一類線性方程組解的條件與求解

陳 靜

(揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225009)

循環(huán)矩陣是一類應(yīng)用非常廣泛的特殊矩陣，它具有許多特殊而良好的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，對其有關(guān)問題的研究顯得很有必要.文獻(xiàn)［1-4］研究了求循環(huán)矩陣的逆與廣義逆的快速算法.在現(xiàn)代科技工程中，常遇到以循環(huán)矩陣為系數(shù)矩陣的線性方程組的求解問題，文獻(xiàn)［5］利用多項(xiàng)式理論給出系數(shù)矩陣為麟狀因子循環(huán)矩陣的線性方程組的解的條件與求解的快速算法，它更利于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，也利于并行計(jì)算.受此啟發(fā)，本文給出系數(shù)矩陣為結(jié)式循環(huán)矩陣的線性方程組解的判定條件和求解方法.

1 定義與引理

定義2［7］A∈Cn×n，若存在B∈Cn×n，使得(1)ABA=A，(2)BAB =B，則稱B 為A 的反射g 逆，記為A(1，2).若只滿足條件(1)，則稱B 為A 的一個(gè){1}-逆.

由文獻(xiàn)［7］可知，Ax=b 有解時(shí)，有AA(1，2)b=b.

引理4［7］設(shè)B 為m×n 矩陣A 的一個(gè){1}-逆，若線性方程組Ax=b 有解，則其通解為x=Bb+(I-BA)Z，Z 為任意的n 維列向量.

2 主要結(jié)果

定理1 結(jié)式循環(huán)矩陣線性方程組Ax=b 有唯一解的充要條件為(f(x)，g(x))=1.當(dāng)結(jié)式循環(huán)矩陣線性方程組Ax=b 有唯一解時(shí)，存在唯一的結(jié)式循環(huán)矩陣T，使得T 的第一列為Ax=b 的唯一解.

設(shè)b=(b0，b1，…，bn-1)T，以b 為第一列構(gòu)造一結(jié)式循環(huán)矩陣經(jīng)過行初等變換一定可化為

于是，u(x)f(x)+v(x)g(x)=1，u(x)h(x)=c(x)，u(P)A=I，u(P)B =c(P).若取T=c(P)=A-1B，則T 的第一列為A-1b，且AA-1b =b.所以T 的第一列為結(jié)式循環(huán)矩陣線性方程組Ax =b 的解.由于A-1和B 唯一均為結(jié)式循環(huán)矩陣，所以T 為結(jié)式循環(huán)矩陣且唯一，從而A-1b 是Ax=b 的唯一解.

則u(x)f(x)+v(x)g(x)=1，u(P)A=I，故A 可逆，從而結(jié)式循環(huán)矩陣線性方程組Ax=b 有唯一解.

定理2 設(shè)g(x)無重根，則結(jié)式循環(huán)矩陣線性方程組Ax =b 有無窮多解的充要條件為(f(x)，g(x))≠1，且AA(1，2)b=b。當(dāng)結(jié)式循環(huán)矩陣線性方程組Ax=b 有無窮多解時(shí)，存在結(jié)式循環(huán)矩陣H 及C，使得C 的第一列X1為Ax=b 的一個(gè)特解，X=X1+(I-H)Z 為Ax=b 的通解，Z 為任意的n 維列向量.

設(shè)(f(x)，g(x))=d(x)≠1，且設(shè)f(x)=d(x)f1(x)，g(x)=d(x)g1(x)，則(f1(x)，g1(x))=1，由于g(x)無重根，所以(d(x)，g1(x))=1，從而(f(x)，g1(x))=1，(f(x)d(x)，g1(x))=1.

設(shè)b=(b0，b1，…，bn-1)T，以b 為第一列構(gòu)造一結(jié)式循環(huán)矩陣

且設(shè)B 的表征多項(xiàng)式為h(x).多項(xiàng)式矩陣

經(jīng)過一系列初等行變換可化為

于是 f(x)d(x)u(x)+g1(x)v(x)=1，d(x)u(x)h(x)=c(x)，d(x)u(x)f(x)=r(x).

由f(x)d(x)u(x)+g1(x)v(x)=1 得

若令T=d(P)u(P)，C=c(P)，H=r(P)，則ATA =A，TAT =T，C =TB，H =TA，且T，C，H 均為結(jié)式循環(huán)矩陣.由ATA=A，TAT=T 可知T=A(1，2).因?yàn)镃 的第一列為Tb，且ATb =AA(1，2)b =b，所以C 的第一列Tb 為Ax=b 的一個(gè)特解.又A［Tb+(I-H)Z］=b+AZ-AHZ=b+AZ-ATAZ=b，故X=X1+(IH)Z 為Ax=b 的通解，Z 為任意的n 維列向量.

3 算法與算例

根據(jù)定理1 和定理2 的證明，不難得到求結(jié)式循環(huán)矩陣線性方程組Ax=b 解的方法，其步驟如下:

(1)求多項(xiàng)式f(x)，g(x)，h(x)及矩陣P;

(3)若d(x)=1，則T=c(P)的第一列即為Ax=b 的唯一解;

(4)若d(x)≠1，設(shè)g(x)=d(x)g1(x)，利用行初等變換化多項(xiàng)式矩陣

則C=c(P)的第一列為Ax=b 的一個(gè)特解X1，X=X1+(I -H)Z 為Ax =b 的通解，H =r(P)，Z 為任意的n 維列向量.

例1 已知，解線性方程組Ax=b.

解 由定義可知

故 f(x)=1 -x-x2+x3，g(x)= -2 +2x-2x3+x4，h(x)= -3 -x-3x2+2x3.

因此 c(x)=3 -2x+2x2-5x3+2x4，從而

所以原方程組的唯一解為(7，-2，0，-12)T.

故 f(x)=1 -2x+x2，g(x)=1 -x-x2+x3，h(x)=2 -4x+2x2.顯然(f(x)，g(x))=d(x)=f(x)=(x-1)2，g1(x)= -x-1.

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