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    在解題中體驗成功 在解題中提升思維

    2014-02-01 02:33:10江蘇省海安縣曲塘中學附屬初級中學劉鳳蘭
    中學數(shù)學雜志 2014年2期
    關鍵詞:證法直角三角形中點

    ☉江蘇省海安縣曲塘中學附屬初級中學 劉鳳蘭

    在解題中體驗成功 在解題中提升思維

    ☉江蘇省海安縣曲塘中學附屬初級中學 劉鳳蘭

    題目 (2013年江西卷)某數(shù)學活動小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質時,經歷了如下過程.

    (1)操作發(fā)現(xiàn).

    (2)數(shù)學思考.

    在任意△ABC中,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側作等腰直角三角形,如圖2所示,M是BC的中點,連接MD和ME,則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關系?請給出證明過程.

    (3)類比探索.

    在任意△ABC中,仍分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的內側作等腰直角三角形,如圖3所示,M是BC的中點,連接MD和ME,試判斷△MED的形狀.

    解析:(1)①②③④.

    (2)MD=ME,MD⊥ME,

    (Ⅰ)MD=ME.

    如圖4,分別取AB,AC的中點為F,G,連接DF,MF,MG,EG.

    所以MF=EG.

    同理可證DF=MG.

    因為MF∥AC,

    所以∠MFA+∠BAC=180°.

    同理可得∠MGA+∠BAC=180°

    所以∠MFA=∠MGA.

    又因為EG⊥AC,所以∠EGA=90°.

    同理可得∠DFA=90°,所以∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA,即∠DFM=∠MEG.

    又MF=EG,DF=MG,

    所以△DFM≌△MGE(SAS),所以MD=ME.

    (Ⅱ)MD⊥ME.

    證法一:因為MG∥AB,所以∠MFA+∠FMG=180°.

    又因為△DFM≌△MGE,所以∠MEG=∠MDF.

    所以∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°,其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°,所以∠DME=90°.即MD⊥ME.

    證法二:如圖5,MD與AB交于點H.

    因為AB∥MG,所以∠DHA=∠DMG.又因為∠DHA=∠FDM+∠DFH,即∠DHA=∠FDM+90°.

    因為∠DMG=∠DME+∠GME,所以∠DME=90°,即MD⊥ME.

    (3)等腰直角三解形.

    評注:此題以課題學習為藍本,循序漸進、層層深入,形成問題串,考查學生合理猜想的數(shù)學感覺與構建數(shù)學模型,以及數(shù)學歸納、抽象、概括等能力.(1)由圖形的對稱性易知①、②、③都正確,④∠DAB=∠DMB=45°也正確;(2)直覺告訴我們MD和ME是垂直且相等的關系,一般由全等證線段相等,受圖1中△DFM≌△MGE的啟發(fā),應想到取中點構造全等來證MD=ME,證MD⊥ME就是要證∠DME=90°,由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF,△DFM中三個角相加為180°,∠FMG可看成三個角的和,通過變形計算可得∠DME=90°.(3)只要結論,不要過程,由(2)合情推理知為等腰直角三解形.解決問題的關鍵是取中點,利用“三角形中位線”、“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”創(chuàng)造條件,構造全等三角形,對能力要求很高.

    解完此題,筆者不僅聯(lián)想到數(shù)學大師波利亞在《怎樣解題》一書中所寫:“沒有任何一個題目是徹底完成了的,總還會有些事情可以做.在經過充分的研究和洞察以后,我們可以將任何解題方法加以改進,而且無論如何,我們總可以深化我們對答案的理解.”你能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎?反思此題的圖形特征與解法,果有所獲,愿與大家分享.

    1.拓展

    再以BC為斜邊,向△ABC的外側作等腰直角三角形,會有什么結果?

    例1 如圖6,分別以銳角△ABC的邊AB、BC和AC為斜邊,向△ABC的外側作等腰Rt△ADB、等腰Rt△EBC和等腰Rt△FAC,求證:AE=DF,AE⊥DF.

    證明:取AC的中點P,連接DP、EP.

    仿上例可證PD=PE,PD⊥PE.

    因為△AFC是等腰直角三角形,所以PF=PA.

    因為∠DPF=∠APD+∠APF,∠APE=∠APD+∠DPE,又因為∠APF=∠DPE=90°,所以∠DPF=∠APE.

    所以△DPF≌△EPA(SAS),所以AE=DF.

    由△DPF≌△EPA,得∠DFP=∠EAP.

    因為∠DFP+∠AFD+∠FAP=90°,

    所以∠EAP+∠AFD+∠FAP=90°.

    所以∠AHF=90°,即AE⊥DF.

    2.推廣

    將等腰直角三角形改為有一對角相等的直角三角形,會有什么結果?

    例2 如圖7,以△ABC的邊AB和AC為斜邊,向△ABC的外側作Rt△ABD和Rt△ACE,且使∠ABD=∠ACE=α,M是BC的中點,求證:DM=ME,∠DME=2α.

    證明:分別取AB,AC的中點P,Q,連接DP,MP,MQ,EQ.

    所以∠DME=∠DMP+∠PMQ+∠QME=∠MEQ+∠MQC+∠QME=180°-∠CQE.

    而∠CQE=180°-∠QCE-∠QEC=180°-2α,所以∠DME=2α.

    3.變式

    將例2的圖形結構作些變化,又會有什么結果?

    例3 如圖8,在△ABC中,D為BC的中點,點E、F分別在邊AC、AB上,并且∠ABE=∠ACF=30°,BE、CF交于點O.過點O作OP⊥AC,OQ⊥AB,P、Q為垂足.

    求證:△DPQ為等邊三角形.

    此題是例2的變式,僅僅是題目的表述作了些變化,證明方法相同,本文不再贅述,有興趣的讀者可參照圖8中的輔助線加以證明.

    4.結語

    本文的四道題既有一定的難度又有密切的關系,帶來的教學、解題啟示是:學習幾何一定要善于積累,解完題后對所做的題盡可能全方位、多角度反思,從變化中抓住不變因素,從復雜的背景中識別圖形特征,從紛繁的干擾中弄清問題的本質,進行歸納、分類,找出規(guī)律做好“積墊”,才能胸有成竹、遇題不慌,游刃有余地破解幾何難題,在解題中體驗成功,在解題中提升思維.FH

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