二次函數(shù)的最值問題教學(xué)研究

丁杰良

如何開展習(xí)題課教學(xué)呢？筆者以“二次函數(shù)的最值問題”教學(xué)為例談點看法.

一、教學(xué)呈現(xiàn)

1.問題式導(dǎo)入

在教學(xué)中，筆者設(shè)置了一個問題導(dǎo)入：要求學(xué)生在草稿紙上嘗試著畫一組二次函數(shù)的圖象，并要求學(xué)生對自己畫的圖象進行解釋，分析其特點.

評析：通過這樣的導(dǎo)入形式，改變了傳統(tǒng)的習(xí)題課一上來就要求學(xué)生做題目的弊端，讓學(xué)生自主回顧和復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，很自然地切入到習(xí)題課的主題，當然學(xué)生作圖時有些還是存在困難的，在學(xué)生作圖的過程中，筆者積極巡視，發(fā)現(xiàn)問題并及時予以指導(dǎo).

2.巧妙選題

（1）小切口熱身

在該節(jié)課教學(xué)時，筆者選擇了較低難度的例題，讓學(xué)生首先熱身.

例1①函數(shù)f（x）=x2+2x+3的最小值為多少？（定義域為R）

②函數(shù)f（x）=x2+2x+3在區(qū)間[0，10]上的最小值和最大值分別為多少？

這兩個小問題，學(xué)生較容易解決，能夠很快熱身并融入課堂研究.

（2）精選范例深化研究

教學(xué)需要一定的梯度，不能總在簡單問題上徘徊，要循序漸進，精選范例推進認知深化.

例2求函數(shù)f（x）=x2-2x-3在區(qū)間[2，3]上的最小值.

學(xué)生完成該題后，再進行變式訓(xùn)練，推進思維向縱深發(fā)展.

變式：求f（x）=x2-ax-3在區(qū)間[2，3]上的最小值.

變式與例2相比有一個小小的變化，學(xué)生需要一定的思維力度.從學(xué)生的解題來看，學(xué)生容易得到f（x）=（x-a2）2-a24-3.這時，學(xué)生思維出現(xiàn)了斷層.為了幫助學(xué)生實現(xiàn)思維的銜接，筆者追加一個問題.

追問：函數(shù)f（x）=（x-a2）2-a4-3的最小值是多少？是不是（-a24-3）？

通過追問，學(xué)生的思維有了落腳點.學(xué)生獨立思考，函數(shù)圖象自然得到.解決時，函數(shù)定義域為[2，3]，對稱軸為x=a2，只需要討論對稱軸x=a2與[2，3]的位置關(guān)系.

變式訓(xùn)練完成后，要求學(xué)生反思，讓學(xué)生在反思解題過程中實現(xiàn)知識、方法的內(nèi)化，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.這樣做符合新課程理念，這一過程是學(xué)生的自主行為，是教師的講授無法替代的.

3.學(xué)生自主編題

學(xué)生自主編題需要一定的引導(dǎo).從上述例題出發(fā)，筆者做如下提示：上述例題中函數(shù)的對稱軸和區(qū)間都是確定的，而變式的區(qū)間定、對稱軸動，根據(jù)上述情境，自己嘗試著改編成一道題目.從學(xué)生的自主編題情況來看，學(xué)生的思維具有發(fā)散性，然后要求學(xué)生進行交流匯報，促使學(xué)生有效地掌握知識和方法.學(xué)生自主編題的過程是應(yīng)用知識和思考方法的過程，也是主動參與學(xué)習(xí)的重要特征.

二、幾點反思

1.習(xí)題課的設(shè)計思想應(yīng)遵循新課程理念

習(xí)題課是學(xué)生應(yīng)用課堂所學(xué)知識進行問題解決的課型，當問題無法解決時，學(xué)生會有緊張的感覺，特別是高考模式下，升學(xué)的壓力不容忽視，因此我們的選題，必須考慮到學(xué)生的具體實際，問題的設(shè)置要有利于調(diào)節(jié)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，同時又要客觀地暴露出學(xué)生解題過程和方法上的問題或閃光點，教學(xué)過程中要增加師生互動，通過課堂巡視、相互交流等形式，有效地鞏固數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法，促進三維教學(xué)目標的達成.

2.確保學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用

盡管教師必須講解，但其目的主要是給學(xué)生作示范，帶動學(xué)生思考，所以教師要做好導(dǎo)演，把學(xué)生的積極性充分調(diào)動起來，使學(xué)生進入角色，保證學(xué)生的主體地位，教師切忌喧賓奪主.同時，教師要面向全體學(xué)生組織教學(xué)，特別要更多地關(guān)心學(xué)困生的學(xué)習(xí)，及時給予幫助和指導(dǎo).

3.注重例題資源的充分挖掘

習(xí)題課更要講究課堂教學(xué)效率，同時兼顧學(xué)生的可接受性.要注意變式處理，同時留足學(xué)生思維的時間和空間，通過變式訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生在互動中樹立生成性意識，此外，對于一道習(xí)題有時又存在多種解決問題的方法，此時注重解法的挖掘也有利于學(xué)生思維能力的提升.

總之，我們的習(xí)題教學(xué)，要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的嚴謹、抽象，切身體驗到了高中數(shù)學(xué)的趣與美，借此提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和固化學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

如何開展習(xí)題課教學(xué)呢？筆者以“二次函數(shù)的最值問題”教學(xué)為例談點看法.

一、教學(xué)呈現(xiàn)

1.問題式導(dǎo)入

在教學(xué)中，筆者設(shè)置了一個問題導(dǎo)入：要求學(xué)生在草稿紙上嘗試著畫一組二次函數(shù)的圖象，并要求學(xué)生對自己畫的圖象進行解釋，分析其特點.

評析：通過這樣的導(dǎo)入形式，改變了傳統(tǒng)的習(xí)題課一上來就要求學(xué)生做題目的弊端，讓學(xué)生自主回顧和復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，很自然地切入到習(xí)題課的主題，當然學(xué)生作圖時有些還是存在困難的，在學(xué)生作圖的過程中，筆者積極巡視，發(fā)現(xiàn)問題并及時予以指導(dǎo).

2.巧妙選題

（1）小切口熱身

在該節(jié)課教學(xué)時，筆者選擇了較低難度的例題，讓學(xué)生首先熱身.

例1①函數(shù)f（x）=x2+2x+3的最小值為多少？（定義域為R）

②函數(shù)f（x）=x2+2x+3在區(qū)間[0，10]上的最小值和最大值分別為多少？

這兩個小問題，學(xué)生較容易解決，能夠很快熱身并融入課堂研究.

（2）精選范例深化研究

教學(xué)需要一定的梯度，不能總在簡單問題上徘徊，要循序漸進，精選范例推進認知深化.

例2求函數(shù)f（x）=x2-2x-3在區(qū)間[2，3]上的最小值.

學(xué)生完成該題后，再進行變式訓(xùn)練，推進思維向縱深發(fā)展.

變式：求f（x）=x2-ax-3在區(qū)間[2，3]上的最小值.

變式與例2相比有一個小小的變化，學(xué)生需要一定的思維力度.從學(xué)生的解題來看，學(xué)生容易得到f（x）=（x-a2）2-a24-3.這時，學(xué)生思維出現(xiàn)了斷層.為了幫助學(xué)生實現(xiàn)思維的銜接，筆者追加一個問題.

追問：函數(shù)f（x）=（x-a2）2-a4-3的最小值是多少？是不是（-a24-3）？

通過追問，學(xué)生的思維有了落腳點.學(xué)生獨立思考，函數(shù)圖象自然得到.解決時，函數(shù)定義域為[2，3]，對稱軸為x=a2，只需要討論對稱軸x=a2與[2，3]的位置關(guān)系.

變式訓(xùn)練完成后，要求學(xué)生反思，讓學(xué)生在反思解題過程中實現(xiàn)知識、方法的內(nèi)化，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.這樣做符合新課程理念，這一過程是學(xué)生的自主行為，是教師的講授無法替代的.

3.學(xué)生自主編題

學(xué)生自主編題需要一定的引導(dǎo).從上述例題出發(fā)，筆者做如下提示：上述例題中函數(shù)的對稱軸和區(qū)間都是確定的，而變式的區(qū)間定、對稱軸動，根據(jù)上述情境，自己嘗試著改編成一道題目.從學(xué)生的自主編題情況來看，學(xué)生的思維具有發(fā)散性，然后要求學(xué)生進行交流匯報，促使學(xué)生有效地掌握知識和方法.學(xué)生自主編題的過程是應(yīng)用知識和思考方法的過程，也是主動參與學(xué)習(xí)的重要特征.

二、幾點反思

1.習(xí)題課的設(shè)計思想應(yīng)遵循新課程理念

習(xí)題課是學(xué)生應(yīng)用課堂所學(xué)知識進行問題解決的課型，當問題無法解決時，學(xué)生會有緊張的感覺，特別是高考模式下，升學(xué)的壓力不容忽視，因此我們的選題，必須考慮到學(xué)生的具體實際，問題的設(shè)置要有利于調(diào)節(jié)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，同時又要客觀地暴露出學(xué)生解題過程和方法上的問題或閃光點，教學(xué)過程中要增加師生互動，通過課堂巡視、相互交流等形式，有效地鞏固數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法，促進三維教學(xué)目標的達成.

2.確保學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用

盡管教師必須講解，但其目的主要是給學(xué)生作示范，帶動學(xué)生思考，所以教師要做好導(dǎo)演，把學(xué)生的積極性充分調(diào)動起來，使學(xué)生進入角色，保證學(xué)生的主體地位，教師切忌喧賓奪主.同時，教師要面向全體學(xué)生組織教學(xué)，特別要更多地關(guān)心學(xué)困生的學(xué)習(xí)，及時給予幫助和指導(dǎo).

3.注重例題資源的充分挖掘

習(xí)題課更要講究課堂教學(xué)效率，同時兼顧學(xué)生的可接受性.要注意變式處理，同時留足學(xué)生思維的時間和空間，通過變式訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生在互動中樹立生成性意識，此外，對于一道習(xí)題有時又存在多種解決問題的方法，此時注重解法的挖掘也有利于學(xué)生思維能力的提升.

總之，我們的習(xí)題教學(xué)，要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的嚴謹、抽象，切身體驗到了高中數(shù)學(xué)的趣與美，借此提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和固化學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

如何開展習(xí)題課教學(xué)呢？筆者以“二次函數(shù)的最值問題”教學(xué)為例談點看法.

一、教學(xué)呈現(xiàn)

1.問題式導(dǎo)入

在教學(xué)中，筆者設(shè)置了一個問題導(dǎo)入：要求學(xué)生在草稿紙上嘗試著畫一組二次函數(shù)的圖象，并要求學(xué)生對自己畫的圖象進行解釋，分析其特點.

評析：通過這樣的導(dǎo)入形式，改變了傳統(tǒng)的習(xí)題課一上來就要求學(xué)生做題目的弊端，讓學(xué)生自主回顧和復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，很自然地切入到習(xí)題課的主題，當然學(xué)生作圖時有些還是存在困難的，在學(xué)生作圖的過程中，筆者積極巡視，發(fā)現(xiàn)問題并及時予以指導(dǎo).

2.巧妙選題

（1）小切口熱身

在該節(jié)課教學(xué)時，筆者選擇了較低難度的例題，讓學(xué)生首先熱身.

例1①函數(shù)f（x）=x2+2x+3的最小值為多少？（定義域為R）

②函數(shù)f（x）=x2+2x+3在區(qū)間[0，10]上的最小值和最大值分別為多少？

這兩個小問題，學(xué)生較容易解決，能夠很快熱身并融入課堂研究.

（2）精選范例深化研究

教學(xué)需要一定的梯度，不能總在簡單問題上徘徊，要循序漸進，精選范例推進認知深化.

例2求函數(shù)f（x）=x2-2x-3在區(qū)間[2，3]上的最小值.

學(xué)生完成該題后，再進行變式訓(xùn)練，推進思維向縱深發(fā)展.

變式：求f（x）=x2-ax-3在區(qū)間[2，3]上的最小值.

變式與例2相比有一個小小的變化，學(xué)生需要一定的思維力度.從學(xué)生的解題來看，學(xué)生容易得到f（x）=（x-a2）2-a24-3.這時，學(xué)生思維出現(xiàn)了斷層.為了幫助學(xué)生實現(xiàn)思維的銜接，筆者追加一個問題.

追問：函數(shù)f（x）=（x-a2）2-a4-3的最小值是多少？是不是（-a24-3）？

通過追問，學(xué)生的思維有了落腳點.學(xué)生獨立思考，函數(shù)圖象自然得到.解決時，函數(shù)定義域為[2，3]，對稱軸為x=a2，只需要討論對稱軸x=a2與[2，3]的位置關(guān)系.

變式訓(xùn)練完成后，要求學(xué)生反思，讓學(xué)生在反思解題過程中實現(xiàn)知識、方法的內(nèi)化，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.這樣做符合新課程理念，這一過程是學(xué)生的自主行為，是教師的講授無法替代的.

3.學(xué)生自主編題

學(xué)生自主編題需要一定的引導(dǎo).從上述例題出發(fā)，筆者做如下提示：上述例題中函數(shù)的對稱軸和區(qū)間都是確定的，而變式的區(qū)間定、對稱軸動，根據(jù)上述情境，自己嘗試著改編成一道題目.從學(xué)生的自主編題情況來看，學(xué)生的思維具有發(fā)散性，然后要求學(xué)生進行交流匯報，促使學(xué)生有效地掌握知識和方法.學(xué)生自主編題的過程是應(yīng)用知識和思考方法的過程，也是主動參與學(xué)習(xí)的重要特征.

二、幾點反思

1.習(xí)題課的設(shè)計思想應(yīng)遵循新課程理念

習(xí)題課是學(xué)生應(yīng)用課堂所學(xué)知識進行問題解決的課型，當問題無法解決時，學(xué)生會有緊張的感覺，特別是高考模式下，升學(xué)的壓力不容忽視，因此我們的選題，必須考慮到學(xué)生的具體實際，問題的設(shè)置要有利于調(diào)節(jié)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，同時又要客觀地暴露出學(xué)生解題過程和方法上的問題或閃光點，教學(xué)過程中要增加師生互動，通過課堂巡視、相互交流等形式，有效地鞏固數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法，促進三維教學(xué)目標的達成.

2.確保學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用

盡管教師必須講解，但其目的主要是給學(xué)生作示范，帶動學(xué)生思考，所以教師要做好導(dǎo)演，把學(xué)生的積極性充分調(diào)動起來，使學(xué)生進入角色，保證學(xué)生的主體地位，教師切忌喧賓奪主.同時，教師要面向全體學(xué)生組織教學(xué)，特別要更多地關(guān)心學(xué)困生的學(xué)習(xí)，及時給予幫助和指導(dǎo).

3.注重例題資源的充分挖掘

習(xí)題課更要講究課堂教學(xué)效率，同時兼顧學(xué)生的可接受性.要注意變式處理，同時留足學(xué)生思維的時間和空間，通過變式訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生在互動中樹立生成性意識，此外，對于一道習(xí)題有時又存在多種解決問題的方法，此時注重解法的挖掘也有利于學(xué)生思維能力的提升.

總之，我們的習(xí)題教學(xué)，要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的嚴謹、抽象，切身體驗到了高中數(shù)學(xué)的趣與美，借此提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和固化學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.