概率易混概念辨析舉例

朱月祥

摘要：概率教學(xué)尤其需要加強(qiáng)對(duì)概念的辨析和概型的把握?；コ馀c獨(dú)立，至多與至少，串聯(lián)與并聯(lián)，有序與無(wú)序，有放回與無(wú)放回等五組概念，一直是概率學(xué)習(xí)中容易混淆的。本文試就這五組容易混淆的概念加以辨析，并舉例說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：概率易混概念；辨析

中圖分類號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）01-087-1

一、互斥事件與獨(dú)立事件

互斥事件指不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而兩個(gè)事件獨(dú)立指事件A（B）的發(fā)生與否對(duì)事件B（A）發(fā)生的概率無(wú)影響?；コ馐录嗀，B至少有一個(gè)發(fā)生的概率計(jì)算的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），而相互獨(dú)立的事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算的乘法公式是P（A·B）=P（A）·P（B）。在解題時(shí)，我們應(yīng)根據(jù)其定義準(zhǔn)確判斷事件間的關(guān)系，從而選用相應(yīng)的公式。對(duì)比較復(fù)雜的事件，應(yīng)設(shè)法將其分解成一些彼此互斥的事件的和，以便于計(jì)算。

例1 第48屆世乒賽2005年4月在上海舉行，在男單半決賽中，中國(guó)選手馬琳與丹麥新秀梅茲相遇。若每局馬琳獲勝的概率為2/3，梅茲獲勝的概率為1/3，比賽采用七局四勝制，求馬琳獲勝的概率。

解：馬琳獲勝有四種情況，即分別以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3的總分戰(zhàn)勝梅茲，而這四種情況不可能同時(shí)發(fā)生，因此可將事件“馬琳獲勝”分解為四個(gè)互斥事件“馬4∶0勝梅”、“馬4∶1勝梅”、“馬4∶2勝梅”、“馬4∶3勝梅”的和。又由于每局比賽相互獨(dú)立，所以每個(gè)互斥事件發(fā)生的概率又可利用獨(dú)立事件發(fā)生的概率公式求得。

二、至多與至少

“至多”與“至少”是對(duì)事件發(fā)生數(shù)量上、下限的規(guī)定。如事件A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生指A，B，C中最起碼有一個(gè)發(fā)生，即可發(fā)生1個(gè)，可能發(fā)生2個(gè)，也可能三個(gè)全發(fā)生，它的對(duì)立事件是A，B，C全不發(fā)生。而事件A，B，C至多有一個(gè)發(fā)生則指A，B，C中頂多發(fā)生1個(gè)，即可能發(fā)生1個(gè)，也可能全不發(fā)生，它的對(duì)立事件是A，B，C中恰有2個(gè)發(fā)生及三個(gè)全發(fā)生。解決“至多”與“至少”的問題關(guān)鍵是理解其本質(zhì)，常轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件的概率來(lái)計(jì)算。

例2 甲、乙、丙三人分別獨(dú)立解一道題，甲、丙兩人均解錯(cuò)的概率為1/12，乙、丙兩人均解對(duì)的概率為1/4，三人中至多兩人解對(duì)的概率為13/16。求甲、乙、丙三人中至少有一人做對(duì)這道題的概率？

解：本題是關(guān)于“至多“、”“至少”的綜合問題。事件“三人中至多兩人解對(duì)”與“至少有一人做對(duì)”的對(duì)立事件分別為“三人全做對(duì)”與“三人都沒有做對(duì)”，因此轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件的概率來(lái)計(jì)算較為方便。

三、串聯(lián)與并聯(lián)

串聯(lián)與并聯(lián)是系統(tǒng)內(nèi)元件間不同的連接方式（分別如圖1，2）所示，一個(gè)系統(tǒng)的可靠度即正常工作的概率取決于每個(gè)元件的可靠度及元件間的連接方式。串聯(lián)系統(tǒng)的特點(diǎn)是當(dāng)其中一個(gè)元件發(fā)生故障時(shí)，系統(tǒng)就發(fā)生故障，即當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)元件同時(shí)工作時(shí)，系統(tǒng)才正常工作。并聯(lián)系統(tǒng)的特點(diǎn)是當(dāng)其中一個(gè)元件正常工作時(shí)，系統(tǒng)就正常工作，即當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)元件全發(fā)生故障時(shí)，系統(tǒng)才發(fā)生故障。

若事件Ai={元件Ai正確工作}（i=1，2，…，n），則得：

四、有順序與無(wú)順序

“有順序”與“無(wú)順序”是描述看待事件的兩種不同角度。在進(jìn)行概率計(jì)算時(shí)，我們可以用不同的模型來(lái)描述同一隨機(jī)現(xiàn)象，只要在同一樣本空間中求解，結(jié)論總是一致的。這就要求我們?cè)谟?jì)算基本事件總數(shù)及有利事件數(shù)時(shí)，要么都考慮順序，要么都不考慮順序。否則，容易出錯(cuò)。

例3 把9本不同的書平均分成三組，其中A，B，C三本分在同一組的概率P是多少？

解法：作無(wú)順序考慮，三組不加區(qū)別，因?yàn)?本書平均分成三組共有

五、有放回與無(wú)放回

“有放回”與“無(wú)放回”是抽取問題中容易混淆的一對(duì)概念?！坝蟹呕亍敝副怀槿≡爻槌龊?，又放回到總體中，這樣每次抽取時(shí)，被抽總體元素個(gè)數(shù)總是相同的，每次抽取相互獨(dú)立，互不影響，實(shí)質(zhì)就是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)。而“無(wú)放回”指被抽取元素抽出后，不再放回到總體中，這樣每次抽取時(shí)，被抽總體中元素個(gè)數(shù)不相同，每次抽取不再獨(dú)立，具相互影響。

例4 某人有n把鑰匙，其中僅有1把可以打開房間，按下列方式開門，求房門恰在第k次被打開的概率。

（1）隨機(jī)逐個(gè)用鑰匙試開門，試驗(yàn)后不放回；

（2）隨機(jī)逐個(gè)用鑰匙試開門，試驗(yàn)后放回。endprint

摘要：概率教學(xué)尤其需要加強(qiáng)對(duì)概念的辨析和概型的把握。互斥與獨(dú)立，至多與至少，串聯(lián)與并聯(lián)，有序與無(wú)序，有放回與無(wú)放回等五組概念，一直是概率學(xué)習(xí)中容易混淆的。本文試就這五組容易混淆的概念加以辨析，并舉例說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：概率易混概念；辨析

中圖分類號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）01-087-1

一、互斥事件與獨(dú)立事件

互斥事件指不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而兩個(gè)事件獨(dú)立指事件A（B）的發(fā)生與否對(duì)事件B（A）發(fā)生的概率無(wú)影響?；コ馐录嗀，B至少有一個(gè)發(fā)生的概率計(jì)算的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），而相互獨(dú)立的事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算的乘法公式是P（A·B）=P（A）·P（B）。在解題時(shí)，我們應(yīng)根據(jù)其定義準(zhǔn)確判斷事件間的關(guān)系，從而選用相應(yīng)的公式。對(duì)比較復(fù)雜的事件，應(yīng)設(shè)法將其分解成一些彼此互斥的事件的和，以便于計(jì)算。

例1 第48屆世乒賽2005年4月在上海舉行，在男單半決賽中，中國(guó)選手馬琳與丹麥新秀梅茲相遇。若每局馬琳獲勝的概率為2/3，梅茲獲勝的概率為1/3，比賽采用七局四勝制，求馬琳獲勝的概率。

解：馬琳獲勝有四種情況，即分別以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3的總分戰(zhàn)勝梅茲，而這四種情況不可能同時(shí)發(fā)生，因此可將事件“馬琳獲勝”分解為四個(gè)互斥事件“馬4∶0勝梅”、“馬4∶1勝梅”、“馬4∶2勝梅”、“馬4∶3勝梅”的和。又由于每局比賽相互獨(dú)立，所以每個(gè)互斥事件發(fā)生的概率又可利用獨(dú)立事件發(fā)生的概率公式求得。

二、至多與至少

“至多”與“至少”是對(duì)事件發(fā)生數(shù)量上、下限的規(guī)定。如事件A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生指A，B，C中最起碼有一個(gè)發(fā)生，即可發(fā)生1個(gè)，可能發(fā)生2個(gè)，也可能三個(gè)全發(fā)生，它的對(duì)立事件是A，B，C全不發(fā)生。而事件A，B，C至多有一個(gè)發(fā)生則指A，B，C中頂多發(fā)生1個(gè)，即可能發(fā)生1個(gè)，也可能全不發(fā)生，它的對(duì)立事件是A，B，C中恰有2個(gè)發(fā)生及三個(gè)全發(fā)生。解決“至多”與“至少”的問題關(guān)鍵是理解其本質(zhì)，常轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件的概率來(lái)計(jì)算。

例2 甲、乙、丙三人分別獨(dú)立解一道題，甲、丙兩人均解錯(cuò)的概率為1/12，乙、丙兩人均解對(duì)的概率為1/4，三人中至多兩人解對(duì)的概率為13/16。求甲、乙、丙三人中至少有一人做對(duì)這道題的概率？

解：本題是關(guān)于“至多“、”“至少”的綜合問題。事件“三人中至多兩人解對(duì)”與“至少有一人做對(duì)”的對(duì)立事件分別為“三人全做對(duì)”與“三人都沒有做對(duì)”，因此轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件的概率來(lái)計(jì)算較為方便。

三、串聯(lián)與并聯(lián)

串聯(lián)與并聯(lián)是系統(tǒng)內(nèi)元件間不同的連接方式（分別如圖1，2）所示，一個(gè)系統(tǒng)的可靠度即正常工作的概率取決于每個(gè)元件的可靠度及元件間的連接方式。串聯(lián)系統(tǒng)的特點(diǎn)是當(dāng)其中一個(gè)元件發(fā)生故障時(shí)，系統(tǒng)就發(fā)生故障，即當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)元件同時(shí)工作時(shí)，系統(tǒng)才正常工作。并聯(lián)系統(tǒng)的特點(diǎn)是當(dāng)其中一個(gè)元件正常工作時(shí)，系統(tǒng)就正常工作，即當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)元件全發(fā)生故障時(shí)，系統(tǒng)才發(fā)生故障。

若事件Ai={元件Ai正確工作}（i=1，2，…，n），則得：

四、有順序與無(wú)順序

“有順序”與“無(wú)順序”是描述看待事件的兩種不同角度。在進(jìn)行概率計(jì)算時(shí)，我們可以用不同的模型來(lái)描述同一隨機(jī)現(xiàn)象，只要在同一樣本空間中求解，結(jié)論總是一致的。這就要求我們?cè)谟?jì)算基本事件總數(shù)及有利事件數(shù)時(shí)，要么都考慮順序，要么都不考慮順序。否則，容易出錯(cuò)。

例3 把9本不同的書平均分成三組，其中A，B，C三本分在同一組的概率P是多少？

解法：作無(wú)順序考慮，三組不加區(qū)別，因?yàn)?本書平均分成三組共有

五、有放回與無(wú)放回

“有放回”與“無(wú)放回”是抽取問題中容易混淆的一對(duì)概念?！坝蟹呕亍敝副怀槿≡爻槌龊?，又放回到總體中，這樣每次抽取時(shí)，被抽總體元素個(gè)數(shù)總是相同的，每次抽取相互獨(dú)立，互不影響，實(shí)質(zhì)就是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)。而“無(wú)放回”指被抽取元素抽出后，不再放回到總體中，這樣每次抽取時(shí)，被抽總體中元素個(gè)數(shù)不相同，每次抽取不再獨(dú)立，具相互影響。

例4 某人有n把鑰匙，其中僅有1把可以打開房間，按下列方式開門，求房門恰在第k次被打開的概率。

（1）隨機(jī)逐個(gè)用鑰匙試開門，試驗(yàn)后不放回；

（2）隨機(jī)逐個(gè)用鑰匙試開門，試驗(yàn)后放回。endprint

摘要：概率教學(xué)尤其需要加強(qiáng)對(duì)概念的辨析和概型的把握?；コ馀c獨(dú)立，至多與至少，串聯(lián)與并聯(lián)，有序與無(wú)序，有放回與無(wú)放回等五組概念，一直是概率學(xué)習(xí)中容易混淆的。本文試就這五組容易混淆的概念加以辨析，并舉例說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：概率易混概念；辨析

中圖分類號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）01-087-1

一、互斥事件與獨(dú)立事件

互斥事件指不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而兩個(gè)事件獨(dú)立指事件A（B）的發(fā)生與否對(duì)事件B（A）發(fā)生的概率無(wú)影響。互斥事件A，B至少有一個(gè)發(fā)生的概率計(jì)算的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），而相互獨(dú)立的事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算的乘法公式是P（A·B）=P（A）·P（B）。在解題時(shí)，我們應(yīng)根據(jù)其定義準(zhǔn)確判斷事件間的關(guān)系，從而選用相應(yīng)的公式。對(duì)比較復(fù)雜的事件，應(yīng)設(shè)法將其分解成一些彼此互斥的事件的和，以便于計(jì)算。

例1 第48屆世乒賽2005年4月在上海舉行，在男單半決賽中，中國(guó)選手馬琳與丹麥新秀梅茲相遇。若每局馬琳獲勝的概率為2/3，梅茲獲勝的概率為1/3，比賽采用七局四勝制，求馬琳獲勝的概率。

解：馬琳獲勝有四種情況，即分別以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3的總分戰(zhàn)勝梅茲，而這四種情況不可能同時(shí)發(fā)生，因此可將事件“馬琳獲勝”分解為四個(gè)互斥事件“馬4∶0勝梅”、“馬4∶1勝梅”、“馬4∶2勝梅”、“馬4∶3勝梅”的和。又由于每局比賽相互獨(dú)立，所以每個(gè)互斥事件發(fā)生的概率又可利用獨(dú)立事件發(fā)生的概率公式求得。

二、至多與至少

“至多”與“至少”是對(duì)事件發(fā)生數(shù)量上、下限的規(guī)定。如事件A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生指A，B，C中最起碼有一個(gè)發(fā)生，即可發(fā)生1個(gè)，可能發(fā)生2個(gè)，也可能三個(gè)全發(fā)生，它的對(duì)立事件是A，B，C全不發(fā)生。而事件A，B，C至多有一個(gè)發(fā)生則指A，B，C中頂多發(fā)生1個(gè)，即可能發(fā)生1個(gè)，也可能全不發(fā)生，它的對(duì)立事件是A，B，C中恰有2個(gè)發(fā)生及三個(gè)全發(fā)生。解決“至多”與“至少”的問題關(guān)鍵是理解其本質(zhì)，常轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件的概率來(lái)計(jì)算。

例2 甲、乙、丙三人分別獨(dú)立解一道題，甲、丙兩人均解錯(cuò)的概率為1/12，乙、丙兩人均解對(duì)的概率為1/4，三人中至多兩人解對(duì)的概率為13/16。求甲、乙、丙三人中至少有一人做對(duì)這道題的概率？

解：本題是關(guān)于“至多“、”“至少”的綜合問題。事件“三人中至多兩人解對(duì)”與“至少有一人做對(duì)”的對(duì)立事件分別為“三人全做對(duì)”與“三人都沒有做對(duì)”，因此轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件的概率來(lái)計(jì)算較為方便。

三、串聯(lián)與并聯(lián)

串聯(lián)與并聯(lián)是系統(tǒng)內(nèi)元件間不同的連接方式（分別如圖1，2）所示，一個(gè)系統(tǒng)的可靠度即正常工作的概率取決于每個(gè)元件的可靠度及元件間的連接方式。串聯(lián)系統(tǒng)的特點(diǎn)是當(dāng)其中一個(gè)元件發(fā)生故障時(shí)，系統(tǒng)就發(fā)生故障，即當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)元件同時(shí)工作時(shí)，系統(tǒng)才正常工作。并聯(lián)系統(tǒng)的特點(diǎn)是當(dāng)其中一個(gè)元件正常工作時(shí)，系統(tǒng)就正常工作，即當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)元件全發(fā)生故障時(shí)，系統(tǒng)才發(fā)生故障。

若事件Ai={元件Ai正確工作}（i=1，2，…，n），則得：

四、有順序與無(wú)順序

“有順序”與“無(wú)順序”是描述看待事件的兩種不同角度。在進(jìn)行概率計(jì)算時(shí)，我們可以用不同的模型來(lái)描述同一隨機(jī)現(xiàn)象，只要在同一樣本空間中求解，結(jié)論總是一致的。這就要求我們?cè)谟?jì)算基本事件總數(shù)及有利事件數(shù)時(shí)，要么都考慮順序，要么都不考慮順序。否則，容易出錯(cuò)。

例3 把9本不同的書平均分成三組，其中A，B，C三本分在同一組的概率P是多少？

解法：作無(wú)順序考慮，三組不加區(qū)別，因?yàn)?本書平均分成三組共有

五、有放回與無(wú)放回

“有放回”與“無(wú)放回”是抽取問題中容易混淆的一對(duì)概念?！坝蟹呕亍敝副怀槿≡爻槌龊?，又放回到總體中，這樣每次抽取時(shí)，被抽總體元素個(gè)數(shù)總是相同的，每次抽取相互獨(dú)立，互不影響，實(shí)質(zhì)就是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)。而“無(wú)放回”指被抽取元素抽出后，不再放回到總體中，這樣每次抽取時(shí)，被抽總體中元素個(gè)數(shù)不相同，每次抽取不再獨(dú)立，具相互影響。

例4 某人有n把鑰匙，其中僅有1把可以打開房間，按下列方式開門，求房門恰在第k次被打開的概率。

（1）隨機(jī)逐個(gè)用鑰匙試開門，試驗(yàn)后不放回；

（2）隨機(jī)逐個(gè)用鑰匙試開門，試驗(yàn)后放回。endprint