巧設(shè)妙引，銜接無痕

☉四川省南充市嘉陵區(qū)教育科學研究室 蒲大勇

巧設(shè)妙引，銜接無痕

☉四川省南充市嘉陵區(qū)教育科學研究室 蒲大勇

從算式到方程是數(shù)學的進步，“算術(shù)”與“方程”的有效銜接教學在于：知識的銜接要找準“發(fā)生點”，思想的銜接要找準“融合點”，方法的銜接要找準“更新點”，能力的銜接要找準“提升點”.

一、課堂實錄

以下是人教版新課標數(shù)學教材七年級《從算式到方程》引例教學片段.

多媒體出示問題.

問題：一輛客車和一輛卡車同時從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70 km/h，卡車的行駛速度是60 km/h，客車比卡車早1 h經(jīng)過B地.A、B兩地間的路程是多少？

師：請同學們用算術(shù)方法解決這個問題，辦法越多越好.

學生有的在本子上畫圖，有的在討論，有的在冥思苦想……，3分鐘后，學生開始發(fā)言.

生1：我的式子為：70÷（70-60）×60.

師：你是如何想的？

生1：70表示客車比卡車多的路程，（70-60）表示客車每小時比卡車快的，70÷（70-60）表示卡車從A地到B地需要的時間，乘以60就是全程.

師：我聽明白你的意思了：你以卡車列式，70表示客車與卡車的路程差，（70-60）表示兩車的速度差，先算出卡車需要的時間.對吧？

生1表示贊同.

生2（迫不及待）：不準確，應(yīng)該是（70×1）÷（70-60）× 60，因為客車比卡車早1 h，不乘以1，它的意義不對.

師：很好，你能說一說理由嗎？

生2：因為乘以1表示卡車比客車遲1小時的路程，如果遲2小時就乘以2，遲3小時就乘以3，依此類推.

生1（不服氣地）：1與數(shù)相乘時可以省略，我把1給省略了.當然乘上也可以.

師：還有不同的解法嗎？

生3：以客車列式：（60×1）÷（70-60）×70.其中，（60×1）表示客車與卡車的路程差，（70-60）表示兩車的速度差，（60×1）÷（70-60）表示客車從A地到B地需要的時間，乘以70就是全程.

師：太棒了！（掌聲）還有與這幾位同學解法不同的嗎？

生5：以時間來算，但用的是比，因為客車速度是70 km/h，卡車速度是60 km/h，它們速度比就是7∶6，則時間比就應(yīng)為6∶7，說明卡車用時比客車多一份，而客車比卡車早1 h，那么這1份時間就為1 h，所以卡車行完全程需要7 h，這樣就容易求路程.

師：很好.同學們是否理解？

生表示理解.

師：還有與前幾位同學不同的解法嗎？（稍停片刻，環(huán)視教室沒有學生發(fā)言）看來，算術(shù)方法就是這幾種.在小學我們除了用算術(shù)方法，還有什么辦法？

生（異口同聲）：列方程！

師：那好，大家發(fā)揮聰明才智，用列方程來解這個問題，看誰的辦法多.

生獨立思考，3分鐘后開始發(fā)言.

師：分析得透徹、精彩?。ㄕ坡暎┻€有不同的嗎？

生11：設(shè)卡車從A地到B地需要x h，則客車需要（x-1）h，方程為：70（x-1）=60x.［70（x-1）］為客車行駛的路程，（60x）為卡車行駛的路程，這兩個路程都表示從A地到B地的距離，所以相等.先求出卡車從A地到B地的時間，再求出路程.

生12：我設(shè)的未知數(shù)與生11相同，只不過方程為：70x-60x=70.（60x）表示卡車從A地到B地行駛的路程，（70x）表示相同時間客車行駛的路程，（70x-60x）表示當卡車到B地時，客車多行駛的路程，即70 km.

生13：我也是這樣設(shè)的，方程為：70x-70=60x.先算出客車在卡車行完從A地到B地時的路程，再減去多的70km，就得到卡車行駛的路程.

生14：設(shè)客車從A地到B地需要x h，則卡車需要（x+ 1）h，方程為：70x=60（x+1）.（70x）為客車行駛的路程，即A地到B地的距離，［60（x+1）］表示卡車在比客車多1 h后行駛的路程，也是A地到B地的距離.這里先求出客車從A地到B地的時間.

生15：我也是設(shè)客車從A地到B地需要x h，方程為：70x-60x=60.（70x-60x）表示客車行完全程時比卡車多的路程，恰好多60 km.

生16：我設(shè)的未知數(shù)與生14和生15一樣，方程為：70x-60=60x.（70x-60）表示當客車行完全程時卡車還有60 km未行駛，相減就得到卡車此時行駛的路程.

師：大家都很聰明！用了這么多種方法來解.下面比較這兩種解法.

師板書如下.

算術(shù)方法：（1）（70×1）÷（70-60）×60.

師：通過比較，你對算術(shù)方法和列方程解決問題有什么認識？

生17：我認為算術(shù)方法比方程好理解一些.

不少學生贊同這個觀點.

師：說得有道理.大家為什么會有這種感覺呢？我想主要是由于同學們在小學階段解決問題都習慣于用算術(shù)方法.事實上，算術(shù)方法是一種逆向思維，方程方法是正向思維.大家習慣了逆向思維，隨著知識的增加，你會慢慢發(fā)現(xiàn)有的問題逆向思維解決很困難，有時根本不能解決，這時需要正向思維.還有嗎？

生18：我發(fā)現(xiàn)算式里只含有已知數(shù)，而方程中既含有已知數(shù)，又含有用字母表示的未知數(shù).

師：這個認識很重要.這就是算式與方程最大的區(qū)別.正因為這樣，你們看列算式辦法多還是列方程方法多？

生19：方程比算術(shù)方法多.上面例子列算式就只有三四種，而列方程可以有10多種.

師：對呀，方程比算術(shù)更豐富、更富有內(nèi)涵.所以，教材上給出了：從算式到方程是數(shù)學的進步.其實，列方程一般比列算術(shù)式更直接、更自然、更寬松，方程也為我們解決許多問題帶來方便.這也是我們?yōu)槭裁匆獙W習方程的緣由，希望大家拿出干勁，力爭學習好本章內(nèi)容，大家一起回答：好不好？

生（群情激昂）：好！

……

二、教后隨想

這個引例教學圍繞“從算式到方程是數(shù)學的進步”展開，它既蘊含了教材編寫者的意圖，也是本節(jié)內(nèi)容教學的起點，通過對這個引例的教學，讓學生初步充分理解“為什么學習方程”，這需做兩件事，第一件事是既要讓學生認識到小學階段學習的“算術(shù)方法”的可行性，又要認識到“算術(shù)方法”的局限性；第二件事是要讓學生初步領(lǐng)會學習“方程”的必要性和優(yōu)越性.從“算式”、“方程”和“算式到方程”三個維度組織教學，在這個過程中實現(xiàn)“算術(shù)”與“方程”的有效銜接，具體表現(xiàn)在以下幾點.

1.知識的銜接，找準“發(fā)生點”

數(shù)學知識的銜接是銜接教學的重點.在小學階段，學生主要學習了用算術(shù)方法解決問題，同時也學習了列簡易方程解決問題，學生對方程的概念并不陌生.這里知識的銜接應(yīng)是對“從算式到方程是數(shù)學的進步”的體會、理解上，而“發(fā)生點”就是怎樣從算式到方程，讓學生根據(jù)利用算術(shù)方法分析問題的數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗，找出相關(guān)量，分析數(shù)量關(guān)系，從中找出合適的相等關(guān)系，并將其用數(shù)學符號語言正確表達，即建立問題的方程模型.上述教學，學生通過充分列算式和列方程，當算式只有三四個，方程可以達到10個以上時，學生產(chǎn)生了認知沖突——為什么會這樣呢？在教師的引導下，學生慢慢明白了：算式與方程表現(xiàn)了算術(shù)與代數(shù)解決問題的兩種不同方法，算術(shù)式表示一個計算過程，但其受到“其中只含已知數(shù)而不能有未知數(shù)”的限制；而方程可以用未知數(shù)與已知數(shù)一起表示相關(guān)的量和它們之間的某種相等關(guān)系，并且未知數(shù)可以與已知數(shù)一樣參與運算，這打破了未知數(shù)只有先求出后才能使用的限制.

2.思想的銜接，找準“融合點”

數(shù)學思想的銜接是銜接教學的核心.算術(shù)方法主要有“數(shù)形結(jié)合”、“對應(yīng)”、“合情推理”等數(shù)學思想.方程不僅包含上述數(shù)學思想，而且更重要的是蘊含了“符號化”、“模型化”思想.數(shù)學思想的銜接關(guān)鍵在找準“融合點”——算術(shù)和代數(shù)，作為最基礎(chǔ)而又最古老的兩個分支學科，有著不可分割的親緣關(guān)系.算術(shù)是代數(shù)產(chǎn)生的基礎(chǔ)，代數(shù)是算術(shù)發(fā)展到一定階段的必然產(chǎn)物.在算術(shù)中，未知數(shù)是不允許作為運算的對象的，它們沒有參加運算的權(quán)利.在代數(shù)中，列出的方程——用等號將相互等價的兩件事情聯(lián)立，等號的左右兩邊等價.這時的已知數(shù)和未知數(shù)是有機的統(tǒng)一體，未知數(shù)和已知數(shù)有著同等的權(quán)利，即未知數(shù)在這里也變成了運算的對象，它們不再是消極、被動地靜等在等式的一邊，而是和已知數(shù)一樣，可以接收各種運算指令，并可以依照某種法則從等式的一邊移到另一邊.上述教學正是注重了算術(shù)與方程思想的融合，發(fā)展了學生的數(shù)學思想.

3.方法的銜接，找準“更新點”

數(shù)學方法的銜接是銜接教學的關(guān)鍵.從數(shù)學方法上看，算術(shù)式表示一個計算過程，是一種算法.方程不僅是一種數(shù)學思想，更是一種數(shù)學方法，還是一種數(shù)學模型，這也是代數(shù)方程與算術(shù)式的區(qū)別之一.從算式到方程的“更新點”在何處？從課程標準看，在小學階段中已經(jīng)有關(guān)于簡單方程的內(nèi)容，學生對方程已有初步的認識，會用方程表示簡單情境中的數(shù)量關(guān)系，會解簡單的方程，即對于方程的認識已經(jīng)歷了入門階段，具備了一定的基礎(chǔ).而用方程的方法解決問題有兩點特別重要，一個是抽象、概括，另一個是做事情的運籌和邏輯的條理.學生通過學習列方程，再通過算術(shù)式與方程的比較，會認識到方程是比算術(shù)式子更有力的數(shù)學工具，未知數(shù)可以列入方程.這樣的突破使得列方程一般比列算術(shù)式更直接、更自然、更寬松，從而給解決問題帶來更大的便利.這體現(xiàn)了從算術(shù)方法到代數(shù)方法的進步.

4.能力的銜接，找準“提升點”

數(shù)學能力的銜接是銜接教學的難點.從思維角度看，算術(shù)方法是一種逆向思維，方程是一種正向思維.由于學生在小學階段解決問題習慣于用算術(shù)方法，能用算術(shù)方法解決問題是一種能力,而學生把逆向思維轉(zhuǎn)換成正向思維，這需要一種更強的能力.這是因為七年級學生面臨經(jīng)驗型形象思維向理論型抽象思維的轉(zhuǎn)化，即從算術(shù)思維過渡到關(guān)系性思維，“由因?qū)Ч乃阈g(shù)方法”到“執(zhí)果索因、假設(shè)問題已解決、引進未知數(shù)的代數(shù)方法”的轉(zhuǎn)變，并開始運用假設(shè)進行有預見性、形式化的思維.與此同時，列方程時分析實際問題中所包含的已知量與未知量之間的關(guān)系，找出可作為列方程依據(jù)的相等關(guān)系，并將語言敘述的數(shù)量關(guān)系用代數(shù)式表示出來，這些都是能力的“提升點”.上述教學中，教師讓學生充分“暴露”建構(gòu)方程模型的過程，通過分析、抽象、比較等數(shù)學活動，培養(yǎng)、提升學生的思維能力.

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2.黨宇飛，殷希群.初高中數(shù)學銜接講座［J］.中學數(shù)學（下），2008（10）.

3.徐駿.也談初中數(shù)學課堂教學中實施新舊知識銜接的做法［J］.中學數(shù)學雜志，2012（4）.

4.馬兆年.淺談中小學數(shù)學教學的銜接［J］.昭通師專學報，1996（3）.

5.王雪嬌.中小學數(shù)學教科書內(nèi)容銜接研究［D］.沈陽：沈陽師范大學，2013.