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    容積Rauch-Tung-Striebel平滑器

    2014-02-01 08:48:07楊峻巍
    電訊技術(shù) 2014年11期
    關(guān)鍵詞:概率密度函數(shù)高斯分布概率密度

    楊峻巍

    (中國(guó)西南電子技術(shù)研究所,成都 610036)

    1 引 言

    在系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)理論中,根據(jù)狀態(tài)向量與觀測(cè)向量在時(shí)間上存在的不同對(duì)應(yīng)關(guān)系,人們往往將其歸納為三類估計(jì)問題,即狀態(tài)的預(yù)測(cè)、濾波和平滑[1],其中最為經(jīng)典的狀態(tài)估計(jì)理論為1960年卡爾曼所提出的卡爾曼(Kalman)濾波理論,現(xiàn)已在各種工程中得到了廣泛應(yīng)用。然而標(biāo)準(zhǔn)Kalman理論也有它自身的不足,其要求系統(tǒng)有必須滿足以下3個(gè)約束條件,即系統(tǒng)模型精確已知、系統(tǒng)的過程噪聲和觀測(cè)噪聲為方差已知的白噪聲序列以及系統(tǒng)必須為線性隨機(jī)系統(tǒng)。針對(duì)系統(tǒng)模型的不確定性,人們提出了各種自適應(yīng)濾波算法,如強(qiáng)跟蹤濾波算法、魯棒濾波算法以及基于噪聲估計(jì)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法等。

    與此同時(shí),由于在工程實(shí)踐中,實(shí)際系統(tǒng)總是存在不同程度的非線性,如飛機(jī)和艦船的慣導(dǎo)系統(tǒng)、火箭的制導(dǎo)與控制系統(tǒng)、目標(biāo)跟蹤以及衛(wèi)星軌道/姿態(tài)的估計(jì)系統(tǒng)等都屬于非線性濾波問題[2-5]。對(duì)于上述系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì),若采用線性Kalman濾波對(duì)其進(jìn)行濾波估計(jì),則必將導(dǎo)致濾波的發(fā)散。為此,一些學(xué)者提出了擴(kuò)展Kalman濾波(Extended Kalman Filter,EKF),該濾波算法的基本思想是將非線性系統(tǒng)線性化,然后應(yīng)用Kalman濾波技術(shù)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì),其優(yōu)點(diǎn)是:計(jì)算量小,且能夠很好地滿足弱非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì);其不足是:需計(jì)算Jacobi矩陣,對(duì)于維數(shù)較高的系統(tǒng)其計(jì)算量較大,對(duì)于某些系統(tǒng)甚至無法求取Jacobi矩陣;此外,對(duì)于強(qiáng)非線性系統(tǒng),該濾波算法收斂速度較慢,甚至發(fā)散。針對(duì)EKF的上述不足,一些學(xué)者基于近似非線性函數(shù)的概率密度分布比近似非線性函數(shù)更容易的思想,提出的Sigma點(diǎn)卡爾曼濾波算法,其中包括Julier和Uhlman提出的無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)以及Norgaard和Ito提出的中心差分卡爾曼濾波(Central Differernce Kalman Filter,CDKF)[6-8]。

    隨著非線性濾波算法研究的不斷深入,2009年Simon Haykin提出了一種新的非線性濾波算法,即容積卡爾曼濾波(Cubature Kalman Filter,CKF),相比于Sigma點(diǎn)卡爾曼濾波算法,該濾波算法不僅計(jì)算量相對(duì)較小,且對(duì)于維數(shù)較高的強(qiáng)非線性系統(tǒng),其濾波性能更優(yōu)[9-11]。

    目前針對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的研究,更多的是傾向于濾波算法的研究,而對(duì)于狀態(tài)平滑的問題研究甚少。眾所周知,狀態(tài)平滑由于其利用了更多的觀測(cè)信息而使得其比濾波算法具有更精確的狀態(tài)估計(jì)效果,因此在現(xiàn)實(shí)工程實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用,如導(dǎo)彈發(fā)射初始速度的估計(jì)、衛(wèi)星軌道重構(gòu)以及雷達(dá)目標(biāo)跟蹤等等[12-14]。

    為此,本文基于非線性系統(tǒng)最優(yōu)平滑算法建立了容積Rauch-Tung-Striebel平滑器。首先,詳細(xì)推導(dǎo)了基于概率密度分布形式的非線性系統(tǒng)最優(yōu)平滑算法,并給出了基于Rauch-Tung-Striebel理論的最優(yōu)平滑迭代算法;然后將其與容積卡爾曼濾波理論相結(jié)合建立了容積Rauch-Tung-Striebel平滑器;最后對(duì)其可行性及有效性進(jìn)行了仿真實(shí)例證明。

    2 問題描述

    不失一般性,考慮如下的非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型:

    (1)

    其中:xk∈Rn,yk∈Rm分別為系統(tǒng)狀態(tài)向量與量測(cè)向量;wk-1,vk分別為系統(tǒng)噪聲和量測(cè)噪聲,它們是相互獨(dú)立的高斯白噪聲,且分別滿足wk-1~N(0,Qk),vk-1~N(0,Rk);初始狀態(tài)x0與wk-1,vk互不相關(guān),且滿足x0~N(m0,P0);fk-1(·),hk(·)分別表示非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與量測(cè)函數(shù)。

    基于貝葉斯估計(jì)理論框架下的非線性系統(tǒng)平滑器,其本質(zhì)目的就是利用量測(cè)值y1:T={y1,y2,…,yT}獲取平滑分布p(xk|y1:T)的最優(yōu)或次優(yōu)近似,且其分布近似滿足高斯分布,即

    (2)

    3 非線性系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu)平滑算法

    3.1 非線性系統(tǒng)最優(yōu)濾波算法

    在貝葉斯?fàn)顟B(tài)估計(jì)理論框架下,由式(1)表示的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型,也可表示為如下的所示的概率密度分布形式,即

    (3)

    其中,p(xk|xk-1)表示系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度,p(yk|xk)表示量測(cè)值的似然概率密度。

    基于上述系統(tǒng)概率密度模型,其最優(yōu)濾波迭代算法可表示為時(shí)間更新和量測(cè)更新兩個(gè)基本步驟。

    (1)時(shí)間更新

    (4)

    (2)量測(cè)更新

    p(xk|y1:k)=Cp(yk|xk)p(xk|y1:k-1)

    (5)

    其中,C為歸一化因子,其具體表達(dá)式如下所示:

    (6)

    3.2 非線性系統(tǒng)最優(yōu)平滑算法

    根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知,上述非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的最優(yōu)平滑算法,可寫為如下兩種形式,且兩者理論上相互等價(jià)。

    形式1 兩濾波平滑算法

    該平滑算法可表示為如下的概率密度分布函數(shù):

    p(xk|y1:T)∝p(xk|y1:k)p(yk+1:T|xk)

    (7)

    其中,右邊第一項(xiàng)可通過最優(yōu)濾波算法進(jìn)行實(shí)現(xiàn),第二項(xiàng)則可用一反向?yàn)V波算法來實(shí)現(xiàn)。

    形式2 前向-后向平滑算法

    該平滑算法可表示為如下的概率密度分布函數(shù):

    p(xk|y1:T)=p(xk|y1:k)×

    (8)

    其中,p(xk|y1:k)表示當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)的濾波概率密度分布,p(xk+1|y1:k)表示k+1時(shí)刻狀態(tài)的預(yù)測(cè)概率密度分布。

    3.3 非線性系統(tǒng)RTS平滑算法

    為了建立非線性系統(tǒng)RTS平滑算法,將式(8)分解為以下三個(gè)步驟:

    步驟1:建立y1:k條件下xk與xk+1的聯(lián)合概率密度函數(shù):

    p(xk,xk+1|y1:k)=p(xk+1|xk)p(xk|y1:k)

    (9)

    其中,p(xk|y1:k)表示當(dāng)前時(shí)刻的濾波概率密度分布;

    步驟2:計(jì)算xk+1和y1:k條件下xk的概率密度函數(shù):

    (10)

    其中

    (11)

    由于系統(tǒng)狀態(tài)空間模型具有馬爾科夫特性,因此有p(xk|xk+1,y1:T)=p(xk|xk+1,y1:k),則可得

    (12)

    步驟3:計(jì)算y1:T條件下xk與xk+1的聯(lián)合概率密度函數(shù):

    p(xk,xk+1|y1:T)=p(xk|xk+1,y1:T)p(xk+1|y1:T)

    (13)

    其中,p(xk+1|y1:T)表示下一時(shí)刻的平滑分布。因此在xk+1邊緣化條件分布下,xk的平滑概率密度函數(shù)可表示為

    (14)

    3.4 非線性系統(tǒng)RTS平滑算法概率密度函數(shù)近似

    假設(shè)1 狀態(tài)濾波的概率密度函數(shù)服從高斯分布,即

    p(xk|y1:k)≈N(xk|mk,Pk)

    (15)

    假設(shè)2k+1時(shí)刻狀態(tài)平滑的概率密度函數(shù)服從高斯分布,即

    (16)

    根據(jù)上述兩個(gè)基本假設(shè)對(duì)3.3小節(jié)推導(dǎo)的非線性系統(tǒng)最優(yōu)RTS平滑算法進(jìn)行概率密度函數(shù)近似。

    (1)對(duì)式(9)中的xk、xk+1聯(lián)合分布進(jìn)行高斯近似,則可得

    (17)

    (18)

    (2)根據(jù)高斯分布準(zhǔn)則及式(17),則式(12)也近似服從高斯分布,即

    (19)

    其中:

    (20)

    (21)

    (22)

    (3)根據(jù)假設(shè)2,則式(13)近似服從高斯分布,即

    (23)

    其中:

    (24)

    (25)

    則可得k時(shí)刻狀態(tài)平滑服從高斯分布,即

    (26)

    其中:

    (27)

    (28)

    4 容積RTS平滑算法

    4.1 CKF基本原理

    CKF的基本思想是,基于高斯域貝葉斯?fàn)顟B(tài)估計(jì)理論框架,將非線性濾波歸結(jié)為“非線性函數(shù)×高斯概率密度”的積分問題,即

    (29)

    其中,x表示待估系統(tǒng)狀態(tài)向量,f(x)表示求積非線性函數(shù),Rn表示積分區(qū)間。

    針對(duì)形如式(29)的積分問題,CKF濾波算法采用3自由度Spherical-Radial求容積規(guī)則,采用2n個(gè)等權(quán)值的容積點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)非線性逼近,即

    (30)

    (31)

    4.2 CKF迭代算法

    針對(duì)形如式(1)的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型,利用4.1小節(jié)所述的CKF基本原理,即可推導(dǎo)出CKF的迭代濾波算法,其包括時(shí)間更新和量測(cè)更新兩個(gè)基本步驟。

    (1)時(shí)間更新

    (32)

    (33)

    (34)

    (35)

    (36)

    (2)量測(cè)更新

    (37)

    (38)

    Yi,k|k-1=H(Xi,k|k-1)

    (39)

    (40)

    (41)

    (42)

    (43)

    (44)

    (45)

    4.3 容積CTS平滑算法

    將上述非線性系統(tǒng)RTS平滑算法與標(biāo)準(zhǔn)CKF濾波算法進(jìn)行有機(jī)結(jié)合,即可得容積RTS平滑算法的遞推迭代算法,其具體過程包括四個(gè)步驟。

    (1)建立容積點(diǎn)

    (46)

    其中

    (47)

    (2)通過系統(tǒng)狀態(tài)模型傳播容積點(diǎn)

    (48)

    (3)計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)的預(yù)測(cè)值、預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣及互協(xié)方差矩陣

    (49)

    (50)

    (4)通過系統(tǒng)狀態(tài)模型傳播容積點(diǎn)

    (51)

    (52)

    (53)

    5 仿真實(shí)例

    為了驗(yàn)證容積Rauch-Tung-Striebel平滑器的有效性,下邊通過一典型非線性系統(tǒng)模型對(duì)其進(jìn)行仿真分析,該系統(tǒng)模型為純方位目標(biāo)跟蹤模型,其狀態(tài)方程為

    (54)

    (55)

    其中q表示噪聲譜密度,這里假設(shè)q=0.1。

    其量測(cè)模型為

    (56)

    圖1 運(yùn)動(dòng)目標(biāo)真實(shí)軌跡Fig.1 The real trajectory of the moving object

    同時(shí)取狀態(tài)估計(jì)的初始值為

    分別采用EKF、UKF、CKF及相應(yīng)的RTS平滑算法對(duì)其進(jìn)行仿真驗(yàn)證,圖2~5分別表示采用標(biāo)準(zhǔn)CKF濾波算法與RTS-CKS平滑算法對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)4個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的實(shí)時(shí)估計(jì),由仿真結(jié)果可以直觀地看出,RTS-CKS平滑算法對(duì)目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)精度明顯優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)CKF濾波算法,這充分驗(yàn)證了RTS-CKS平滑算法相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的CKF濾波算法在提高狀態(tài)估計(jì)精度和解決非線性系統(tǒng)狀態(tài)平滑問題等方面的有效性和可行性。

    圖3 運(yùn)動(dòng)目標(biāo)在y方向上的位置估計(jì)Fig.3 The y-direction position estimation of the moving object

    圖4 運(yùn)動(dòng)目標(biāo)在x方向上的速度估計(jì)Fig.4 The x-direction velocity estimation of the moving object

    圖5 運(yùn)動(dòng)目標(biāo)在y方向上的速度估計(jì)Fig.5 The y-direction position estimation of the moving object

    圖6~8分別表示EKF、UKF、CKF及相應(yīng)的RTS平滑算法對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的軌跡跟蹤,不難看出,各種非線性濾波算法的RTS平滑算法對(duì)軌跡的跟蹤精度明顯優(yōu)于對(duì)應(yīng)的非線性濾波算法本身。

    圖6 EKF及RTS-EKS運(yùn)動(dòng)目標(biāo)軌跡跟蹤Fig.6 The trajectory tracking of the moving object with EKF and RTS-EKS

    圖7 UKF及RTS-UKS運(yùn)動(dòng)目標(biāo)軌跡跟蹤Fig.7 The trajectory tracking of the moving object with UKF and RTS-UKS

    圖8 CKF及RTS-CKS運(yùn)動(dòng)目標(biāo)軌跡跟蹤Fig.8 The trajectory tracking of the moving object with CKF and RTS-CKS

    各種濾波算法及相應(yīng)的平滑算法估計(jì)均方誤差如表1所示。

    表1 各種濾波算法及相應(yīng)的平滑算法估計(jì)誤差Table 1 The estimation error of the filtering methods and corresponding smoothing algorithm

    由表1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出,UKF的目標(biāo)跟蹤精度優(yōu)于EKF ,而CKF的目標(biāo)跟蹤精度優(yōu)于UKF,且RTS-CKS的目標(biāo)軌跡跟蹤精度也是最佳的,這充分說明了RTS-CKS相比于其他兩種平滑算法在解決非線性狀態(tài)的平滑估計(jì)問題時(shí)的優(yōu)越性。

    6 結(jié) 論

    本文基于貝葉斯估計(jì)理論框架推導(dǎo)了非線性系統(tǒng)RTS平滑算法,并將其與容積卡爾曼濾波相結(jié)合,建立了容積Rauch-Tung-Striebel平滑器;相比于RTS-EKS,該平滑算法無需計(jì)算復(fù)雜的雅克比矩陣,且沒有進(jìn)行一階線性化,因此狀態(tài)估計(jì)精度較高;相比于RTS-UKS,該平滑算法無需預(yù)先設(shè)定一些相關(guān)參數(shù),且在系統(tǒng)維數(shù)較高的條件下,估計(jì)精度稍高,此外采樣點(diǎn)也略有減少,因而其計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)有所減小。仿真結(jié)果表明,所建立的RTS-CKS平滑算法為解決非線性系統(tǒng)的狀態(tài)平滑問題提供一種切實(shí)可行的方案,且相比于EKF、UKF等非線性濾波算法及其平滑算法在估計(jì)精度上具有一定的優(yōu)越性。為了提高其工程實(shí)用性,今后需對(duì)其計(jì)算復(fù)雜度開展進(jìn)一步的研究。

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