可以自圓其說(shuō)

侯俊東

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)存在緊密的聯(lián)系和內(nèi)在的邏輯，因此數(shù)學(xué)教學(xué)也需要講求科學(xué)性和邏輯性，不能出現(xiàn)諸如“前后不一”的尷尬現(xiàn)象，必須“自圓其說(shuō)”。而對(duì)于個(gè)別教學(xué)內(nèi)容，由于一些老師對(duì)其不甚了解，又缺乏鉆研教材的意識(shí)，僅憑消極的教學(xué)態(tài)度，機(jī)械地套用一些現(xiàn)成的操作方法，結(jié)果出現(xiàn)了讓學(xué)生甚至老師感到疑惑的缺乏科學(xué)性的教學(xué)問(wèn)題，造成“讓學(xué)生感到前后不一”的教學(xué)尷尬。

一、案例：“情有獨(dú)衷”的尷尬

《一一間隔排列》是蘇教版四年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。從知識(shí)層面分析，一一間隔排列的物體有兩種排列方式：線形排列和封閉排列，而線形排列又包括兩端物體相同和兩端物體不同兩種類型，封閉排列也可以轉(zhuǎn)化為兩端物體不同的線形排列，所以教材主要以線形一一間隔排列為主，而且從兩端物體相同這種情況展開教學(xué)。從教學(xué)方法分析，根據(jù)學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律的一般過(guò)程，通常需要讓學(xué)生根據(jù)一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象抽象出數(shù)學(xué)模型，然后再根據(jù)數(shù)學(xué)模型去解決問(wèn)題。而這節(jié)課教學(xué)的尷尬之處往往就出在模型的建立上。

在某次教學(xué)展示活動(dòng)中，一位老師在幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，結(jié)合教材中主題圖呈現(xiàn)的三組物體（木樁和籬笆、兔子和蘑菇、夾子和手帕），先讓學(xué)生明確“像木樁、兔子和夾子這樣在兩端的物體叫兩端物體，像籬笆、蘑菇、手帕這樣在中間的物體叫中間物體”，發(fā)現(xiàn)“兩端物體相同時(shí)，兩端物體的數(shù)量-1=中間物體的數(shù)量，中間物體的數(shù)量+1=兩端物體的數(shù)量”。這樣教學(xué)本無(wú)可非議，可到了研究?jī)啥宋矬w相同時(shí)，教師讓學(xué)生思考“去掉一個(gè)兩端物體，兩端就相同了，為什么中間物體和兩端物體的個(gè)數(shù)相同”，學(xué)生各抒己見，都能說(shuō)出個(gè)大概，但有個(gè)學(xué)生答道：“去掉一個(gè)兩端物體，就沒有兩端物體了，兩端物體和中間物體就對(duì)應(yīng)了，它們的個(gè)數(shù)相同了?！闭f(shuō)者無(wú)心聽者有意！一句“就沒有兩端物體了”，學(xué)生的意思是少了多出來(lái)的那個(gè)兩端物體，但卻引起了不少老師的關(guān)注。在課后研討時(shí)，有人提出“去掉一個(gè)兩端物體，兩端物體就不同了，此時(shí)就不存在兩端物體和中間物體之說(shuō)”的置疑。

無(wú)獨(dú)有偶。近期在某校一次教研活動(dòng)中，可能沒有適宜公開教學(xué)的內(nèi)容，便又將四年級(jí)上冊(cè)的這一教學(xué)內(nèi)容提上來(lái)，用三年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行教學(xué)。整節(jié)課的大抵教學(xué)思路與上面的相仿，教師也提出了“為什么兩端物體和中間物體的個(gè)數(shù)相同”，學(xué)生的回答也是驚人的類似。課后我主動(dòng)跟執(zhí)教者交流：“你知道，一一間隔排列第二種情況也就是兩端不同時(shí)，還存在兩端物體和中間物體嗎？像你這樣說(shuō)，第一種情況中的中間物體也可以說(shuō)成是兩端物體了嗎？”交流在最后，執(zhí)教者雖然若有所悟，但卻意外地?cái)D出一句話：“很多教學(xué)都是這樣設(shè)計(jì)的！”

“這就奇怪了，明明不科學(xué)，難道大家都這樣教嗎？”我有點(diǎn)驚訝。帶著自己的疑惑，我翻閱了一些教學(xué)雜志，也在網(wǎng)絡(luò)中搜索了不少教學(xué)案例，結(jié)果發(fā)現(xiàn)老師們對(duì)這樣的說(shuō)法和教法還真是“情有獨(dú)衷”！所有的教學(xué)設(shè)計(jì)的主要環(huán)節(jié)和教學(xué)方式都一樣，連規(guī)律的總結(jié)都大致相同：“兩端物體的個(gè)數(shù)-1=中間物體的個(gè)數(shù)，中間物體的個(gè)數(shù)+1=兩端物體的個(gè)數(shù)”，區(qū)別在于有的說(shuō)是“兩端相同”和“兩端不同”，有的說(shuō)是“首尾相同”和“首尾不同”。但都沒有避免“中間物體”和“兩端物體”這兩個(gè)詞，所以可以預(yù)見，老師們?cè)诮虒W(xué)中難以說(shuō)清“什么是兩端？什么是兩端物體”等問(wèn)題，也就難以避免無(wú)法自圓其說(shuō)的教學(xué)尷尬。

二、思考：以合理彰顯科學(xué)

為什么老師們總喜歡用這些課本中原本沒有的術(shù)語(yǔ)來(lái)進(jìn)行教學(xué)呢？其實(shí)，原因是顯然的，就是為了方便總結(jié)一一間隔排列中兩種物體數(shù)量的特征，為了幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。姑且不論表述是否科學(xué)，“兩端相同，兩端物體的個(gè)數(shù)-1=中間物體的個(gè)數(shù)，中間物體的個(gè)數(shù)+1=兩端物體的個(gè)數(shù)；兩端不同，兩端物體和中間物體個(gè)數(shù)相同”，這些就是師生總結(jié)出來(lái)的用文字表述的數(shù)學(xué)模型。但是如何避免個(gè)中概念混淆和缺乏科學(xué)性的教學(xué)缺憾呢？個(gè)人以為，作為數(shù)學(xué)教師，我們不但要了解編排內(nèi)容，理解教材的編排意圖，還要提高善于鉆研教材和對(duì)創(chuàng)造性教學(xué)方式進(jìn)行必要審視與辨別的能力，選擇合理的教學(xué)方式和手段，讓學(xué)生構(gòu)建科學(xué)的知識(shí)體系。

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)字、字母以及其他符號(hào)來(lái)體現(xiàn)和描述現(xiàn)實(shí)原型的各種因素、形式以及數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，我們給學(xué)生提供豐富的教學(xué)資源，給學(xué)生創(chuàng)造運(yùn)用數(shù)字、字母、圖形等方式來(lái)感悟和表現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象或規(guī)律中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的機(jī)會(huì)，進(jìn)而通過(guò)數(shù)學(xué)化的方式讓學(xué)生深刻把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。在《一一間隔排列》的教學(xué)中，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型是必要的也是必須的。但是建立數(shù)學(xué)模型的方式是多樣的，不必如上面案例中所描述的鐘情于抽象的文字表述，也可以借助字母和圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，以“圖形或字母”來(lái)代替“文字”。例如明確什么是一一間隔排列，出示主題圖中的三組教學(xué)素材后，我們還可以補(bǔ)充兩組“兩端相同的一一間隔排列”的教學(xué)資源，讓學(xué)生觀察：“這種一一間隔排列有什么相同的地方？”有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)“排列中的物體是一個(gè)挨著一個(gè)的”，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)“這些物體是依次出現(xiàn)的”，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)“這些物體是確定的”，也有的會(huì)發(fā)現(xiàn) “這些排列第一個(gè)物體和最后一個(gè)物體相同”……引導(dǎo)學(xué)生感受：“像這樣的例子有很多，我們能否用一種數(shù)學(xué)的方式來(lái)表示呢？”繼而帶領(lǐng)學(xué)生用大寫字母A和B來(lái)替代這些數(shù)學(xué)現(xiàn)象中的具體的事物，抽象成“ABAB……ABA”并命名為“首尾相同”，再研究這種情況中A和B的個(gè)數(shù)關(guān)系“A的個(gè)數(shù)-1=B的個(gè)數(shù)，B的個(gè)數(shù)+1=A的個(gè)數(shù)”。在下面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生輕而易舉地用字母表示出“首尾不同”的類型“ABAB……AB”，得出“A和B的個(gè)數(shù)相同”。

用字母來(lái)替代上面的文字實(shí)施教學(xué)，首先，對(duì)于學(xué)生而言，與字母比較，文字更加抽象，所以這樣操作，可以避免文字過(guò)于抽象和空洞的缺陷，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的解決，用字母表示的一一間隔的兩種類型表象會(huì)深深印在學(xué)生頭腦里；其次，字母也是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的素材，讓學(xué)生從眾多一一間隔排列現(xiàn)象中抽象出“ABAB……ABA”和“ABAB……AB”兩種類型，也是幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，也是學(xué)生把握數(shù)學(xué)規(guī)律本質(zhì)的過(guò)程；第三，這樣的改變，避免了文字表述時(shí)不科學(xué)的地方，彌補(bǔ)了對(duì)文字表述概念時(shí)容易模糊、混淆的不足，學(xué)生的學(xué)習(xí)目更加清晰，教師的教學(xué)更加輕松。換言之，不必自圓其說(shuō)的教學(xué)方式達(dá)成了自圓其說(shuō)的教學(xué)要求。這般調(diào)整，可謂一舉多得。