偽補(bǔ)MS-代數(shù)的核理想與同余關(guān)系

趙秀蘭，劉 潔

(黃河科技學(xué)院數(shù)理部，河南鄭州450063)

0 引言

1個(gè)偽補(bǔ)代數(shù)(簡稱p-代數(shù))指的是1個(gè)代數(shù)(L;∨，∧，*)，L具有1個(gè)最小元0及1個(gè)映射*:.p-代數(shù)的基本性質(zhì)請(qǐng)參見文獻(xiàn)［1-3］.文獻(xiàn)［4］在德摩根代數(shù)和Stone代數(shù)的基礎(chǔ)上抽象出MS-代數(shù)，MS-代數(shù)是指1個(gè)有界配格被賦予1個(gè)1元運(yùn)算x→x°使得x≤x°°且有(x∧y)°=x°∨y°，1°=0.方捷［5］在p-代數(shù)與MS-代數(shù)的基礎(chǔ)上引入1類新的代數(shù)，稱為偽補(bǔ) MS-代數(shù)(L;∨，∧，*，°，0，1)(簡稱 pMS-代數(shù)).pMS-代數(shù)指的是1個(gè)有界分配格，被賦予2個(gè)1元運(yùn)算*和°，即(L;*)是1個(gè)p-代數(shù)，(L;°)是1個(gè)MS-代數(shù)，且運(yùn)算*和°滿足交換律.文獻(xiàn)［5］從pMS-代數(shù)的運(yùn)算屬性，同余關(guān)系及其次直不可約代數(shù)的角度研究了代數(shù)的結(jié)構(gòu).

理想是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要工具.目前，有些學(xué)者借助理想已經(jīng)刻畫了部分代數(shù)的結(jié)構(gòu).如文獻(xiàn)［6］研究了偽補(bǔ)Ockham代數(shù)上的理想與濾子，構(gòu)造出了具有核理想與余核濾子的最小同余關(guān)系和最大同余關(guān)系.2007年，方捷等［7］刻畫了平衡擬補(bǔ)Ockham代數(shù)的理想格的性質(zhì)，將理想格構(gòu)造成了一個(gè)偽補(bǔ)代數(shù).王雷波等［8］研究了雙重偽補(bǔ)代數(shù)的假值理想和假值同余.文獻(xiàn)［9］研究了雙重偽補(bǔ)Ockham代數(shù)上的理想與濾子的性質(zhì)，結(jié)論是雙重偽補(bǔ)Ockham代數(shù)上的理想格與其濾子格同構(gòu).文獻(xiàn)［10］對(duì)于BR0代數(shù)中的*理想及其誘導(dǎo)的商代數(shù)給出了特征刻畫.在此研究工作的基礎(chǔ)上，本文主要討論pMS-代數(shù)的理想格及核理想的性質(zhì)與特征，并刻畫由pMS-代數(shù)的核理想生成的同余關(guān)系.

設(shè)I是格L的子格，如果x，y∈L，y≤x∈I總有y∈I，則稱子格I是格L的理想.對(duì)于L的理想I，若存在L的1個(gè)同余關(guān)系φ使得I=Kerφ，其中Kerφ=，稱理想I為L的核理想.假定L是pMS-代數(shù)，設(shè)θ是L的1個(gè)格同余，且?a，b∈L，(a，b)∈ θ蘊(yùn)涵(a*，b*)∈ θ及(a°，b°)∈θ，則稱θ是L的1個(gè)同余.設(shè)a，b是L中的元素，又F是L的1個(gè)子集.將用符號(hào)θ(a，b)和θlat(a，b)分別表示由a，b所生成的主同余和格主同余;用θ(F)和θlat(F)分別表示由F所生成的主同余和格主同余;符號(hào)ConL表示L的所有同余所組成的同余格.

1 核理想的性質(zhì)

核理想是1類特殊的理想［11］，理想若要轉(zhuǎn)化為核理想，在pMS-代數(shù)中需有如下性質(zhì).

定理1 設(shè)(L;∨，∧，*，°，0，1)是1個(gè) pMS-代數(shù)，I是L的理想，則I是L的核理想，當(dāng)且僅當(dāng)(a∈L)a∈I?{a＊＊，a*°}?I.

證充分性設(shè)I是L的核理想，則?φ∈ConL 使得I=Kerφ.令 a ∈I，則有 a ≡0(φ)，從而a＊＊≡0(φ)，a*°≡0(φ)，于是由核理想的定義知{a＊＊，a*°}?I.

必要性設(shè)?a∈L，a∈I蘊(yùn)涵a＊＊，a*°∈I.在L上定義等價(jià)關(guān)系RI如下:

(x，y)∈ RI?(?i∈I)x∨i=y∨i.易見，RI是1個(gè)格同余.

下證RI∈ConL.事實(shí)上，若(x，y)∈ RI，則?i∈I使得x∨i=y∨i.從而有x*∧i*=y*∧i*，故(x*∧i*)∨i＊＊=(y*∧i*)∨i＊＊.即(x*∨i＊＊)∧(i*∨i＊＊)=(y*∨i＊＊)∧(i*∨i＊＊).

由文獻(xiàn)［2］知i*∨i＊＊=1，因此，x*∨i＊＊=y*∨i＊＊.又由已知得i＊＊∈I，所以(x*，y*)∈RI.

另一方面，由x∨i=y∨i得x°∧i°=y°∧i°.故有(x°∧i°)∨i*°=(y°∧i°)∨i*°，從而得(x°∨i*°)∧(i°∨i*°)=(y°∨i*°)∧(i°∨i*°).

由文獻(xiàn)［5］知 i°=i＊＊°，于是得 i°∨i*°=i＊＊°∨i*°=(i＊＊∧i*)°=0°=1，故x°∨i*°=y°∨i*°.又由已知得 i*°∈I，因此(x°，y°)∈ RI.所以RI∈ConL.

下證KerRI=I.若x∈KerRI，即(x，0)∈RI，則?i∈I使得 x∨i=i.從而 x≤i∈I，故 x∈I，因此KerRI?I.

另一方面，設(shè)i∈I，由已知得i＊＊∈I.又由文獻(xiàn)［2］知 i≤i＊＊，故 i∈ KerRI，從而有I? KerRI.所以KerRI=I.

由定理1知，RI是具有核理想I的1個(gè)同余關(guān)系.同時(shí)，RI具有下面的性質(zhì).

推論1 RI是具有核理想I的最小同余關(guān)系.

證由定理1的證明過程知，RI是具有核理想I的同余關(guān)系.設(shè)φ∈ConL且具有核理想I，即I=Kerφ.?i∈I有 i≡0(φ).若(x，y)∈ RI，則 ?i∈I使得x∨i=y∨i.于是得x≡x∨i(φ)，y≡y∨i(φ)，從而有(x，y)∈ φ，所以 RI≤φ.

設(shè)(L;∨，∧，*，°，0，1)是 1 個(gè) pMS-代數(shù)，記I(L)，KI(L)分別為L的所有理想與所有核理想構(gòu)成的集合.

定理2 設(shè)(L;∨，∧，*，°，0，1)是1個(gè) pMS-代數(shù)，則KI(L)是I(L)的子格.

證若I，J∈ KI(L)，易得I∧J∈ KI(L).

下證I∨J∈KI(L).令x∈I∨J，由文獻(xiàn)［3］知，?i∈I及j∈J使得x≤i∨j.從而由文獻(xiàn)［5］知x＊＊≤i＊＊∨j＊＊，x*°≤i*°∨j*°.又因?yàn)镮，J∈KI(L)，根據(jù)定理 1 知 i＊＊∈I，i*°∈I，j＊＊∈ J，j*°∈J.所以x＊＊，x*°∈I∨J.又由定理1得I∨J∈KI(L).因此KI(L)是I(L)的子格.

定理3 設(shè)(L;∨，∧，*，°，0，1)是1個(gè) pMS-代數(shù)，令，其中RI如定理1中定義，則C*(KI(L))是ConL的子格.

證易得R{0}=ω(相等關(guān)系)及RL=ι(泛同余關(guān)系).

先證 ?I，J ∈ KI(L)，有 RI∧RJ=RI∧J.

由定理2 知I∧J∈KI(L).設(shè)(x，y)∈RI∧RJ，由文獻(xiàn)［3］知(x，y)∈RI且(x，y)∈RJ.因此?i∈I，j∈ J使得 x∨i=y∨i，x∨j=y∨j，從而有x∨(i∧j)=y∨(i∧j).又因?yàn)閕∧j∈I∧J，所以(x，y)∈ RI∧J.故 RI∧RJ≤RI∧J.

另一方面，設(shè)(x，y)∈ RI∧J，則 ?i∈I∧J使得x∨i=y∨i，又因?yàn)閕∈I且i∈J.于是得(x，y)∈RI，(x，y)∈ RJ，因此(x，y)∈ RI∧RJ，從而 RI∧J≤RI∧RJ.所以 RI∧RJ=RI∧J.

下證 ?I，J ∈ KI(L)，有 RI∨RJ=RI∨J.

由定理2 知I∨J∈KI(L).設(shè)(x，y)∈RI∨J，則?h∈I∨J有 x∨h=y∨h.由文獻(xiàn)［3］知，?i∈I，i∈J使得h≤i∨j.于是得x∨i∨j=y∨i∨j，所以有

因此(x，y)∈ RI∨RJ，從而有 RI∨J≤RI∨RJ.

另一方面，設(shè)(x，y)∈ RI∨RJ，則 ?x=x0，x1，…，xn-1=y且(xi，xi+1)∈ RI或者(xi，xi+1)∈ RJ.不失一般性，假設(shè) x=x0≡RIx1≡RJx2≡RIx3≡ … ≡ xn-1=y，則 ?i1，i2，…，it∈I，j1，j2，…，js∈ J，使得

x∨i1=x1∨i1，x1∨j1=x2∨j1，x2∨i2=

x3∨i2，….

令i=i1∨i2∨…∨it∨j1∨j2∨…∨js，顯然有i∈I∨J.因此x∨i=x1∨i= …=y∨i，即(x，y)∈ RI∨J.故 RI∨RJ≤RI∨J.

2 核理想的同余關(guān)系

定理4 設(shè)(L;∨，∧，*，°，0，1)是pMS-代數(shù)，I是L的核理想，則θ(I)=θlat(I)∨θlat(Io).

證設(shè)a，b∈L且a≤b，易得a*，b*∈Io.由定理1知a°*，b°*∈I.又由文獻(xiàn)［5］知，a°=a°＊＊，b°=b°＊＊，從而有 a°，b°∈Io. 所以 θlat(a，b)≤θlat(I)，θlat(b°，a°)≤θlat(Io)，θlat(b*，a*)≤θlat(Io).由文獻(xiàn)［5］知，若L∈pMS，a，b∈L且a≤b有θ(a，b)= θlat(a，b)∨θlat(b°，a°)∨θlat(b*，a*).所以 θ(a，b)≤θlat(I)∨θlat(Io).由文獻(xiàn)［3］知，于是可得 θ(I)≤θlat(I)∨θlat(Io).

另一方面，設(shè)a，b∈Io，a≤b，由Io的定義知，?c∈I使得b≥a≥c*.由于(0，c)∈θ(I)，因此(c*，1)∈ θ(I).又因?yàn)?a，a)，(b，b)∈ θ(I)，故(a∨c*，a∨1)∈θ(I)，(b∨c*，b∨1)∈θ(I)，即(a，1)∈ θ(I)，(b，1)∈ θ(I)，從而得(a，b)∈θ(I).結(jié)合，故有θ(Io)≤θ(I)，所以 θlat(I)∨θlat(Io)≤θ(I).

定理5 設(shè)(L;∨，∧，*，°，0，1)是pMS-代數(shù)，I是L的核理想，則

(x，y)∈ θ(I)?(?a，b∈I)(x∨a)∧b*=

(y∨a)∧b*.

證在L上定義1個(gè)等價(jià)關(guān)系φ如下:

(x，y)∈ φ?(?a，b∈I)(x∨a)∧b*=

(y∨a)∧b*.

易見，φ是1個(gè)格同余.

先證φ∈ConL.設(shè)(x，y)∈φ，則?a，b∈I使得(x∨a)∧b*=(y∨a)∧b*.故

(x°∧a°)∨b*°=(y°∧a°)∨b*°，從而有(x°∨b*°)∧(a°∨b*°)=(y°∨b*°)∧(a°∨b*°).

又因?yàn)閍°∨b*°≥a°，于是(x°∨b*°)∧a°=(y°∨b*°)∧a°.由文獻(xiàn)［5］知 a°=a°＊＊=(a°*)*，故(x°∨b*°)∧(a°*)*=(y°∨b*°)∧(a°*)*.由定理1 知 b*°，a°*∈I，故(x°，y°)∈ φ.

另一方面，由(x∨a)∧b*=(y∨a)∧b*得(x*∧a*)∨b＊＊=(y*∧a*)∨b＊＊，即

(x*∨b＊＊)∧(a∧b*)*=(y*∨b＊＊)∧

(a∧b*)*.

又由定理1知b＊＊∈I且a∧b*≤a∈I，故由φ的定義得(x*，y*)∈φ.因此φ∈ConL.

下證φ= θ(I).設(shè)(x，y)∈φ，則?a，b∈I使得(x∨a)∧b*=(y∨a)∧b*.因?yàn)?a，0)∈θlat(I)，(b*，1)∈ θlat(Io)，所以(x，x∨a)∈θlat(I)，((x∨a)∧b*，x∨a)∈ θlat(Io)，因此

(x，(x∨a)∧b*)∈ θlat(I)∨θlat(Io).

同理可得(y，(y∨a)∧b*)∈ θlat(I)∨θlat(Io).所以(x，y)∈ θlat(I)∨θlat(Io)，即 φ≤θlat(I)∨θlat(Io)，結(jié)合定理4知φ≤θ(I).

另一方面，設(shè)(x，y)∈ θ(I)= θlat(I)∨θlat(Io)，則 ?x=x0，x1，…，xn-1=y 且(xi，xi+1)∈θlat(I)或者(xi，xi+1)∈ θlat(Io)(i=0，1，2，…，n-2).不失一般性，假設(shè)

則 ?i1，i2，…，it∈I，j1，j2，…，js∈I，使得x∨i1=x1∨i1，x1∧j1*=x2∧j1*，x2∨i2=x3∨i2，x3∧j2*=x4∧j2*，….

因此(x，y)∈ φ，故 θ(I)≤φ.

推論2 設(shè)(L;∨，∧，*，°，0，1)是pMS-代數(shù)，I是L的核理想，x，y∈L，則下列命題等價(jià):

(i)(x，y)∈ θ(I);

(ii)(?i∈I)x∨i=y∨i;

(iii)(?i，j∈I)(x∨i)∧j*=(y∨i)∧j*.

證顯然有(ii)?(iii).

由定理5知，(i)?(iii).

只需證(iii)?(ii).設(shè)?i，j∈I使得(x∨i)∧j*=(y∨i)∧j*.因此((x∨i)∧j*)∨j＊＊=((y∨i)∧j*)∨j＊＊，即 x∨(i∨j＊＊)=y∨(i∨j＊＊).又由定理1知j＊＊∈I，i∈I，故i∨j＊＊∈I，于是(ii)得證.

3 結(jié)論

本文將核理想的概念引入到偽補(bǔ)MS-代數(shù)上，通過構(gòu)造具有核理想的同余關(guān)系，利用偽補(bǔ)MS-代數(shù)主同余表示定理，獲得了理想成為核理想的充要條件以及核理想所生成的同余關(guān)系的代數(shù)表達(dá)式.所得結(jié)果豐富了格序代數(shù)理論［12］.

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