內(nèi)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)模態(tài)影響理論及數(shù)值驗(yàn)證＊

熊云峰 陳章蘭 葉家瑋

（集美大學(xué)輪機(jī)工程學(xué)院1） 廈門 361021） （華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院2） 廣州 510090）

0 引 言

對承受動載的結(jié)構(gòu)來說，如何避免共振一直是困擾結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化的關(guān)鍵問題，而對結(jié)構(gòu)模態(tài)精確計(jì)算是振動控制的前提．模態(tài)是結(jié)構(gòu)的固有振動特性，每一個模態(tài)對應(yīng)有固有頻率及振型．影響結(jié)構(gòu)模態(tài)的因素很多，以船體結(jié)構(gòu)為例，凡是影響船體的剛度、質(zhì)量和阻尼的因素，如船體結(jié)構(gòu)、船舶機(jī)電設(shè)備和壓載水布置、流體和結(jié)構(gòu)耦合作用等，都會直接或間接影響到結(jié)構(gòu)振動特性［1－2］．內(nèi)應(yīng)力是在結(jié)構(gòu)加工或服役時產(chǎn)生的，如索結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力，膠接、焊接、注塑、電鍍等接頭加工工藝產(chǎn)生的應(yīng)力．內(nèi)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能影響的研究，主要圍繞橋梁工程的梁結(jié)構(gòu)或懸索結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力［3－4］，而在諸如焊接殘余應(yīng)力等內(nèi)應(yīng)力對復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能影響的研究方面，尚非常缺乏；而且，由于內(nèi)應(yīng)力的隱性性，其對結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能的影響往往易被忽略．然而，隨著振動控制技術(shù)的提高，探討內(nèi)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能影響的定性定量評價問題、是否存在改變振型、使同振型頻率偏離或是滋生新振型等問題，對豐富結(jié)構(gòu)的振動控制技術(shù)、完善內(nèi)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)動力學(xué)影響理論顯然具有非常重要的意義．

從材料本構(gòu)方程出發(fā)，采用有限元方法和矩陣范數(shù)工具，探討內(nèi)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能的影響，對認(rèn)識內(nèi)應(yīng)力影響結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能規(guī)律以及結(jié)構(gòu)振動控制、改善引起內(nèi)應(yīng)力的加工工藝等提供參考．

1 內(nèi)應(yīng)力影響結(jié)構(gòu)模態(tài)理論

1．1 內(nèi)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)剛度的影響

結(jié)構(gòu)承載過程的變形問題可視為大變形、小應(yīng)變情形，采用有限元法，結(jié)構(gòu)中具有內(nèi)應(yīng)力時應(yīng)力σ與應(yīng)變ε關(guān)系滿足［5］

式中：D為結(jié)構(gòu)單元彈性矩陣；σ0為結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力．結(jié)構(gòu)幾何方程

式中：B為結(jié)構(gòu)單元應(yīng)變矩陣；δ為位移向量．

設(shè)系統(tǒng)所受內(nèi)力、外力F外的矢量和為F，根據(jù)虛功原理，內(nèi)力在虛位移δ＊上所做的功，與系統(tǒng)應(yīng)力在虛應(yīng)變ε＊上所做的功相等，即

將式（2）代入（3），并由虛位移δ＊的任意性，可得幾何非線性問題的一般平衡方程

若上式σ中考慮內(nèi)應(yīng)力情形，即將式（1）代入（4）

設(shè)系統(tǒng)所受力為保守力系，取式（5）的微分

對上式右側(cè)第一項(xiàng)，代入式（2），有

同理，式（6）右側(cè)第二項(xiàng)變形為

將式（7），（8）代入式（6），得結(jié)構(gòu)存在內(nèi)應(yīng)力時平衡表達(dá)式的微分形式

而一般情況下平衡方程微分表達(dá)式為

對比式（9）與（10），則考慮結(jié)構(gòu)存在初始內(nèi)應(yīng)力情況下，結(jié)構(gòu)單元剛度矩陣具有形式

由式（11）單剛可集合成總剛∑Ke．

1．2 考慮內(nèi)應(yīng)力影響的模態(tài)方程的修正

模態(tài)分析基本方程可表述為

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；x，˙x，¨x分別為位移．速度和加速度向量；F（t）為載荷向量．

若忽略阻尼的影響，即考慮結(jié)構(gòu)自由振動模態(tài)，式（12）可進(jìn)一步簡化成

將式（11）代入式（13），可得考慮結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力影響下的結(jié)構(gòu)自由振動模態(tài)方程

式（14）進(jìn)一步可轉(zhuǎn)變?yōu)榍缶仃嚨奶卣鞲吞卣鞣匠?/p>

式中：ω為固有頻率．

顯然，上式根據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)考慮了結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力對模態(tài)影響的效應(yīng)，F(xiàn)EM模態(tài)計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際工況，內(nèi)應(yīng)力使剛度變化的同時，使矩陣特征值改變，必然改變結(jié)構(gòu)自由振動模態(tài)．

2 內(nèi)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)模態(tài)影響程度

為討論剛度矩陣產(chǎn)生變化時，自由振動模態(tài)固有頻率發(fā)生的影響，將式（13）改寫為

式中：φ為振型向量．

引入結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力，即當(dāng)系數(shù)矩陣K產(chǎn)生擾動Kσ0 時，相應(yīng)地引起擾動 Δω2，式（16）變?yōu)?/p>

式（16）代入（17），則得頻率平方的偏離量

對非零振型，可將式（18）等式兩側(cè)同除式（16），得內(nèi)應(yīng)力對固有頻率平方影響幅度的一般表達(dá)式?

由式（19）可見，由內(nèi)應(yīng)力引起相同振型固有頻率平方的偏離，其相對偏離大小與結(jié)構(gòu)剛度、內(nèi)應(yīng)力引起剛度的改變量及質(zhì)量矩陣有關(guān)，即對剛度值的偏離產(chǎn)生一定程度的放大．

3 內(nèi)應(yīng)力影響結(jié)構(gòu)模態(tài)的數(shù)值驗(yàn)證

考慮內(nèi)應(yīng)力影響的有限元結(jié)構(gòu)模態(tài)分析分2步，第一步計(jì)算由應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)力剛化矩陣，生成emat文件；第二步，通過激活應(yīng)力剛化效應(yīng)，有限元以emat文件重構(gòu)結(jié)構(gòu)剛度陣，即疊加應(yīng)力剛度陣到主剛度陣，構(gòu)成完全一致剛度陣．模態(tài)提取采用Lanczos方法．有限元分析時，內(nèi)應(yīng)力可采用link單元，通過設(shè)置其初始應(yīng)變，且以不同初始應(yīng)變值代表應(yīng)力水平．下面以簡單結(jié)構(gòu)為例直觀闡明內(nèi)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)模態(tài)影響理論，而以復(fù)雜結(jié)構(gòu)為例說明內(nèi)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能影響的實(shí)踐意義．

3．1 簡單結(jié)構(gòu)

設(shè)結(jié)構(gòu)為一個具有兩節(jié)點(diǎn)的link單元，則其總剛度矩陣K為

在桿上施加固有應(yīng)變ε代表內(nèi)應(yīng)力，產(chǎn)生的擾動矩陣為

顯然，應(yīng)力剛度陣隨施加ε即初始應(yīng)力變化．將式（20）和（21）兩剛度疊加作為模態(tài)計(jì)算的總剛矩陣，現(xiàn)取五種應(yīng)力水平，σ0＝0，100，150，200，250 MPa，運(yùn)行模態(tài)分析并提取固有頻率，列于表1．

表1 二節(jié)點(diǎn)桿件振動頻率

由表1可見，（1）當(dāng)有內(nèi)應(yīng)力存在時，新增模態(tài)，即有內(nèi)應(yīng)力情形的一階固有頻率，不過新增的固有頻率與無應(yīng)力時固有頻率相比很??；（2）當(dāng)ε＜0．01（對應(yīng)應(yīng)力水平＜σs）時，振型相同的固有頻率幾乎隨ε增加“線性”增加，但增加幅度不超過1%．只有ε增加到0．1時，固有頻率才會出現(xiàn)10%左右的增幅，但幾乎不可能達(dá)到此種極端情形．所以說，二節(jié)點(diǎn)桿件結(jié)構(gòu)的僅具有理論驗(yàn)證意義．

3．2 復(fù)雜結(jié)構(gòu)

復(fù)雜結(jié)構(gòu)剛度矩陣非常龐大，列出并非易事，因此內(nèi)應(yīng)力水平對結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能影響還須借助數(shù)值模擬．考慮加載的復(fù)雜性，以686TEU集裝箱船的機(jī)艙段作為復(fù)雜結(jié)構(gòu)、焊接殘余應(yīng)力作為內(nèi)應(yīng)力的實(shí)例說明．機(jī)艙段承載考慮浮力、水壓力以及鄰段施加的彎矩．有限元模型采用殼單元shell63模擬板材、梁單元beam188模擬肋骨和縱桁材，link10單元模擬焊縫并定義其初始應(yīng)變，如圖1中放大圖所示，共捕捉了z向54道、x，y向各28條對稱角焊縫．結(jié)構(gòu)網(wǎng)格按骨材、縱桁材分布間隔劃分，為使網(wǎng)格尺寸在各方向均勻，在梁長縱向網(wǎng)格要細(xì)．約束施加在兩端面形心處，共6個自由度，艙段的有限元模型見圖1．

圖1 機(jī)艙段有限元模型

運(yùn)行模態(tài)分析，提取機(jī)艙段二節(jié)點(diǎn)垂向振動模態(tài)，其振型見圖2。

圖2 機(jī)艙段二節(jié)點(diǎn)垂向振型（Uy）

機(jī)艙段二節(jié)點(diǎn)垂向振動固有頻率隨應(yīng)力水平變化情況如圖3所示，變化幅度示于圖4．圖中有空缺的部分是由于應(yīng)力計(jì)算過程不收斂，因而沒有模態(tài)計(jì)算結(jié)果．

圖3 機(jī)艙段固有頻率隨應(yīng)力水平變化趨勢

圖4 機(jī)艙段固有頻率變化幅度

由圖3，4可知，當(dāng)焊接殘余應(yīng)力水平較低時（＜52MPa），二節(jié)點(diǎn)垂向振動固有頻率隨應(yīng)力水平增加而升高，當(dāng)σ0＝52MPa時，振動固有頻率達(dá)36．528Hz，與無焊接殘余應(yīng)力時固有頻率28．769Hz相比，變化幅度達(dá)到最大，為27%；但當(dāng)應(yīng)力水平繼續(xù)提高時，固有頻率反而出現(xiàn)降低，在焊接殘余應(yīng)力水平σ0＝63MPa時，影響幅度為21．3%．比較簡單結(jié)構(gòu)與復(fù)雜結(jié)構(gòu)的相同應(yīng)力水平時，影響固有頻率的程度，可見內(nèi)應(yīng)力水平一致，但影響幅度并不相同，如簡單結(jié)構(gòu)在應(yīng)力為50MPa時，影響幅度不超過1%，驗(yàn)證了式（19），即內(nèi)應(yīng)力對模態(tài)影響幅度，不僅與內(nèi)應(yīng)力水平有關(guān)，而且經(jīng)過了結(jié)構(gòu)剛度陣、質(zhì)量矩陣的放大．

4 結(jié) 論

1）內(nèi)應(yīng)力是隱性的，由于難以確定其邊界條件，實(shí)踐中討論影響結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能的因素時，往往被忽略．采用有限元和矩陣范數(shù)的方法，推導(dǎo)了內(nèi)應(yīng)力影響結(jié)構(gòu)剛度公式，并采用矩陣范數(shù)工具，建立了內(nèi)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率影響幅度表達(dá)式．

2）采用二節(jié)點(diǎn)桿結(jié)構(gòu)直觀驗(yàn)證了內(nèi)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響，即內(nèi)應(yīng)力的存在不僅使結(jié)構(gòu)振動的固有頻率發(fā)生偏離，但偏離程度不大；而且，對簡單結(jié)構(gòu)來說，還可能滋生新的振型．

3）復(fù)雜結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬驗(yàn)證模態(tài)影響結(jié)構(gòu)表明，低內(nèi)應(yīng)力水平使結(jié)構(gòu)振動固有頻率偏離效果呈“線性”關(guān)系，但當(dāng)內(nèi)應(yīng)力水平較高時，結(jié)構(gòu)振動固有頻率呈現(xiàn)波動趨勢，固有頻率偏離程度與應(yīng)力水平高低及結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度有關(guān)．

［1］YUCEL A，ARPACI A．Analysis of free and forced ship vibrations using finite element method［C］∥ASME 2010 10th Biennial Conference，Brisbane，Australia，2010：147－156．

［2］金廣文，何 琳，姜榮?。鞴恬詈蠈﹄p層圓柱殼體振動特性的影響［J］．武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2007，31（5）：882－885．

［3］張耀庭，汪霞利，李瑞鴿．全預(yù)應(yīng)力梁振動頻率的理論分析與試驗(yàn)研究［J］．工程力學(xué)，2007，24（8）：116－120．

［4］JORG F U，ANNE T，GUIDO D R．System identification and damage detection of a prestressed concrete beam［J］．Journal of Structure Engineering，2006，132（11），1691－1698．

［5］周水興，陳山林．計(jì)入初始應(yīng)變項(xiàng)的平面梁單元非線性剛度矩陣［J］．重慶建筑大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，29（4）：70－74．