遇，就會(huì)一起湮滅，轉(zhuǎn)化為能量。

②“不動(dòng)項(xiàng)”普遍存在。如果函數(shù)y=f(x)，則稱x=f(x)為的自指代方程。如有x0∈U，f(x0)=x0，則稱x0是不動(dòng)點(diǎn)，x0是函數(shù)y=f(x) 和y=x的交點(diǎn)。Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理表明：如果f: [0,1]→[0,1]是連續(xù)映射，則必存在x0∈[0,1]，使f(x0)=x0。所以，只要存在自指代方程，就一定存在不動(dòng)點(diǎn)。把1維不動(dòng)點(diǎn)推廣到2維以及n維以及一般化集合中，稱為“不動(dòng)項(xiàng)”。不動(dòng)項(xiàng)可是一個(gè)集合、命題或其他數(shù)學(xué)對(duì)象等，它們都具有相同的結(jié)構(gòu)形式x=f(x)。對(duì)不動(dòng)點(diǎn)，一定有x0∈U，是U內(nèi)不動(dòng)點(diǎn)。而對(duì)不動(dòng)項(xiàng)，則沒有這個(gè)限制，凡是在U內(nèi)外找到的滿足x=f(x)的x0，都是不動(dòng)項(xiàng)，但是，U內(nèi)(以下稱域內(nèi))不動(dòng)項(xiàng)與U外(以下稱域外)不動(dòng)項(xiàng)有本質(zhì)區(qū)別，U外不動(dòng)項(xiàng)相對(duì)于內(nèi)項(xiàng)，已經(jīng)發(fā)生了“變異”。

③“域外不可判定命題”普遍存在。當(dāng)一個(gè)已知論域可被分割成正集合、反集合和不動(dòng)項(xiàng)集合3部分時(shí)，表明這個(gè)不動(dòng)項(xiàng)已被人類認(rèn)知，包含在論域中，是“域內(nèi)不動(dòng)項(xiàng)”。對(duì)含有域內(nèi)不動(dòng)項(xiàng)的論域可用經(jīng)典邏輯描述，由于命題的二值性，不動(dòng)項(xiàng)的邏輯意義被完全掩蓋。但“域外不動(dòng)項(xiàng)”已經(jīng)超出了經(jīng)典邏輯的約束范圍，如果把經(jīng)典命題的約束范圍自覺不自覺地推廣到“域外不動(dòng)項(xiàng)”上，就會(huì)出現(xiàn)“域外不可判定命題”。

④“悖論”普遍存在。把在“域外不動(dòng)項(xiàng)”上出現(xiàn)的“域外不可判定命題”自覺不自覺地拉回到域內(nèi)，用經(jīng)典邏輯去解讀，就出現(xiàn)了“悖論”，其實(shí)這些“悖論”并不威脅經(jīng)典邏輯在域內(nèi)的正常使用。

⑤消除這一類“悖論”的基本方法就是還“悖論”以“域外不動(dòng)項(xiàng)”和“域外不可判定命題”的本色，通過主動(dòng)接納這個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象、認(rèn)識(shí)其基本性質(zhì)、擴(kuò)大研究的論域和建立新的數(shù)學(xué)理論，完全可以包容這個(gè)“域外不動(dòng)項(xiàng)”為新的“域內(nèi)不動(dòng)項(xiàng)”。在這個(gè)新的數(shù)學(xué)理論中，老的“悖論”自然會(huì)消失。但是如果沒有開放的眼光，新的“悖論”仍然隨時(shí)有可能再現(xiàn)。

⑥在存在未知的“域外不動(dòng)項(xiàng)”的情況下，盲目地使用“反證法”是一個(gè)危險(xiǎn)的舉動(dòng)，它會(huì)產(chǎn)生許多片面甚至錯(cuò)誤的結(jié)論，數(shù)學(xué)界在這方面應(yīng)該認(rèn)真地反思，一味地維護(hù)自己祖先的“尊嚴(yán)”是不明智的。

3 《張文》的重大貢獻(xiàn)

1897年福爾蒂揭示了集合論中的第1個(gè)悖論，以后康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。1902年羅素又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)悖論。羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖，引起數(shù)學(xué)家高度重視，一個(gè)多世紀(jì)以來，人們提出了形形色色的解悖方案，推動(dòng)了數(shù)學(xué)和邏輯的發(fā)展，具有一定的積極作用。但是，到目前為止悖論的存在規(guī)律和內(nèi)在機(jī)制仍然沒有搞清?！稄埼摹穼?duì)U外不動(dòng)項(xiàng)的發(fā)現(xiàn)，把長(zhǎng)久不解的各種“數(shù)學(xué)悖論”，“G?del不可判定命題”，“Cantor的對(duì)角線方法證明”完全統(tǒng)一起來，它們具有共同的數(shù)學(xué)形式，是完全等價(jià)的，任何一個(gè)集合上都可以構(gòu)造一個(gè)“悖論”出來，“悖論”的內(nèi)在規(guī)律基本上搞清楚了?！稄埼摹返闹卮筘暙I(xiàn)可用以下實(shí)例說明。

3.1 否定了“G?del不完全定理”的證明

1931年G?del證明“包含自然數(shù)的形式系統(tǒng)是不完全的”，這就是著名的G?del不完全定理，被認(rèn)為是20世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域劃時(shí)代的貢獻(xiàn)，譽(yù)為“數(shù)學(xué)和邏輯發(fā)展史中的里程碑”。它已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)、邏輯、語言、人工智能、自然科學(xué)、思維科學(xué)和認(rèn)識(shí)論的乃至人文科學(xué)的各個(gè)角落?！癎?del不完全定理”一直被主流學(xué)派奉為金科玉律，享有無比崇高的榮譽(yù)?！稄埼摹纷C明“G?del不可判定命題”是自然數(shù)系統(tǒng)中的域外不動(dòng)項(xiàng)，進(jìn)而得到“一般遞歸集合中也存在類似的不可判定命題(不動(dòng)項(xiàng))”，G?del不可判定命題(不動(dòng)項(xiàng))并不影響系統(tǒng)的完全性，“G?del不完全定理”的證明是不成立的。由于傳統(tǒng)思維的局限性，G?del發(fā)現(xiàn)了域外不動(dòng)項(xiàng)，但是他沒有認(rèn)識(shí)到，誤以為證明了“不完全定理”。這如同15世紀(jì)哥倫布發(fā)現(xiàn)了美洲新大陸，但是，他誤以為是到了印度，G?del犯了同樣的錯(cuò)誤。

3.2 否定了“Cantor定理”的證明

1873年，Cantor用一一對(duì)應(yīng)的方法定義了可數(shù)集合與不可數(shù)集合，用“對(duì)角線方法”證明了無窮集合不能與它的冪集合建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，自然數(shù)集的冪集合是不可數(shù)的，實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。這些理論已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)具體領(lǐng)域?！稄埼摹纷C明Cantor用“對(duì)角線方法”構(gòu)造的項(xiàng)都是域外不動(dòng)項(xiàng)，與“悖論”、“域外不可判定命題”在形式上都是一樣的，是一個(gè)域外“變異”項(xiàng)。因此，Cantor的證明是不成立的。

3.3 否定了“Turing停機(jī)問題不可判定”的證明

Turing 證明“停機(jī)問題不可判定”，這個(gè)定理是傳統(tǒng)《可計(jì)算理論》的一個(gè)重要定理，《張文》證明這個(gè)定理的證明也是對(duì)角線方法，構(gòu)造的項(xiàng)都是域外不動(dòng)項(xiàng)，與“G?del不完全定理”、“Cantor實(shí)數(shù)不可數(shù)”在形式上證明都是一樣的，“Turing停機(jī)問題不可判定” 證明是錯(cuò)誤的。不可判定的“Turing機(jī)”是一個(gè)域外“變異”項(xiàng)。

自從“G?del不完全定理”，“Cantor的對(duì)角線證明法”的提出，國(guó)際國(guó)內(nèi)都提出了不少質(zhì)疑意見，但是，他們的觀點(diǎn)是零碎的，沒有把問題搞清晰，說透徹，因此沒有被主流學(xué)派接受。邏輯思維中域外不動(dòng)項(xiàng)的發(fā)現(xiàn)，“G?del不完全定理”，“Cantor的對(duì)角線證明法”存在的問題已清晰地展現(xiàn)在人們的面前。我相信，隨著時(shí)間的發(fā)展和認(rèn)識(shí)的深入，《張文》的價(jià)值將越來越顯著。

3.4 S型超協(xié)調(diào)邏輯改變了我們的邏輯思維方式

主要表現(xiàn)在：

1)反證法有適用范圍：不動(dòng)項(xiàng)上出現(xiàn)的“矛盾”不能作為“反證法”在已定義集合上的推理依據(jù)，它從反面帶來了傳統(tǒng)理論中的一些深刻的邏輯錯(cuò)誤。不動(dòng)點(diǎn)的存在是廣泛的，只要有自指代，就會(huì)存在不動(dòng)點(diǎn)，在這個(gè)基礎(chǔ)上盲目使用“反證法”，必然忽略“域外不動(dòng)項(xiàng)”的存在，得出片面的結(jié)論。所以，不僅“G?del不完全定理”的證明是錯(cuò)誤的，類似或者以“G?del不完全定理”為基礎(chǔ)的一些眾多定理、理論，如“圖靈機(jī)的停機(jī)問題”、“遞歸集合可判定問題，”等，都必須重新審查，這將涉及哲學(xué)、數(shù)理邏輯、計(jì)算機(jī)、函數(shù)論、測(cè)度論等以“Cantor對(duì)角線證明方法”為基礎(chǔ)的眾多科學(xué)領(lǐng)域。

2)悖論無需排除：形形色色排除悖論的努力都是徒勞的，只要有“自指代”，就可能產(chǎn)生悖論。命題邏輯系統(tǒng)L，謂詞演算系統(tǒng)K，只要使用“自指代”，同樣會(huì)有悖論，集合論ZF系統(tǒng)中也沒有禁止“自指代”，ZF系統(tǒng)根本防止不了悖論，同樣會(huì)產(chǎn)生悖論。

“不動(dòng)項(xiàng)定理”表明，以往為排除悖論的種種努力都是錯(cuò)誤的。悖論不需要排除，解釋清晰后的“悖論”，不但無害，反而有益。無害是因?yàn)?，悖論是U外項(xiàng)命題，不會(huì)對(duì)原有的集合U上的演算產(chǎn)生破壞；有益是因?yàn)?，悖論命題是U外的一種未定義命題，可能是U外的一種新知。

針對(duì)某一“域外不動(dòng)項(xiàng)”的出現(xiàn)，研究其科學(xué)的構(gòu)造性，有可能導(dǎo)致一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的發(fā)現(xiàn)。如果xp存在，可以看成x=f(x)在U外有解；如果xp不存在，可以看成x=f(x)在U外無解或者沒有構(gòu)造。Cantor對(duì)角線法構(gòu)造的“無窮集合的冪集合之外的不動(dòng)項(xiàng)”，“自然數(shù)集合的冪集合之外的不動(dòng)項(xiàng)”，“實(shí)數(shù)集合之外存在的不動(dòng)項(xiàng)”是否存在？都具有科學(xué)的構(gòu)造性，能夠?qū)е乱粋€(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的發(fā)現(xiàn)，這給科學(xué)發(fā)現(xiàn)指明了一種探求方向。

3)辯證邏輯已經(jīng)成嚴(yán)格意義上的邏輯：在S型超協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)中，命題演算系統(tǒng)與謂詞演算系統(tǒng)，在正集合或反集合中都仍然有效，稱為正邏輯系統(tǒng)和反邏輯系統(tǒng)，它們簡(jiǎn)單、整齊、對(duì)稱，經(jīng)典邏輯公理全部有效，只有一條“正反集合對(duì)偶變換公理”,把兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的正、反集合聯(lián)系起來。當(dāng)正、反集合之間出現(xiàn)不動(dòng)項(xiàng)x0時(shí)，就表現(xiàn)為悖論P(yáng)(x0)?┓P(x0)，或者不可判定命題。所以，S型超協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)在正集合中是經(jīng)典邏輯，在反集合中也是經(jīng)典邏輯，只是在正反集合之間表現(xiàn)出辯證邏輯的特性。單獨(dú)從一個(gè)集合看，正集真命題在反集中為假，正集假命題在反集中為真，這如同歐氏幾何與非歐幾何之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正、反集合具有嚴(yán)格形式對(duì)稱關(guān)系，在中間形成正反均衡的不動(dòng)項(xiàng)，這與非合作博弈論——納什均衡點(diǎn)在邏輯上殊途同歸。自然界，數(shù)學(xué)，物理等領(lǐng)域中美麗的對(duì)稱形式在S型超協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)思維表現(xiàn)出來。S型超協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)使以往的自然語言的辯證邏輯已經(jīng)數(shù)學(xué)化，可以看成數(shù)理辯證邏輯，辯證邏輯將成為嚴(yán)格意義上的邏輯。

總之，域外不動(dòng)項(xiàng)的發(fā)現(xiàn)是令人震驚的，它讓世人清楚看到，原來現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論中竟然隱藏了如此嚴(yán)重的問題群。隨著人們認(rèn)識(shí)的深入，《張文》的影響將與日俱增，它將影響以反證法思維方

式的眾多科學(xué)領(lǐng)域?？茖W(xué)史上從來沒有出現(xiàn)過像“哥德爾定理”、“康托爾定理”、“圖靈定理”等如此眾多的錯(cuò)誤，綜合運(yùn)用數(shù)理辯證邏輯和數(shù)理形式邏輯清理和重建這些理論，將是一場(chǎng)新的科學(xué)革命。

毋庸置疑，Cantor，G?del， Turing等一代偉人曾經(jīng)在集合論、數(shù)理邏輯、計(jì)算機(jī)及哲學(xué)領(lǐng)域取得了劃時(shí)代的成就，但他們畢竟是人不是神，出現(xiàn)這樣的認(rèn)識(shí)局限性可以理解。人類對(duì)客觀規(guī)律的認(rèn)識(shí)過程是一個(gè)不斷逼近的過程，永遠(yuǎn)沒有終點(diǎn)。

近一個(gè)世紀(jì)以來，“G?del不完全定理” “Cantor不可數(shù)定理”“ Turing機(jī)不可判定定理”像一道鎖鏈，束縛人們的思維，束縛了數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)理論的發(fā)展?！癈antor的不可數(shù)理論” 像黑暗中的幽靈一樣，把人的思維帶人一個(gè)神秘的、不可知的世界?！稄埼摹穼②s走這個(gè)幽靈，數(shù)學(xué)將迎來一次重大解放。