“變”中“不變” 感受數(shù)學之靈韻

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學 蔡衛(wèi)兵

“變”中“不變” 感受數(shù)學之靈韻

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學 蔡衛(wèi)兵

習題教學是數(shù)學教學過程中不可缺少的環(huán)節(jié)，是向?qū)W生展示應(yīng)用基礎(chǔ)知識解決問題的窗口，是向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法、傳播解題技巧和技能的途徑.因此數(shù)學課中習題教學應(yīng)該是其中的主旋律，演奏好這條主旋律更需要我們?nèi)リP(guān)注習題教學過程的設(shè)計，俯視問題——用活問題，仰視學生——以生為本，為學生搭建數(shù)學學習的典型框架，讓學生主動地參與深層次的思維活動，形成基本的數(shù)學觀念，努力構(gòu)建充滿靈動、富有韻味的課堂.但實際教學中，為了顯示教師的“聰明”而讓學生覺得解決問題的方法就像從魔術(shù)師的手里突然出現(xiàn)小白兔一樣神奇，忽略了探究過程中的輔助、轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié)的設(shè)計，從而出現(xiàn)“聽而不懂”、“懂而不會”.所以探究之路上要慢走，等一下學生，尊重學生的自我認識，尊重學生獨特的感受和經(jīng)驗，讓學生獲得知識和情感的雙重體驗，讓學生收獲研究數(shù)學問題的思想和方法，讓學生在數(shù)學課堂教學中享受思維，讓我們的數(shù)學課堂靈動而不失韻味.本文就一道常見習題的教學案例及其體會與大家分享.

一、教學過程簡錄

1.霧里看花——似懂非懂

題目：如圖1，⊙O為△ABC的外接圓，已知CA=CB，∠ACB=90°，點D為半圓上任意一點（D與C在AB的兩側(cè)），連接AD、BD、CD，請?zhí)骄緼D、 BD、CD三者之間的關(guān)系，并說明理由.

師：請大家仔細審題.

學生審題片刻.

師：通過審題，你能獲得哪些信息？

生：等腰直角△ABC，AB為⊙O的直徑，還有∠ADC=∠BDC=45°.

師：還有補充嗎？

生：點D為半圓上任意一點.

師：根據(jù)這一信息，你如何探尋AD、BD、CD三者之間可能存在的關(guān)系呢？

生：割補的數(shù)學方法和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

師：對于線段之間的和差關(guān)系問題，常?？捎酶钛a轉(zhuǎn)化的思想方法，我們還可以如何添輔助線呢？

生：思路6：圖還是上面幾種，比如圖2，延長DA至點E，使得AE=BD，連接CE.

在△CAE和△CDB中，CA=CB，∠CAE=∠CBD，AE=BD，則△CAE≌△CBD.

兩式相加，得AD·BC+BD·AC=AB·CD.

師：真的非常厲害，你們又是怎么想出來的呢？這里的學習又體現(xiàn)了什么思想方法呢？

生：其實跟原題的解題思路差不多，也是在AD、BD或CD邊上割補，原題抓住45°角構(gòu)造等腰直角三角形，而構(gòu)造的等腰直角三角形就是構(gòu)造與△ABC相似的三角形，在這里的幾種方法也都是構(gòu)造與△ABC相似的三角形，只不過用了類比的數(shù)學方法和從特殊到一般的數(shù)學思想.

師：思路很清楚，想法很深刻，總結(jié)很精彩，活學活用，那么能否用文字語言來歸納一下這個神奇的關(guān)系呢？

生：圓內(nèi)接四邊形的兩條對角線的積等于兩組對邊之積的和.

師：這是一個著名的幾何定理——托勒密定理，非常佩服，其實同學們善于思考，勤于鉆研，也能像數(shù)學家一樣發(fā)現(xiàn)以你的名字命名的數(shù)學定理.

二、啟發(fā)與反思

1.重視學生的體驗，使課堂靈動而不失韻味

幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要目標，數(shù)學活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，在數(shù)學活動中逐步積累.習題教學是知識熟練運用能力的積累，是交匯型知識綜合運用能力的積累，是思想方法滲透經(jīng)驗的積累，是解決相似問題經(jīng)驗的積累.本案例中，從一道常見習題的解法探究到托勒密定理的驚奇發(fā)現(xiàn)與多種證法，確是“千淘萬漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金”.無論點D位置的變化中AD、BD、CD三者之間的關(guān)系的不變，還是截長補短的變化中數(shù)學思想方法的不變，無論已知條件的變化中探索AD、BD、CD三者之間的關(guān)系的不變，還是一般情形的圖形變化中構(gòu)造與△ABC相似的三角形的方法的不變，學生都有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.這樣不僅能積累數(shù)學解題經(jīng)驗，而且可獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗，將活動經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為能力，最終獲得具有個性特征的感性認識、情感體驗、數(shù)學意識、數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)，這樣的課堂才是靈動而不失韻味的.

2.關(guān)注理性思維，數(shù)學課堂教學中的靈韻之筆

數(shù)學是思維的科學、思維的體操，數(shù)學的學習必須要通過思維去把握，去理解數(shù)學的實質(zhì).一題多解培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性，一題多變培養(yǎng)學生思維的靈活性，理性思維的形成是以數(shù)學題目為載體，在題目的解決過程中形成的.本案例中，由點D為半圓上任意一點的信息的獲取，自然想到特殊值法尋找AD、BD、CD三者之間的關(guān)系，由45°角和倍的特殊關(guān)系，自然想到等腰直角三角形的構(gòu)造，線段之間的和差關(guān)系問題，常常考慮用割補轉(zhuǎn)化的思想方法解決，從特殊條件到一般情形，自然想到類比構(gòu)造與△ABC相似的三角形，呈現(xiàn)過程符合學生心理的認知規(guī)律，是合乎邏輯的思維方法，學生始終主動地參與深層次的思維活動以及數(shù)學地、合乎邏輯地、有條理地思考問題與解決問題的習慣與能力，它有明確的思維方向，有充分的思維依據(jù)，它既有發(fā)散，又有收縮，必將培養(yǎng)學生的運動思維，促進學生思維發(fā)展的連續(xù)性、遞進性、發(fā)展性.在教學中，教師的講解必須要貼近學生思維的發(fā)展水平，要遵循學生思維的發(fā)展規(guī)律，可使學生的認知思維過程自然流暢、水到渠成，從而能提高學生的思維能力，優(yōu)化學生的思維結(jié)構(gòu).從AD、BD、CD三者之間的關(guān)系的探究到AD·BC+BD·AC=AB·CD六邊之間有著神奇而簡約的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，“形變而神不變”，經(jīng)歷美妙的數(shù)學思維的歷程，呈現(xiàn)出數(shù)學之奇與數(shù)學之美，充分品味探究的魅力，體驗數(shù)學學習的樂趣，這是數(shù)學課堂獨特的“靈韻”之美.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.張建良.從“看出”向“證出”提升——一道復(fù)習題教學的啟示［J］.中學數(shù)學（下），2013（10）.

3.成亮.“動中求定”感受數(shù)學之靈韻［J］.上海教育科研，2013（1）.

4.孫麟.淺談初中生數(shù)學學習經(jīng)驗積累的探索［J］.中學數(shù)學（下），2013（10）.WG

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