一種基于LCR發(fā)散振蕩響應(yīng)的控制系統(tǒng)頻率特性辨識方法

萬文軍， 李軍

(廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，廣東廣州510080)

0 引言

現(xiàn)代控制工程實(shí)踐中，除了各種各樣的控制策略與控制算法等方面研究［1－17］之外，漸漸越發(fā)需要綜合各學(xué)科的知識。其中，控制工程實(shí)踐過程大量包括了信號處理方面的知識［18］。

實(shí)際的工業(yè)過程信號普遍受到各種噪聲干擾的影響。從系統(tǒng)信號頻率譜辨識的角度看，一個好辨識方法必須具有良好的抗噪聲干擾特性。

本文首次提出了一種基于LCR(inductance capacitance resistance)發(fā)散振蕩響應(yīng)的控制系統(tǒng)頻率特性辨識方法。在論述本文提出的方法之前，首先對頻率特性辨識系統(tǒng)、噪聲干擾與功率噪信比、激勵信號的特性等方面的內(nèi)容進(jìn)行一些簡述。

1 頻率特性辨識系統(tǒng)

典型的頻率特性辨識系統(tǒng)如圖1 所示。

圖1 仿真試驗(yàn)方框圖Fig.1 Simulation test block diagram

圖1 所示，在激勵信號作用下，通過2個頻率譜辨識單元分別獲得對象輸入端信號和輸出端信號的頻率譜，之后在頻域中比較輸出和輸入頻率譜的幅值和相位，即可獲得對象的頻率特性。為了考察頻率特性辨識系統(tǒng)的抗干擾特性，在對象輸出端加入噪聲干擾信號。

2 噪聲干擾與功率噪信比

在仿真實(shí)驗(yàn)上，通常選用白噪聲進(jìn)行加擾，用功率噪信比表述激勵信號或系統(tǒng)受到干擾的程度。

理想白噪聲是指均值為零和所有頻率具有相同能量的隨機(jī)噪聲。但實(shí)際上理想的白噪聲并不存在，當(dāng)一個隨機(jī)噪聲的頻譜寬度遠(yuǎn)大于它所作用系統(tǒng)的帶寬，并且在該帶寬中其功頻譜密度pn(ω)基本上可以作為常數(shù)來考慮，就可以把它近似為白噪聲。

2.1 激勵信號的時域功率噪信比

對一定的時窗長度T，激勵信號功率表述為:激勵信號過程值s(t)平方在該時窗長度T的積分或方差，有

噪聲干擾功率表述為:噪聲干擾過程值n(t)平方在該時窗長度T的積分或方差，有

則功率噪信比表述為

式中，NSR稱為激勵信號時域的功率噪信比。

2.2 激勵信號的頻域功率噪信比

激勵信號在頻域功率噪信比表述為

式中:NSR(ω)為激勵信號在頻域的功率噪信比;NP(ω)為噪聲干擾在頻域的功頻譜;SP(ω)為激勵信號在頻域的功頻譜。無特殊說明，本文噪信比均指功率噪信比。

3 激勵信號的特性

對系統(tǒng)施加激勵信號是系統(tǒng)特性辨識的基本前提條件，激勵信號的頻率譜特性對系統(tǒng)頻率特性辨識的結(jié)果起到了至關(guān)重要的作用。

3.1 二進(jìn)制隨機(jī)序列脈沖信號的特性

二進(jìn)制隨機(jī)序列脈沖信號是以白噪聲為基礎(chǔ)產(chǎn)生的，是常用的辨識激勵信號。然而，該激勵信號在較高的噪聲干擾環(huán)境下的激勵和辨識特性并不理想。

3.2 階躍激勵信號的特性

階躍信號是過程控制工程實(shí)踐中應(yīng)用最廣泛的一種試驗(yàn)激勵信號，單位階躍信號在頻域的頻率譜分布特性［18］表達(dá)為

式中:δ(ω)為單位沖激函數(shù);j為虛數(shù)單位;ω為角頻率，單位rad/s。

在白噪聲干擾環(huán)境下，階躍激勵信號主要存在的缺點(diǎn)分析如下:

對一定的時窗長度T，白噪聲頻域功頻譜在數(shù)量上等于白噪聲在該時窗長度T的方差或白噪聲頻域功頻譜密度乘以該時窗長度T，表達(dá)為

式中，白噪聲頻域功頻譜密度pn(ω)為常數(shù)。階躍激勵信號頻域功頻譜為

式中，U為階躍幅值，階躍激勵信號頻域功頻譜與時間沒有關(guān)系。階躍激勵信號頻域噪信比為

式(8)可見，在白噪聲干擾環(huán)境下，階躍激勵信號在頻域的噪信比正比時間變化，這即是階躍激勵信號主要缺點(diǎn)之一，其具體特性將在4.2節(jié)詳細(xì)論述。

本文無特殊說明，干擾或噪聲干擾均指白噪聲干擾。

3.3 雙階躍信號

在階躍信號基礎(chǔ)上，采用雙階躍信號，可使信號在頻域的幅頻譜幅值有較大幅度的提高。

2個階躍信號的合成簡稱為雙階躍信號，首先輸出一個單位幅值為1的負(fù)向階躍信號，經(jīng)過一定延時τ后，再輸出一個單位幅值為2的正向階躍信號，其頻域表達(dá)為

當(dāng)取延時τ=31.4 s，則雙階躍信號的過程輸出、頻域幅頻譜分布特性如圖2所示。

圖2 雙階躍信號過程波形和幅頻譜分布特性示意圖Fig.2 Double step signal process waveform and amplitude spectrum distribution characteristic graph

由圖2可見，相對階躍信號，雙階躍信號在頻率0.1 rad/s的幅頻譜幅值增加了3倍。

3.4 持續(xù)雙階躍激勵

在環(huán)境干擾較大而激勵信號幅值受到限制無法提高時，為了提高辨識質(zhì)量，可采用持續(xù)雙階躍激勵。在每個雙階躍激勵時間段長度大于等于系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)定時間加負(fù)向階躍到正向階躍的延遲時間，本文給出的持續(xù)雙階躍激勵過程片段如圖3所示。

圖3 持續(xù)激勵信號示意圖Fig.3 Continued incentive signal graph

將多次雙階躍激勵的結(jié)果在時間上進(jìn)行離線狀態(tài)下的線性疊加?？梢宰C明，相對于單次雙階躍激勵，N次雙階躍激勵的效果可以將激勵信號在頻域的噪信比降低為1/N倍。

4 信號頻率譜辨識方法

4.1 一種點(diǎn)頻濾波器方法

李軍等［19－20］提出了一種用“點(diǎn)頻濾波器方法”獲取過程信號頻率譜分布特性的方法，該方法補(bǔ)充和完善了頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)方法。點(diǎn)頻濾波器核心思想是:采用頻率帶寬無限趨于零的無源LCR帶通濾波器，可得到點(diǎn)頻濾波特性。信號通過該濾波器后，只有頻率ω=ωo的信號才能通過濾波器，且其幅值不衰減，其他頻率ω≠ωo信號的幅值均衰減為0。

點(diǎn)頻濾波器方法具有良好的信號頻域分析特性，同時解決了傅式變換算法不能進(jìn)行信號過程分析的局限性。傅式變換將時間信號變換為各種正弦波信號的線性疊加，但無法對各種正弦波信號的時間過程進(jìn)行分析，這種信號過程分析也是很重要的。

在較高噪聲干擾環(huán)境下，點(diǎn)頻濾波器方法在頻域辨識特性仍然是不佳的。

4.2 基于LCR發(fā)散振蕩響應(yīng)的頻域辨識方法

發(fā)散振蕩仍然是以LCR帶通濾波器為基礎(chǔ)的，簡稱為LCR發(fā)散振蕩響應(yīng)。上文指出了階躍激勵信號的主要缺點(diǎn)，以采用點(diǎn)頻濾波器方法獲得的等幅頻率信號為例，如圖4所示。

圖4 階躍激勵信號噪信比特性示意圖Fig.4 Step representation excitation signal noise ratio characteristics letter characteristic graph

對于系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的頻率信號，因?yàn)轭l率信號的起始部分還包含了暫態(tài)分量，以一階慣性對象為例，如式(9)所示，因此只有等這些暫態(tài)分量基本衰減到零以后的頻率信號方可準(zhǔn)確的反映系統(tǒng)階躍響應(yīng)信號的頻率譜特性，但此時可能頻率信號的噪信比特性已經(jīng)相當(dāng)惡化，如圖4所示。

本文對暫態(tài)分量進(jìn)行一些分析，例如一階慣性對象1/(1+Ts)在單位幅值正弦波信號sin(ωt)激勵下的響應(yīng)特性為

LCR發(fā)散振蕩響應(yīng)可以顯著提高辨識質(zhì)量的內(nèi)在機(jī)理在于:在輸入階躍信號激勵作用下，如果使LCR帶通濾波器輸出頻率信號的幅值隨時間呈指數(shù)增強(qiáng)，則隨著輸出頻率信號幅值的不斷增強(qiáng)，輸入激勵信號的作用將會越來越弱。則輸出頻率信號的噪信比基本上由輸入激勵信號初期頻域的噪信比特性所決定，時間越靠前，輸入激勵信號頻域噪信比在幅值發(fā)散頻率信號中的加權(quán)也越大，反之加權(quán)越小且最終趨于零。幅值發(fā)散頻率信號的噪信比特性，如圖4所示。

典型的LCR帶通濾波器電路，如圖5所示。

圖5 LCR帶通濾波器Fig.5 LCR band-pass filter

圖5 中X(s)、Y(s)表示LCR電路輸入、輸出信號的Laplace形式，可以用下面的傳遞函數(shù)表述兩者之間的關(guān)系為

式中:R表示電阻，單位Ω;TI表示積分常數(shù)，單位s;TD表示微分常數(shù)，單位s;s表示復(fù)數(shù)頻率單位。

不失一般性，在圖 5中，令 TI=TD=TO，則式(11)轉(zhuǎn)換為

式(12)單位階躍響應(yīng)為

對式(13)進(jìn)行拉氏反變換得到

式中，ωo=1/To、為LCR帶通濾波器的中心頻率，當(dāng)R取值為正且趨于0，得到式(15)、即為點(diǎn)頻濾波器［19］。

式(15)表明，在階躍激勵下，點(diǎn)頻濾波器輸出為中心頻率ωo的等幅正弦波信號。

如果式(14)中，－2＜R＜0，則式(14)輸出正弦波信號的幅值隨時間呈指數(shù)增強(qiáng)，如圖6所示。但如果將式(14)乘以一個收斂指數(shù)函數(shù)，則得到

式(16)可見，輸出正弦波信號仍然是等幅的，如圖6所示。但也存在另一個問題，隨著時間的增加，式(14)輸出正弦波信號的幅值將趨于無窮大，絕對會造成物理設(shè)備計(jì)算出錯，主要是數(shù)值范圍的超限。因此在計(jì)算上加以限制，例如在輸出10個周期正弦波信號后就截止計(jì)算，也可以在計(jì)算時間上加以限制。

圖6 頻率信號輸出過程示意圖Fig.6 Frequency signal output process characteristic graph

5 仿真實(shí)驗(yàn)

大多數(shù)的過程對象具有類似低通濾波器的特性，對于圖1所示的頻率特性辨識系統(tǒng)，激勵信號通過對象傳遞后，在對象低通截止頻率之外的相對高頻率信號將會有較大幅度的衰減，特別是在較高強(qiáng)度的噪聲干擾環(huán)境下，這些相對高頻率信號的噪信比特性將顯著的惡化。

本文定義一個基本的實(shí)驗(yàn)指標(biāo):首先確定圖1中對象傳遞函數(shù)為1/(1+50 s);施加噪聲干擾功率為激勵信號功率的30%，即噪信比為3:10，對應(yīng)噪聲干擾的平均幅值為激勵信號平均幅值的55%;最高辨識頻率取對象低通截止頻率(0.02 rad/s)的3倍頻率0.06 rad/s;對象幅頻增益辨識基本誤差取±30%。

5.1 對象階躍響應(yīng)特性

圖1中對象在噪信比3:10的階躍響應(yīng)特性，如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)階躍響應(yīng)示意圖Fig.7 Step response of system characteristic graph

圖7可見，對象的階躍響應(yīng)信號受到了嚴(yán)重的噪聲干擾，仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境是比較苛刻的。

5.2 階躍激勵下用點(diǎn)頻濾波器方法進(jìn)行對象頻率特性辨識

在階躍激勵下，采用點(diǎn)頻濾波器方法得到的對象頻率特性幅頻增益辨識結(jié)果，如圖8所示。

圖8 幅頻特性仿真試驗(yàn)結(jié)果圖AFig.8 Diagram of amplitude-frequency relationship A

圖8 可見，頻率特性辨識結(jié)果基本是沒有意義的。

5.3 階躍激勵下用LCR發(fā)散振蕩辨識方法進(jìn)行對象頻率特性辨識

取LCR發(fā)散振蕩回路和收斂指數(shù)函數(shù)的R=－0.2 Ω，在階躍激勵下，采用LCR發(fā)散振蕩辨識方法得到的對象頻率特性幅頻增益辨識結(jié)果如圖9所示。

圖9 幅頻特性仿真試驗(yàn)結(jié)果圖BFig.9 Diagram of amplitude-frequency relationship B

圖9 可見，頻率特性辨識質(zhì)量相對圖8得到了較大幅度的改善，但仍然沒有達(dá)到基本實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的要求。

5.4 雙階躍激勵下用LCR發(fā)散振蕩辨識方法進(jìn)行對象頻率特性辨識

取LCR發(fā)散振蕩回路和收斂指數(shù)函數(shù)的R=－0.2 Ω，采用雙階躍激勵信號，負(fù)向階躍到正向階躍延時52 s，在雙階躍激勵下得到對象頻率特性辨識結(jié)果，如圖10所示。

圖10 幅頻特性仿真試驗(yàn)結(jié)果圖CFig.10 Diagram of amplitude-frequency relationship C

圖10 可見，雙階躍激勵下獲得的辨識特性相對理想，達(dá)到基本實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的要求。

5.5 雙階躍持續(xù)激勵下采用LCR發(fā)散振蕩辨識方法進(jìn)行對象頻率特性辨識

取LCR發(fā)散振蕩回路和收斂指數(shù)函數(shù)的R=－0.2 Ω，采用雙階躍持續(xù)激勵，負(fù)向階躍到正向階躍延時52 s，總時間長度1 800 s。將時間1 800 s分成6個300 s時間段看待，效果上相當(dāng)于進(jìn)行了6次雙階躍激勵。其激勵信號過程波形和得到的對象頻率特性辨識結(jié)果如圖11所示。

圖11 幅頻特性仿真試驗(yàn)結(jié)果圖DFig.11 Diagram of amplitude-frequency relationship D

圖11 可見，雙階躍持續(xù)激勵下獲得的辨識特性比較理想，激勵時間長度在工程實(shí)際中完全可以接受。

5.6 LCR發(fā)散振蕩辨識方法固有特性和使用方法

在未加入噪聲干擾前，LCR發(fā)散振蕩辨識方法得到的對象頻率特性與對象理論頻率特性相比存在一定的固有誤差如圖12所示:固有誤差與LCR回路電阻的絕對值呈正相關(guān)性，當(dāng)R=－0.125 Ω得到的固有誤差不大于－2.5%，當(dāng)R=－0.25 Ω得到的固有誤差不大于－5%，從工程角度看是完全可以接受的。

圖12 頻率特性誤差圖Fig.12 Frequency characteristic error chart

使用LCR發(fā)散振蕩辨識方法也有一定的要求，在每次激勵信號發(fā)出前，LCR發(fā)散振蕩器應(yīng)有1小段時間處于跟蹤輸入狀態(tài)，此時輸出狀態(tài)為0，在發(fā)出激勵信號時同步將LCR發(fā)散振蕩輸出轉(zhuǎn)換為辨識狀態(tài)。對于持續(xù)激勵，一般需將一段激勵和激勵響應(yīng)數(shù)據(jù)單獨(dú)分離出來并進(jìn)行時間延拓，最后將多次辨識結(jié)果進(jìn)行線性疊加。

總的看來，LCR發(fā)散振蕩辨識方法是目前出現(xiàn)的抗干擾性能較好的一種頻率譜辨識方法。

6 實(shí)際應(yīng)用

采用雙階躍信號和基于發(fā)散振蕩響應(yīng)的頻率譜辨識方法對一個實(shí)際過程控制系統(tǒng)的對象頻率特性進(jìn)行辨識。選擇某電廠鍋爐爐膛壓力控制系統(tǒng)進(jìn)行對象頻率特性的辨識，具體采用人工操作的方式先給定一個負(fù)向階躍－15 Pa、接著給定一個正向階躍30 Pa、之間的轉(zhuǎn)換時間τ=30 s，得到的過程響應(yīng)趨勢如圖13所示。

圖13 爐膛壓力控制系統(tǒng)在雙階躍激勵信號下閉環(huán)響應(yīng)過程趨勢圖Fig.13 Closed-loop response process trend graph of furnace pressure control system under the double step excitation signal

將試驗(yàn)獲得的實(shí)際過程數(shù)據(jù)(調(diào)節(jié)器輸出信號數(shù)據(jù)和過程信號數(shù)據(jù))進(jìn)行離線辨識。

根據(jù)干擾分析結(jié)果，該過程干擾頻率主要分布在0.06～0.16 rad/s區(qū)間，大體呈正態(tài)分布，相當(dāng)于對白噪聲進(jìn)行帶通濾波后的特性，在給定階躍幅值下的時域噪信比大約在1∶5。為了減小固有誤差分布，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)采用變電阻的方法，越靠近干擾中心頻率電阻絕對值越大，具體變化如表1所示。

表1 電阻與頻率的關(guān)系Table 1 Relationship between resistance and frequency

在分別采用點(diǎn)頻濾波器方法和LCR發(fā)散振蕩辨識方法，得到的該系統(tǒng)對象頻率特性幅頻增益辨識結(jié)果，如圖14所示。

圖14 爐膛壓力控制系統(tǒng)對象頻率特性幅頻增益離線辨識結(jié)果示意圖Fig.14 The object of furnace pressure control system frequency characteristic amplitude-frequency gain offline identification result schematic diagram

火電廠爐膛壓力控制系統(tǒng)普遍存在過程干擾較大的問題，分析圖13和圖14可看出，采用LCR發(fā)散振蕩辨識方法獲得的辨識結(jié)果比較理想，其辨識結(jié)果較好反映出了該系統(tǒng)對象頻率特性幅頻增益的特征。在頻率0.06 rad/s后，采用點(diǎn)頻濾波器方法所得的幅頻增益在2.2～3.0區(qū)間波動，采用本文方法獲得的頻率與增益關(guān)系曲線較為光滑下降。

7 結(jié)語

雙階躍激勵信號在頻域有較高的幅頻譜幅值特性，基于發(fā)散振蕩響應(yīng)的頻率譜辨識方法具有較好的抗干擾特性，兩者結(jié)合可以較大幅度的提高頻率特性的辨識質(zhì)量。將雙階躍激勵信號和基于發(fā)散振蕩響應(yīng)的頻率譜辨識方法投入到實(shí)際應(yīng)用中，取得了良好的辨識效果。這些方法將在頻域范圍的控制系統(tǒng)性能分析、頻率特性和參數(shù)模型辨識等方面有重要的應(yīng)用和參考價(jià)值。

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