聲子晶體的負(fù)折射成像分析

韓建寧，溫廷敦，楊 鵬，張 璐，張 馳

(1.中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，山西太原030051;2.中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原030051)

近年來(lái)，聲子晶體的負(fù)折射成像研究受到越來(lái)越多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.劉正猷［1］等提出了局域共振型聲子晶體具有顯著不同的帶隙特點(diǎn)，給聲子晶體負(fù)折射成像提供了新思路.L.S.Chen［2］提出了只有存在部分禁帶才有可能在聲子晶體板中負(fù)折射成像.J.Li［3］等人用高斯光束仿真了聲子晶體板的橫、縱波模式負(fù)折射成像，從理論上探索了模式選擇.C.Crognne［4-5］等人研究了鋼柱-環(huán)氧樹(shù)脂的二維聲子晶體，從實(shí)驗(yàn)上證明了固/固式聲子晶體也可以用作負(fù)折射成像.Z.Liang［6］等人提出一種具有高折射率和接近零質(zhì)量密度的極端聲超常材料，更激起了科學(xué)工作者的空前興趣.聲子晶體板的負(fù)折射成像具有重要的應(yīng)用潛力，可以突破傳統(tǒng)透鏡的衍射極限，對(duì)細(xì)微結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了完美成像，極大地提高了像的分辨率.現(xiàn)在已知的聲子晶體平板成像方法中［7］，聲子晶體平板實(shí)現(xiàn)了較好地負(fù)折射成像.本文以有限元為基礎(chǔ)，利用有限元軟件Comsol完全開(kāi)放的架構(gòu)和豐富的后處理功能，以二維局域共振聲子晶體平板為模型進(jìn)行了仿真分析，可省去人工編寫(xiě)代碼的繁瑣過(guò)程［8］，得到直觀的聲子晶體板的聲成像效果，以期更好地認(rèn)識(shí)聲子晶體平板實(shí)現(xiàn)聲波完美成像和突破聲學(xué)成像中衍射極限的問(wèn)題.

1 基本原理

二維聲子晶體的元胞為軸向(Z方向)厚度較小的平面薄板，外力只作用在平面內(nèi).元胞由直徑為0.01 m的鉛芯外面均勻地包覆0.002 m的橡膠組成散射單元(散射體)，再嵌入在環(huán)氧樹(shù)脂中構(gòu)成.圖1所示為一種二維典型正方晶格聲子晶體的一個(gè)元胞［9］.

圖1 二維局域共振型聲子晶體的結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of two－dimensional local resonance type phononic crystal

材料參數(shù)為:水，ρ水=1 000 kg/m3，c水=1.5 ×103m/s;鉛芯，ρ鉛=11 600 kg/m3，c鉛=2 160 m/s;環(huán)氧樹(shù)脂，ρ環(huán)氧樹(shù)脂=1 180 kg/m3，c環(huán)氧樹(shù)脂=2 680 m/s，λ環(huán)氧樹(shù)脂=6 × 105N/m2，μ環(huán)氧樹(shù)脂= 4 × 104N/m2; 橡 膠， ρ橡膠=1 300 kg/m3，c橡膠=300 m/s.其中:ρ，c，λ，μ 分別表示材料的質(zhì)量密度、速度以及拉美常數(shù).

如圖1所示，設(shè)鉛芯質(zhì)量為 m鉛芯，樹(shù)脂質(zhì)量為 m樹(shù)脂，則有

假設(shè)彈性波入射到聲子晶體元胞中，由于聲子晶體元胞之間沒(méi)有耦合作用，因此對(duì)聲子晶體元胞的分析就能代表整體的共振響應(yīng)特性.設(shè)U1和U2分別為環(huán)氧樹(shù)脂和鉛芯的振幅，橡膠包覆層和鉛芯的交界面為 ε，根據(jù)柱坐標(biāo)的應(yīng)變位移關(guān)系，可知應(yīng)力 σrr和 σrθ.［10］

根據(jù)劉正猷2005年提出的簡(jiǎn)化解析模型的波動(dòng)方程及邊界條件［11］

因此，鉛芯在Z軸的振動(dòng)方程

將應(yīng)力 σrr和 σrθ代入式(6)得

從式(7)可求出U2/U1的比值，當(dāng)入射波的頻率為共振頻率時(shí)，該比值出現(xiàn)極值點(diǎn)，結(jié)果如圖2所示.

圖2 鉛芯與環(huán)氧樹(shù)脂位移比的變化曲線(xiàn)Fig.2 Displacement ratio curve of lead and epoxy resin

如圖2所示，當(dāng)入射波頻率增加到共振頻率時(shí)，有效質(zhì)量出現(xiàn)了反常行為，即表現(xiàn)出了負(fù)質(zhì)量響應(yīng).負(fù)質(zhì)量響應(yīng)意味著波的指數(shù)衰減，這與聲子晶體禁帶一致［12］.由此，可以用有效質(zhì)量來(lái)確定禁帶，帶隙的起始頻率可由共振頻率確定，帶隙的截止頻率則可由有效質(zhì)量為零的點(diǎn)確定.因此，當(dāng)入射波頻率增加到共振頻率時(shí)，此時(shí)彈性波在禁帶內(nèi)，彈性波在該聲子晶體元都不能傳播，而是表現(xiàn)為衰逝波的形式.

2 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ图胺治?/h2>

根據(jù)以上所述，聲子晶體元胞在XY平面內(nèi)按長(zhǎng)方形點(diǎn)陣周期排列成平板植入水中.近場(chǎng)點(diǎn)聲源所產(chǎn)生的聲波通過(guò)此平板，在板兩界面表面經(jīng)過(guò)兩次負(fù)折射后，得到了一個(gè)完全由衰逝波組成的亞波長(zhǎng)近場(chǎng)外部像點(diǎn)［13］，結(jié)果如圖3所示.

圖3(a)所示為點(diǎn)聲源通過(guò)聲子晶體板體的壓力場(chǎng)強(qiáng)度分布.其中，板子的厚度d=2λ，點(diǎn)源與板的距離 ds=0.012 5λ，λ代表水中的波長(zhǎng).由圖3(c)可知，像點(diǎn)波長(zhǎng)為 0.3λ，即為亞波長(zhǎng)成像.普通透鏡由于像點(diǎn)不含衰逝部分而存在一個(gè)半波長(zhǎng)的成像分辨率極限.因此，本文設(shè)計(jì)的聲子晶體板分辨率要明顯優(yōu)于普通透鏡.因?yàn)楫?dāng)入射波頻率增加到聲子晶體有效共振頻率時(shí)，此時(shí)彈性波在禁帶內(nèi)，彈性波在該聲子晶體板不能傳播，而是表現(xiàn)為衰逝波的形式，這樣點(diǎn)聲源通過(guò)聲子晶體板的傳播部分將被反射掉，而且在板的另一側(cè)就不會(huì)產(chǎn)生不必要的干擾，從而將點(diǎn)源的亞波長(zhǎng)細(xì)節(jié)更好地傳遞到板子的另一側(cè)［14］.同時(shí)，這里點(diǎn)源與平板的距離明顯小于板子的厚度，因此，近場(chǎng)點(diǎn)聲源通過(guò)聲子晶體的聲成像過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)聲透鏡難以實(shí)現(xiàn)的近場(chǎng)像難題.

圖3 聲子晶體板的負(fù)折射聲成像Fig.3 Negative refraction imaging of phononic crystal plate

我們知道，點(diǎn)聲源信號(hào)入射到聲子晶體平板后，聲波可通過(guò)散射性通道，到一個(gè)完全由衰逝波形成的近場(chǎng)亞波長(zhǎng)像，但是在像面上實(shí)際得到的是一個(gè)具有一定面積的衍射斑.由于衍射像有一定的大小，如果兩個(gè)像點(diǎn)之間的距離太短，就無(wú)法分辨出是兩個(gè)像點(diǎn).兩個(gè)衍射像間所能分辨的最小間隔稱(chēng)為聲子晶體板的衍射分辨率［15］.下面模擬兩個(gè)理想點(diǎn)聲源經(jīng)過(guò)聲子晶體平板后成像的特性，結(jié)果如圖4所示.

圖4 d1=0.2λ時(shí)聲子晶體板的負(fù)折射聲成像Fig.4 Negative refraction imaging of phononic crystal plate at d1=0.2λ

圖4(a)所示為兩個(gè)點(diǎn)源通過(guò)聲子晶體板體的壓力場(chǎng)強(qiáng)度分布.其中:板子的厚度為d=0.2λ，兩個(gè)點(diǎn)源之間的距離 d1=0.2λ.如圖4(c)所示，在像面上出現(xiàn)兩個(gè)分離的亮斑，已完全能夠辨別出這是兩個(gè)不同的像點(diǎn)，說(shuō)明由于聲子晶體平板的存在，原來(lái)不分辯的兩個(gè)點(diǎn)源變得可以分辨.

3 結(jié)論

本文利用有限元法研究了聲子晶體局域共振型帶隙特性的基本特性，以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了聲子晶體相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?根據(jù)近場(chǎng)點(diǎn)聲源通過(guò)聲子晶體平板的成像過(guò)程，聲子晶體板分辨率要明顯優(yōu)于普通透鏡，實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)聲透鏡難以實(shí)現(xiàn)的近場(chǎng)成像.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:由于聲子晶體平板的存在，原來(lái)不分辯的兩個(gè)點(diǎn)源變得可以分辨，對(duì)細(xì)微結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)完美成像，極大地提高了像的分辨率，很好地突破了聲學(xué)成像中的衍射極限.因此，利用聲子晶體負(fù)折射成像在醫(yī)學(xué)檢測(cè)、工業(yè)探傷等領(lǐng)域有較大的應(yīng)用價(jià)值.

［1］Liu Z，Zhang X，Mao Y，et al.Locally resonant sonic materials［J］.Science，2000，289:1734-1736.

［2］Chen L S，Kuo C H，Ye Z.Acoustic imaging and collimating by slabs of sonic crystals made from arrays of rigid cylinders in air［J］.Applied Physics Letters，2004，85(6):1072-1074.

［3］Li J，Liu Z，Qiu C.Negative refraction imaging of acoustic waves by a two-dimensional three-component phononic crystal［J］.Physical Review B，2006，73(5):054302.

［4］Croёnne C，Morvan B，Vasseur J B，et al.Analysis of elastic waves transmitted through a 2-D phononic crystal exhibiting negative refraction［J］.IEEE Transactions on Ultrasonics， Ferroelectrics， and Frequency Control，2011，58(1):178-186.

［5］Croёnne C，Manga E D，Morvan B，et al.Negative refraction of longitudinal waves in a two-dimensional solidsolid phononic crystal［J］.Physical Review B，2011，83(5):054301.

［6］Liang Z，Li J.Extreme acoustic metamaterial by coiling up space［J］.Physical Review Letters，2012，108(11):114301.

［7］覃世冬，鄧芳圓，劉紹娥，等.聲子晶體平板組合成像特性分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2012，31(17):140-144.Qin Shidong，Deng Fangyuan，Liu Shaoe，et al.The phonon crystal tablet combined imaging characteristics analysis［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(17):140-144.(in Chinese)

［8］柯佼.含共振單元的二維多孔聲子晶體帶隙特性研究［D］.北京:北京交通大學(xué)，2012.

［9］Goffaux C，Sanchez-Dehesa J，Yeyati A L，et al.Evidence of fano-like interference phenomena in locally resonant materials［J］.Phys.Rev.Lett.，2002，88(22):225502.

［10］顧永偉.局域共振聲子晶體的優(yōu)化設(shè)計(jì)與模擬［D］.上海:上海交通大學(xué)，2009.

［11］Liu Z，Chan C T，Sheng P.Analytic model of phononic crystals with local resonances［J］.Physical Review B，2005，71(1):014103.

［12］Liu Z，Zhang X，Mao Y，et al.Locally resonant sonic materials［J］.Science，2000，289:1734-1736.

［13］溫熙森，溫激鴻，郁殿龍.聲子晶體［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2009.

［14］鄧科.聲子晶體及聲超常材料的特性調(diào)控與功能設(shè)計(jì)［D］.武漢:武漢大學(xué)，2010.

［15］高俊麗.二維聲子晶體負(fù)折射成像機(jī)理與特性研究［D］.長(zhǎng)沙:中南大學(xué)，2009.