例談“數(shù)形結(jié)合”思想在教學(xué)中的滲透

徐國(guó)明

數(shù)形結(jié)合思想包含兩點(diǎn)內(nèi)容。一是以形思數(shù)，在直觀中理解“數(shù)”。可以根據(jù)“數(shù)”引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)想象，建立清晰的圖式表象，充分發(fā)揮圖式表象的中介作用，以使學(xué)生順利獲得有關(guān)“數(shù)”的知識(shí)；二是以數(shù)想形，在轉(zhuǎn)換中建立“形”?？梢酝ㄟ^(guò)引導(dǎo)學(xué)生去讓“形”與“數(shù)”之間建立起一種關(guān)系，從而溝通學(xué)生的形象思維和抽象思維，進(jìn)而使問(wèn)題得以解決。下面就“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中如何滲透談點(diǎn)實(shí)踐與體會(huì)。

一、以形思數(shù)，在直觀中理解“數(shù)”

1.以形思數(shù)，把握概念本質(zhì)

教學(xué)中運(yùn)用圖形創(chuàng)設(shè)一些問(wèn)題情境，通過(guò)對(duì)圖形中的情境分析，抽象出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，運(yùn)用圖形創(chuàng)設(shè)了如下的問(wèn)題情境：表示出下圖中的■。

■

思考：（1）表示過(guò)程中有什么相同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？

（2）為什么都是■，但表示出的每份的個(gè)數(shù)不一樣？

（3）你能對(duì)這組圖進(jìn)行分類嗎？（想以什么為標(biāo)準(zhǔn)？）

借助這些情境問(wèn)題的分析、解決，學(xué)生直觀、形象地理解了“部分相同、整體相同，如果分法不一樣，表示的分?jǐn)?shù)就不一樣”這一有關(guān)分?jǐn)?shù)的概念特質(zhì)。

2.以形思數(shù)，理解運(yùn)算性質(zhì)

教學(xué)中，對(duì)于一些運(yùn)算性質(zhì)的教學(xué)，也可以利用圖形讓學(xué)生觀察、分析，并組織學(xué)生結(jié)合操作來(lái)形象地理解相關(guān)性質(zhì)。

如教學(xué)“積的變化規(guī)律”時(shí)，不少教師往往是先通過(guò)呈現(xiàn)一組組乘法算式，讓學(xué)生觀察、比較因數(shù)和積的變化關(guān)系，然后發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律。實(shí)際上在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，可利用長(zhǎng)方形的模型，直觀地引導(dǎo)學(xué)生探究出積的變化規(guī)律。教學(xué)片段如下：

呈現(xiàn)寬12米，長(zhǎng)20米的長(zhǎng)方形。

■

讓學(xué)生觀察思考，當(dāng)長(zhǎng)不變，寬擴(kuò)大或縮小3倍時(shí)，面積是怎么變化的。

■

（12×3）×12 （12÷3）×20

通過(guò)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，比較長(zhǎng)方形的面積變化，學(xué)生很直觀地看到當(dāng)長(zhǎng)不變，寬擴(kuò)大3倍或縮小3倍時(shí)，它的面積也擴(kuò)大3倍或縮小3倍。這里利用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生很直觀地理解了積的變化規(guī)律。

3.以形思數(shù)，弄清數(shù)量關(guān)系

蘇教版教材中的“解決問(wèn)題”這一板塊的內(nèi)容，題目通常比較抽象復(fù)雜，有些學(xué)生較難理解其中的數(shù)量關(guān)系，從而造成解決問(wèn)題的困難。要讓學(xué)生清晰地發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線段圖，或采用數(shù)形結(jié)合的方法，因?yàn)閿?shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題方法的一種有效手段。

例題：“有一個(gè)長(zhǎng)方形花圃長(zhǎng)20米，寬16米，因修路需要將長(zhǎng)縮短4米，如果面積不變，寬應(yīng)增加幾米？”

學(xué)生給出了兩種方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解決問(wèn)題時(shí)多數(shù)學(xué)生采用第一種解法，而對(duì)第二種方法不少學(xué)生理解上有困難。

事實(shí)上可根據(jù)題意作圖如下：

■

學(xué)生通過(guò)圖明白了減少的面積直接除以現(xiàn)在的長(zhǎng)等于增加的寬。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓解題數(shù)量關(guān)系以及思路更加清晰了，數(shù)形結(jié)合的方法在這里起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易，拓寬解題思路，優(yōu)化解題方法等目的。

二、以數(shù)想形，在轉(zhuǎn)換中建立“形”

1.以數(shù)想形，理解公式的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)教材中有很多的計(jì)算公式，對(duì)于這些計(jì)算公式的教學(xué)，如果省去對(duì)它的推導(dǎo)過(guò)程，而選擇讓學(xué)生死記硬背，只會(huì)令學(xué)生知其然，而不知其所以然。鑒于此，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，教師可以通過(guò)讓學(xué)生表達(dá)各種算式的含義，以達(dá)到深刻理解公式的內(nèi)涵。

如在教學(xué)三角形面積計(jì)算公式時(shí)，在課前，部分學(xué)生已經(jīng)通過(guò)自學(xué)等形式初步知道三角形的面積計(jì)算公式。根據(jù)這種情況，教學(xué)時(shí)，我首先出示下面這個(gè)圖形，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算這個(gè)三角形的面積。

有極少數(shù)學(xué)生列出了不一樣的式子，他們用圖分別表示出了各自的解法。

生1：我是把一個(gè)直角三角形剪開(kāi)，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

■

生2：生1的方法只能推導(dǎo)出直角三角形的面積計(jì)算公式，銳角三角形、鈍角三角形呢？我把任意一個(gè)三角形剪開(kāi)，拼成一個(gè)平行四邊形，平行四邊形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e=底×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

■

生3：我是用折的方法推導(dǎo)的，折法和學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和時(shí)一樣。所以，三角形的面積=（底÷2）×（高÷2）×2。

■

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)討論、比較、分析，發(fā)現(xiàn)三角形的面積計(jì)算公式還是“底×高÷2”。這里將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，突出圖像的形象思維，幫助學(xué)生獲得了準(zhǔn)確的結(jié)論，使學(xué)生的思維能力、情感態(tài)度等都得到了發(fā)展，還有效地培養(yǎng)了學(xué)生“數(shù)中有形、形中有數(shù)”的意識(shí)。

2.以數(shù)想形，明晰圖形的性質(zhì)

通過(guò)以數(shù)想形，還可以有效幫助學(xué)生理解圖形的性質(zhì)。

如，在教學(xué)“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一性質(zhì)時(shí)，呈現(xiàn)“3×4”這個(gè)算式，讓學(xué)生根據(jù)這個(gè)算式在兩條平行線之間畫(huà)三角形，結(jié)果學(xué)生畫(huà)出了如下圖形：

■

通過(guò)觀察上圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一圖形性質(zhì)。再讓學(xué)生畫(huà)出底為6厘米、高為2厘米的三角形，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較，學(xué)生又能發(fā)現(xiàn)：“面積相等，圖形的形狀不一定相同”這一圖形的性質(zhì)。

3.以數(shù)想形，培養(yǎng)空間想象能力

小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，一般來(lái)說(shuō)是“直觀感知——圖式表象——抽取數(shù)學(xué)知識(shí)”的過(guò)程。這里不難看出，圖式表象是直觀感知和抽取數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁，充分發(fā)揮圖式表象的中介作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生多角度靈活思考、大膽想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些圖形？學(xué)生想到的可能是一個(gè)長(zhǎng)為5厘米、寬為4厘米的長(zhǎng)方形；還可能想到是一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方形的周長(zhǎng)；還可能想到是一個(gè)底為4厘米，高為5厘米的平行四邊形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎樣的三角形？這種穿梭于圖形與數(shù)字之間的學(xué)習(xí)，是一種自由游弋的學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)能實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的深刻理解，同時(shí)也能有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

教學(xué)實(shí)踐表明，根據(jù)小學(xué)生思維的年齡特征，利用數(shù)形結(jié)合，能夠讓學(xué)生把要學(xué)的知識(shí)和方法創(chuàng)造出來(lái)。在這過(guò)程中需要強(qiáng)調(diào)的是，“以形思數(shù)”和“以數(shù)想形”這兩點(diǎn)不是彼此獨(dú)立的，而是互相聯(lián)系的。教學(xué)中，教師應(yīng)注意將這兩種思維有機(jī)結(jié)合，揚(yáng)長(zhǎng)避短，相互補(bǔ)充，從而有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)能力。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

數(shù)形結(jié)合思想包含兩點(diǎn)內(nèi)容。一是以形思數(shù)，在直觀中理解“數(shù)”。可以根據(jù)“數(shù)”引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)想象，建立清晰的圖式表象，充分發(fā)揮圖式表象的中介作用，以使學(xué)生順利獲得有關(guān)“數(shù)”的知識(shí)；二是以數(shù)想形，在轉(zhuǎn)換中建立“形”?？梢酝ㄟ^(guò)引導(dǎo)學(xué)生去讓“形”與“數(shù)”之間建立起一種關(guān)系，從而溝通學(xué)生的形象思維和抽象思維，進(jìn)而使問(wèn)題得以解決。下面就“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中如何滲透談點(diǎn)實(shí)踐與體會(huì)。

一、以形思數(shù)，在直觀中理解“數(shù)”

1.以形思數(shù)，把握概念本質(zhì)

教學(xué)中運(yùn)用圖形創(chuàng)設(shè)一些問(wèn)題情境，通過(guò)對(duì)圖形中的情境分析，抽象出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，運(yùn)用圖形創(chuàng)設(shè)了如下的問(wèn)題情境：表示出下圖中的■。

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思考：（1）表示過(guò)程中有什么相同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？

（2）為什么都是■，但表示出的每份的個(gè)數(shù)不一樣？

（3）你能對(duì)這組圖進(jìn)行分類嗎？（想以什么為標(biāo)準(zhǔn)？）

借助這些情境問(wèn)題的分析、解決，學(xué)生直觀、形象地理解了“部分相同、整體相同，如果分法不一樣，表示的分?jǐn)?shù)就不一樣”這一有關(guān)分?jǐn)?shù)的概念特質(zhì)。

2.以形思數(shù)，理解運(yùn)算性質(zhì)

教學(xué)中，對(duì)于一些運(yùn)算性質(zhì)的教學(xué)，也可以利用圖形讓學(xué)生觀察、分析，并組織學(xué)生結(jié)合操作來(lái)形象地理解相關(guān)性質(zhì)。

如教學(xué)“積的變化規(guī)律”時(shí)，不少教師往往是先通過(guò)呈現(xiàn)一組組乘法算式，讓學(xué)生觀察、比較因數(shù)和積的變化關(guān)系，然后發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律。實(shí)際上在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，可利用長(zhǎng)方形的模型，直觀地引導(dǎo)學(xué)生探究出積的變化規(guī)律。教學(xué)片段如下：

呈現(xiàn)寬12米，長(zhǎng)20米的長(zhǎng)方形。

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讓學(xué)生觀察思考，當(dāng)長(zhǎng)不變，寬擴(kuò)大或縮小3倍時(shí)，面積是怎么變化的。

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（12×3）×12 （12÷3）×20

通過(guò)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，比較長(zhǎng)方形的面積變化，學(xué)生很直觀地看到當(dāng)長(zhǎng)不變，寬擴(kuò)大3倍或縮小3倍時(shí)，它的面積也擴(kuò)大3倍或縮小3倍。這里利用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生很直觀地理解了積的變化規(guī)律。

3.以形思數(shù)，弄清數(shù)量關(guān)系

蘇教版教材中的“解決問(wèn)題”這一板塊的內(nèi)容，題目通常比較抽象復(fù)雜，有些學(xué)生較難理解其中的數(shù)量關(guān)系，從而造成解決問(wèn)題的困難。要讓學(xué)生清晰地發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線段圖，或采用數(shù)形結(jié)合的方法，因?yàn)閿?shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題方法的一種有效手段。

例題：“有一個(gè)長(zhǎng)方形花圃長(zhǎng)20米，寬16米，因修路需要將長(zhǎng)縮短4米，如果面積不變，寬應(yīng)增加幾米？”

學(xué)生給出了兩種方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解決問(wèn)題時(shí)多數(shù)學(xué)生采用第一種解法，而對(duì)第二種方法不少學(xué)生理解上有困難。

事實(shí)上可根據(jù)題意作圖如下：

■

學(xué)生通過(guò)圖明白了減少的面積直接除以現(xiàn)在的長(zhǎng)等于增加的寬。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓解題數(shù)量關(guān)系以及思路更加清晰了，數(shù)形結(jié)合的方法在這里起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易，拓寬解題思路，優(yōu)化解題方法等目的。

二、以數(shù)想形，在轉(zhuǎn)換中建立“形”

1.以數(shù)想形，理解公式的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)教材中有很多的計(jì)算公式，對(duì)于這些計(jì)算公式的教學(xué)，如果省去對(duì)它的推導(dǎo)過(guò)程，而選擇讓學(xué)生死記硬背，只會(huì)令學(xué)生知其然，而不知其所以然。鑒于此，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，教師可以通過(guò)讓學(xué)生表達(dá)各種算式的含義，以達(dá)到深刻理解公式的內(nèi)涵。

如在教學(xué)三角形面積計(jì)算公式時(shí)，在課前，部分學(xué)生已經(jīng)通過(guò)自學(xué)等形式初步知道三角形的面積計(jì)算公式。根據(jù)這種情況，教學(xué)時(shí)，我首先出示下面這個(gè)圖形，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算這個(gè)三角形的面積。

有極少數(shù)學(xué)生列出了不一樣的式子，他們用圖分別表示出了各自的解法。

生1：我是把一個(gè)直角三角形剪開(kāi)，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

■

生2：生1的方法只能推導(dǎo)出直角三角形的面積計(jì)算公式，銳角三角形、鈍角三角形呢？我把任意一個(gè)三角形剪開(kāi)，拼成一個(gè)平行四邊形，平行四邊形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e=底×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

■

生3：我是用折的方法推導(dǎo)的，折法和學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和時(shí)一樣。所以，三角形的面積=（底÷2）×（高÷2）×2。

■

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)討論、比較、分析，發(fā)現(xiàn)三角形的面積計(jì)算公式還是“底×高÷2”。這里將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，突出圖像的形象思維，幫助學(xué)生獲得了準(zhǔn)確的結(jié)論，使學(xué)生的思維能力、情感態(tài)度等都得到了發(fā)展，還有效地培養(yǎng)了學(xué)生“數(shù)中有形、形中有數(shù)”的意識(shí)。

2.以數(shù)想形，明晰圖形的性質(zhì)

通過(guò)以數(shù)想形，還可以有效幫助學(xué)生理解圖形的性質(zhì)。

如，在教學(xué)“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一性質(zhì)時(shí)，呈現(xiàn)“3×4”這個(gè)算式，讓學(xué)生根據(jù)這個(gè)算式在兩條平行線之間畫(huà)三角形，結(jié)果學(xué)生畫(huà)出了如下圖形：

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通過(guò)觀察上圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一圖形性質(zhì)。再讓學(xué)生畫(huà)出底為6厘米、高為2厘米的三角形，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較，學(xué)生又能發(fā)現(xiàn)：“面積相等，圖形的形狀不一定相同”這一圖形的性質(zhì)。

3.以數(shù)想形，培養(yǎng)空間想象能力

小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，一般來(lái)說(shuō)是“直觀感知——圖式表象——抽取數(shù)學(xué)知識(shí)”的過(guò)程。這里不難看出，圖式表象是直觀感知和抽取數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁，充分發(fā)揮圖式表象的中介作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生多角度靈活思考、大膽想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些圖形？學(xué)生想到的可能是一個(gè)長(zhǎng)為5厘米、寬為4厘米的長(zhǎng)方形；還可能想到是一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方形的周長(zhǎng)；還可能想到是一個(gè)底為4厘米，高為5厘米的平行四邊形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎樣的三角形？這種穿梭于圖形與數(shù)字之間的學(xué)習(xí)，是一種自由游弋的學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)能實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的深刻理解，同時(shí)也能有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

教學(xué)實(shí)踐表明，根據(jù)小學(xué)生思維的年齡特征，利用數(shù)形結(jié)合，能夠讓學(xué)生把要學(xué)的知識(shí)和方法創(chuàng)造出來(lái)。在這過(guò)程中需要強(qiáng)調(diào)的是，“以形思數(shù)”和“以數(shù)想形”這兩點(diǎn)不是彼此獨(dú)立的，而是互相聯(lián)系的。教學(xué)中，教師應(yīng)注意將這兩種思維有機(jī)結(jié)合，揚(yáng)長(zhǎng)避短，相互補(bǔ)充，從而有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)能力。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

數(shù)形結(jié)合思想包含兩點(diǎn)內(nèi)容。一是以形思數(shù)，在直觀中理解“數(shù)”?？梢愿鶕?jù)“數(shù)”引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)想象，建立清晰的圖式表象，充分發(fā)揮圖式表象的中介作用，以使學(xué)生順利獲得有關(guān)“數(shù)”的知識(shí)；二是以數(shù)想形，在轉(zhuǎn)換中建立“形”。可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生去讓“形”與“數(shù)”之間建立起一種關(guān)系，從而溝通學(xué)生的形象思維和抽象思維，進(jìn)而使問(wèn)題得以解決。下面就“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中如何滲透談點(diǎn)實(shí)踐與體會(huì)。

一、以形思數(shù)，在直觀中理解“數(shù)”

1.以形思數(shù)，把握概念本質(zhì)

教學(xué)中運(yùn)用圖形創(chuàng)設(shè)一些問(wèn)題情境，通過(guò)對(duì)圖形中的情境分析，抽象出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，運(yùn)用圖形創(chuàng)設(shè)了如下的問(wèn)題情境：表示出下圖中的■。

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思考：（1）表示過(guò)程中有什么相同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？

（2）為什么都是■，但表示出的每份的個(gè)數(shù)不一樣？

（3）你能對(duì)這組圖進(jìn)行分類嗎？（想以什么為標(biāo)準(zhǔn)？）

借助這些情境問(wèn)題的分析、解決，學(xué)生直觀、形象地理解了“部分相同、整體相同，如果分法不一樣，表示的分?jǐn)?shù)就不一樣”這一有關(guān)分?jǐn)?shù)的概念特質(zhì)。

2.以形思數(shù)，理解運(yùn)算性質(zhì)

教學(xué)中，對(duì)于一些運(yùn)算性質(zhì)的教學(xué)，也可以利用圖形讓學(xué)生觀察、分析，并組織學(xué)生結(jié)合操作來(lái)形象地理解相關(guān)性質(zhì)。

如教學(xué)“積的變化規(guī)律”時(shí)，不少教師往往是先通過(guò)呈現(xiàn)一組組乘法算式，讓學(xué)生觀察、比較因數(shù)和積的變化關(guān)系，然后發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律。實(shí)際上在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，可利用長(zhǎng)方形的模型，直觀地引導(dǎo)學(xué)生探究出積的變化規(guī)律。教學(xué)片段如下：

呈現(xiàn)寬12米，長(zhǎng)20米的長(zhǎng)方形。

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讓學(xué)生觀察思考，當(dāng)長(zhǎng)不變，寬擴(kuò)大或縮小3倍時(shí)，面積是怎么變化的。

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（12×3）×12 （12÷3）×20

通過(guò)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，比較長(zhǎng)方形的面積變化，學(xué)生很直觀地看到當(dāng)長(zhǎng)不變，寬擴(kuò)大3倍或縮小3倍時(shí)，它的面積也擴(kuò)大3倍或縮小3倍。這里利用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生很直觀地理解了積的變化規(guī)律。

3.以形思數(shù)，弄清數(shù)量關(guān)系

蘇教版教材中的“解決問(wèn)題”這一板塊的內(nèi)容，題目通常比較抽象復(fù)雜，有些學(xué)生較難理解其中的數(shù)量關(guān)系，從而造成解決問(wèn)題的困難。要讓學(xué)生清晰地發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線段圖，或采用數(shù)形結(jié)合的方法，因?yàn)閿?shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題方法的一種有效手段。

例題：“有一個(gè)長(zhǎng)方形花圃長(zhǎng)20米，寬16米，因修路需要將長(zhǎng)縮短4米，如果面積不變，寬應(yīng)增加幾米？”

學(xué)生給出了兩種方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解決問(wèn)題時(shí)多數(shù)學(xué)生采用第一種解法，而對(duì)第二種方法不少學(xué)生理解上有困難。

事實(shí)上可根據(jù)題意作圖如下：

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學(xué)生通過(guò)圖明白了減少的面積直接除以現(xiàn)在的長(zhǎng)等于增加的寬。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓解題數(shù)量關(guān)系以及思路更加清晰了，數(shù)形結(jié)合的方法在這里起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易，拓寬解題思路，優(yōu)化解題方法等目的。

二、以數(shù)想形，在轉(zhuǎn)換中建立“形”

1.以數(shù)想形，理解公式的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)教材中有很多的計(jì)算公式，對(duì)于這些計(jì)算公式的教學(xué)，如果省去對(duì)它的推導(dǎo)過(guò)程，而選擇讓學(xué)生死記硬背，只會(huì)令學(xué)生知其然，而不知其所以然。鑒于此，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，教師可以通過(guò)讓學(xué)生表達(dá)各種算式的含義，以達(dá)到深刻理解公式的內(nèi)涵。

如在教學(xué)三角形面積計(jì)算公式時(shí)，在課前，部分學(xué)生已經(jīng)通過(guò)自學(xué)等形式初步知道三角形的面積計(jì)算公式。根據(jù)這種情況，教學(xué)時(shí)，我首先出示下面這個(gè)圖形，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算這個(gè)三角形的面積。

有極少數(shù)學(xué)生列出了不一樣的式子，他們用圖分別表示出了各自的解法。

生1：我是把一個(gè)直角三角形剪開(kāi)，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

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生2：生1的方法只能推導(dǎo)出直角三角形的面積計(jì)算公式，銳角三角形、鈍角三角形呢？我把任意一個(gè)三角形剪開(kāi)，拼成一個(gè)平行四邊形，平行四邊形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e=底×寬，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

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生3：我是用折的方法推導(dǎo)的，折法和學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和時(shí)一樣。所以，三角形的面積=（底÷2）×（高÷2）×2。

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最后，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)討論、比較、分析，發(fā)現(xiàn)三角形的面積計(jì)算公式還是“底×高÷2”。這里將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，突出圖像的形象思維，幫助學(xué)生獲得了準(zhǔn)確的結(jié)論，使學(xué)生的思維能力、情感態(tài)度等都得到了發(fā)展，還有效地培養(yǎng)了學(xué)生“數(shù)中有形、形中有數(shù)”的意識(shí)。

2.以數(shù)想形，明晰圖形的性質(zhì)

通過(guò)以數(shù)想形，還可以有效幫助學(xué)生理解圖形的性質(zhì)。

如，在教學(xué)“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一性質(zhì)時(shí)，呈現(xiàn)“3×4”這個(gè)算式，讓學(xué)生根據(jù)這個(gè)算式在兩條平行線之間畫(huà)三角形，結(jié)果學(xué)生畫(huà)出了如下圖形：

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通過(guò)觀察上圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一圖形性質(zhì)。再讓學(xué)生畫(huà)出底為6厘米、高為2厘米的三角形，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較，學(xué)生又能發(fā)現(xiàn)：“面積相等，圖形的形狀不一定相同”這一圖形的性質(zhì)。

3.以數(shù)想形，培養(yǎng)空間想象能力

小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，一般來(lái)說(shuō)是“直觀感知——圖式表象——抽取數(shù)學(xué)知識(shí)”的過(guò)程。這里不難看出，圖式表象是直觀感知和抽取數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁，充分發(fā)揮圖式表象的中介作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生多角度靈活思考、大膽想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些圖形？學(xué)生想到的可能是一個(gè)長(zhǎng)為5厘米、寬為4厘米的長(zhǎng)方形；還可能想到是一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方形的周長(zhǎng)；還可能想到是一個(gè)底為4厘米，高為5厘米的平行四邊形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎樣的三角形？這種穿梭于圖形與數(shù)字之間的學(xué)習(xí)，是一種自由游弋的學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)能實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的深刻理解，同時(shí)也能有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

教學(xué)實(shí)踐表明，根據(jù)小學(xué)生思維的年齡特征，利用數(shù)形結(jié)合，能夠讓學(xué)生把要學(xué)的知識(shí)和方法創(chuàng)造出來(lái)。在這過(guò)程中需要強(qiáng)調(diào)的是，“以形思數(shù)”和“以數(shù)想形”這兩點(diǎn)不是彼此獨(dú)立的，而是互相聯(lián)系的。教學(xué)中，教師應(yīng)注意將這兩種思維有機(jī)結(jié)合，揚(yáng)長(zhǎng)避短，相互補(bǔ)充，從而有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)能力。

（責(zé)編 金 鈴）endprint