促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的線性代數(shù)教學(xué)研究與實(shí)踐

陳建華 劉金林

[摘 要]根據(jù)線性代數(shù)課程教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知水平、心理特征，選準(zhǔn)基于“問(wèn)題解決”的課程教學(xué)作為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的切入點(diǎn)，探索如何以為學(xué)生提供問(wèn)題解決情境為抓手，從課程、教材和教法三個(gè)層面全方位進(jìn)行線性代數(shù)課程建設(shè).依托線性代數(shù)課程，如何利用核心問(wèn)題統(tǒng)領(lǐng)課程數(shù)學(xué)內(nèi)容，利用綜合問(wèn)題增進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系，利用應(yīng)用問(wèn)題體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，利用趣味問(wèn)題發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化功能，是線性代數(shù)教學(xué)研究與實(shí)踐中的重要問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞]理解性教學(xué) 數(shù)學(xué)理解 問(wèn)題解決 線性代數(shù)

[中圖分類號(hào)] G421 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2014）01-0091-03

線性代數(shù)是一種語(yǔ)言.在現(xiàn)代社會(huì)，除了算術(shù)以外，線性代數(shù)是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科了.[1]線性代數(shù)課程目標(biāo)的取向是幫助學(xué)生追求智力的卓越發(fā)展，數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.瑞典數(shù)學(xué)家LarsGarding指出：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來(lái)就和文盲差不多，然而按照現(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過(guò)公理化來(lái)表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型……這就帶來(lái)了教學(xué)上的困難.”如何讓學(xué)生更好地掌握線性代數(shù)的基本理論，熟練運(yùn)用線性代數(shù)的核心思想與技術(shù)，一直是備受關(guān)注的課題.

自20世紀(jì)80年代以來(lái)，人們倡導(dǎo)將知識(shí)與其應(yīng)用情境聯(lián)系起來(lái)的教育方法，建議通過(guò)支持探究、應(yīng)用、問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)來(lái)支持發(fā)展21世紀(jì)技能。[2]在這樣的背景下，我們的具體做法是：以教學(xué)問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，從課程、教材和教法三方面做了全方位探索，精心設(shè)計(jì)教學(xué)問(wèn)題，認(rèn)真組織、實(shí)施教學(xué)，既有理論研究，又有實(shí)踐創(chuàng)新.

一、準(zhǔn)確定位，構(gòu)建線性代數(shù)課程體系

“問(wèn)題解決”被教育專家稱作“21世紀(jì)課程的基礎(chǔ)”.在此觀點(diǎn)下，課程的基本單位就是“問(wèn)題”，課程改革的主要任務(wù)是“重新組織”課程，即通過(guò)問(wèn)題設(shè)計(jì)來(lái)組織課程內(nèi)容.自2007年以來(lái)，我們從線性代數(shù)課程結(jié)構(gòu)、與相關(guān)課程的關(guān)系等方面開(kāi)展了課程內(nèi)容研究.

（一）基于問(wèn)題解決理論，構(gòu)建線性代數(shù)課程內(nèi)容體系

我們運(yùn)用“問(wèn)題解決”理論對(duì)線性代數(shù)課程內(nèi)容作了梳理，將科學(xué)研究方法融入課程教學(xué)，以期在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中對(duì)促進(jìn)學(xué)生的概念性理解起一定的作用.對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)講，線性方程組的求解、矩陣的對(duì)角化判定和二次型的化簡(jiǎn)是該課程的三個(gè)核心問(wèn)題.針對(duì)以上三個(gè)問(wèn)題，從知識(shí)準(zhǔn)備的角度將行列式、矩陣和向量等基礎(chǔ)知識(shí)作為課程的基礎(chǔ)內(nèi)容，循著知識(shí)發(fā)展的軌跡，逐一展開(kāi)三個(gè)核心問(wèn)題，形成“基礎(chǔ)知識(shí)+問(wèn)題解決+應(yīng)用”的課程內(nèi)容框架.[3]這樣，有利于幫助學(xué)生建立線性代數(shù)知識(shí)體系架構(gòu)，形成對(duì)課程的整體性的認(rèn)知.知識(shí)模塊順序及關(guān)系如圖1：

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圖1 知識(shí)模塊關(guān)系圖

教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)再將每個(gè)章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容拆解為若干易于理解的單元問(wèn)題，而具體概念或定理的教學(xué)，采用構(gòu)建問(wèn)題“鏈”來(lái)組織，這種問(wèn)題鏈的作用正像一顆顆珍珠串成一串，彎一個(gè)小指頭就能把它輕輕提起來(lái).這種加工，在加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系的同時(shí)，提高了教學(xué)效率.[3]同時(shí)方便在課堂教學(xué)中采用問(wèn)題來(lái)引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、思路和行為.

（二）加強(qiáng)相關(guān)課程聯(lián)系，高觀點(diǎn)理清數(shù)與形的關(guān)系

根據(jù)教學(xué)的需要，我們開(kāi)展了線性代數(shù)與解析幾何、微積分、概率統(tǒng)計(jì)、矩陣論等課程之間聯(lián)系的研究，打破大學(xué)數(shù)學(xué)課程之間的界限，利用綜合問(wèn)題加強(qiáng)相關(guān)課程內(nèi)容上的聯(lián)系與整合.從“行列式的幾何意義及其應(yīng)用”和“幾何直觀在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用”等視角，引導(dǎo)學(xué)生利用幾何直觀來(lái)理解抽象的代數(shù)概念.從“如何用函數(shù)思想解線性代數(shù)問(wèn)題”探討了微積分與線性代數(shù)的聯(lián)系.借助數(shù)學(xué)模型介紹矩陣在概率統(tǒng)計(jì)課程中的應(yīng)用.相關(guān)課程關(guān)系結(jié)構(gòu)如圖2：

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圖2 課程聯(lián)系關(guān)系圖

對(duì)于線性代數(shù)與矩陣論（后續(xù)課程）關(guān)系的研究，則是從矩陣范數(shù)、矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型和線性空間等概念入手，進(jìn)行討論.目的是讓學(xué)生了解課程的發(fā)展趨勢(shì)，接受課程的熱點(diǎn)問(wèn)題，在接受課程前沿知識(shí)的過(guò)程中體驗(yàn)創(chuàng)新的方法、創(chuàng)新的方向.這是對(duì)學(xué)生知識(shí)體系的完善，有利于學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。

二、精益求精，打造線性代數(shù)精品教材

教材是整個(gè)教育教學(xué)工作的重要組成部分，高質(zhì)量的教材及教學(xué)資源是培養(yǎng)高質(zhì)量人才的基本保證.線性代數(shù)教材作為該課程教學(xué)的知識(shí)載體和教學(xué)的基本工具，直接關(guān)系到課程教學(xué)能否為培養(yǎng)創(chuàng)新人才服務(wù).依據(jù)教育部頒發(fā)的“線性代數(shù)課程教學(xué)基本要求”和“碩士研究生入學(xué)考試大綱”，結(jié)合普通綜合性大學(xué)學(xué)生的實(shí)際情況，編寫(xiě)了線性代數(shù)教材.2007年，由機(jī)械工業(yè)出版社出版的《線性代數(shù)（第2版）》是國(guó)家十一五規(guī)劃教材.2011年，我們吸收研究成果，再次對(duì)教材作了修訂，形成如下特色：

（一）內(nèi)容宏觀組織合理，邏輯結(jié)構(gòu)清晰明了

“問(wèn)題解決”作為教學(xué)目的，教學(xué)過(guò)程要求把課程的基本概念、原理及特有的研究方法編入教材.以矩陣為編寫(xiě)主線，輔以線性空間，遵循了由淺入深、難點(diǎn)分散的原則，做到了刪繁就簡(jiǎn)，加強(qiáng)基礎(chǔ).圍繞矩陣的等價(jià)、相似和合同，把線性方程組求解、矩陣對(duì)角化判定和二次型標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題與之相對(duì)應(yīng)，利用矩陣的分塊將主要內(nèi)容有機(jī)地聯(lián)系起來(lái).“矩陣的秩”和“向量組的秩”分章而居，難點(diǎn)分解.向量與線性方程組合并編在同一章，有利于用非齊次線性方程組理解線性表示，用齊次線性方程組理解線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)，讓矩陣的初等變換很好地為線性相關(guān)性理論服務(wù).二次型和矩陣的相似對(duì)角化內(nèi)容單立成章，突出課程問(wèn)題.內(nèi)容闡述采用“幾何觀點(diǎn)”和“矩陣方法”并重，便于學(xué)生通過(guò)幾何背景理解代數(shù)概念，從幾何背景中獲得解決問(wèn)題的啟示.

（二）反映數(shù)學(xué)文化價(jià)值，展示課程應(yīng)用背景

數(shù)學(xué)文化是促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效工具，數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，最終應(yīng)該回歸于生活.我們以線性代數(shù)知識(shí)為載體，挖掘了課程若干知識(shí)點(diǎn)的文化內(nèi)涵，為教學(xué)中能更好地滲透數(shù)學(xué)文化，達(dá)到“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的教學(xué)目標(biāo)作了資源上的準(zhǔn)備.教材中設(shè)置“歷史尋根”欄目，選擇行列式、矩陣、向量和線性方程組等概念，對(duì)線性代數(shù)課程做出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家凱萊、克萊姆、范德蒙、萊布尼茲和若爾當(dāng)?shù)茸鳛槿谌朦c(diǎn)，讓學(xué)生開(kāi)闊眼界，提高素養(yǎng).

數(shù)學(xué)應(yīng)用的恰當(dāng)介紹能幫助學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)情感和強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).教材以線性代數(shù)知識(shí)為載體，通過(guò)“方法索引”和“背景聚焦”欄目，介紹重要的數(shù)學(xué)方法（解析幾何中的行列式、數(shù)學(xué)歸納法等）和數(shù)學(xué)應(yīng)用（矩陣密碼法、天氣的馬爾科夫鏈、面貌空間等）.[4]為學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)、正確運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，感受數(shù)學(xué)的威力提供素材.由于教材使用的專業(yè)較廣，所以在實(shí)際使用中，對(duì)促進(jìn)大學(xué)生文理知識(shí)的交融也發(fā)揮著積極的作用.

（3）習(xí)題設(shè)置難易得當(dāng)，補(bǔ)充內(nèi)容定位恰當(dāng)

數(shù)學(xué)習(xí)題是解決問(wèn)題的載體，它在幫助學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法，發(fā)展學(xué)生的情感、態(tài)度與價(jià)值觀方面有著不可替代的作用.如果把數(shù)學(xué)知識(shí)作為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的工具，把“解決問(wèn)題”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，那么，習(xí)題就是學(xué)生把知識(shí)用于實(shí)際的初步實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)自我的夢(mèng)工場(chǎng).我們從知識(shí)掌握功能、應(yīng)用背景分析和文化教育價(jià)值三方面探討，提出習(xí)題設(shè)計(jì)重視課程內(nèi)涵，反映知識(shí)的層次；習(xí)題設(shè)計(jì)關(guān)注生活背景，反映課程的應(yīng)用；習(xí)題設(shè)計(jì)體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化背景，增加習(xí)題的趣味性等觀點(diǎn).[5]

運(yùn)用研究成果，精心設(shè)計(jì)、編寫(xiě)了線性代數(shù)課程的教材習(xí)題、配套訓(xùn)練題、專題解析典型例題和考研模擬題.習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)，注意溝通各部分知識(shí)技能之間的聯(lián)系；反映習(xí)題在現(xiàn)實(shí)生活中原型，編入適當(dāng)合理的有教學(xué)情境的生活背景內(nèi)容；注意觸及學(xué)生的心理現(xiàn)實(shí).根據(jù)課程的特點(diǎn)，通過(guò)趣味性的習(xí)題設(shè)置懸念，揭示矛盾，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生生疑、釋疑.把思維教育作為潛在目的，把數(shù)學(xué)理解作為新目標(biāo).

三、更新觀念，營(yíng)造豐富多彩的數(shù)學(xué)課堂

教學(xué)只有符合受教育者的心理發(fā)展特點(diǎn)和規(guī)律，才有可能取得良好的教學(xué)效果.日本教育學(xué)家菊池章夫曾經(jīng)指出：“心理發(fā)展的水平與特點(diǎn)是教育的起點(diǎn)和依據(jù)，是教育的前提.”在對(duì)課程內(nèi)容研究、打造教材的同時(shí)，根據(jù)大學(xué)生的心理特點(diǎn)，我們需要更新教學(xué)理念、精心編排教學(xué)案例、積極嘗試研究性教學(xué).

（一）更新教學(xué)理念，讓學(xué)生成為問(wèn)題的解決者

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決，指學(xué)習(xí)者面對(duì)初次碰到的問(wèn)題時(shí)，在對(duì)原有數(shù)學(xué)概念、原理重新組合過(guò)程中進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的過(guò)程.[6]在教學(xué)過(guò)程中，尊重學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，在問(wèn)題解決和現(xiàn)代建構(gòu)主義教學(xué)理論指導(dǎo)下，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，我們開(kāi)展了啟發(fā)式、探究式、發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，努力將線性代數(shù)內(nèi)容的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃问?

與傳統(tǒng)教學(xué)相比，基于問(wèn)題解決的線性代數(shù)課程教學(xué)設(shè)計(jì)成功地確立了學(xué)生的主體地位和教師主導(dǎo)角色.教學(xué)中遵循“學(xué)習(xí)是一種過(guò)程，而不是結(jié)果[7]”的原則，教師給學(xué)生提供的是探究知識(shí)的問(wèn)題情境，而不僅僅是知識(shí).教師為學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)而營(yíng)造知識(shí)環(huán)境、挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，學(xué)生積極參與教學(xué)過(guò)程，在問(wèn)題解決的過(guò)程中親身實(shí)踐.學(xué)生的主體地位和教師主導(dǎo)角色得以確立.課程教學(xué)遷移模式如圖3：

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圖3 課程教學(xué)遷移模式圖

在教學(xué)中，我們不是以學(xué)生學(xué)會(huì)線性代數(shù)中某種方法作為教學(xué)的終點(diǎn)，而是鼓勵(lì)學(xué)生自己生成學(xué)習(xí)項(xiàng)目.比如矩陣等價(jià)理論的教學(xué)，從初等變換的引入，初等矩陣概念的形成，到等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型定理的證明，都圍繞問(wèn)題“矩陣求逆方法的改進(jìn)”來(lái)組織，根據(jù)學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)教學(xué)問(wèn)題，引起學(xué)生對(duì)結(jié)論迫切追求的愿望，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突.將問(wèn)題結(jié)論的尋求過(guò)程、方法的思考過(guò)程、規(guī)律的揭示過(guò)程等還給學(xué)生，讓數(shù)學(xué)“冰冷的形式”背后的數(shù)學(xué)思想呈現(xiàn)給學(xué)生，在進(jìn)行了火熱的思考后實(shí)現(xiàn)代數(shù)知識(shí)與技能的“同化”和“順應(yīng)”.另外，解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，我們?cè)O(shè)計(jì)了一些特定問(wèn)題作為學(xué)生鞏固和消化所學(xué)知識(shí)并轉(zhuǎn)化成為技能，吸收線性代數(shù)思想的重要環(huán)節(jié).

（二）滲透數(shù)學(xué)理論的文化內(nèi)涵，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

課堂教學(xué)中，我們以介紹重要概念的創(chuàng)建和演變、重訪定理的發(fā)現(xiàn)時(shí)刻、再現(xiàn)問(wèn)題的解決過(guò)程等形式作為數(shù)學(xué)文化有機(jī)融入方法，以潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的方式來(lái)傳遞數(shù)學(xué)理論的文化內(nèi)涵，呈現(xiàn)一個(gè)個(gè)豐富的課堂，給學(xué)生以廣博的文化浸染.如初等行變換概念的教學(xué)引入，提供了《九章算術(shù)》中解方程組的“直除法”和高斯的“消元法”的問(wèn)題背景，學(xué)生在學(xué)會(huì)知識(shí)的同時(shí)了解到概念的來(lái)龍去脈，讓問(wèn)題背景下的線性代數(shù)課程中的教學(xué)內(nèi)容變得“鮮活”起來(lái).讓學(xué)生在文化層面體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力，提升了數(shù)學(xué)修養(yǎng).

（三）以課程網(wǎng)站為平臺(tái)，關(guān)注學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成

問(wèn)題背景下的現(xiàn)代化教學(xué)手段的運(yùn)用，以課程網(wǎng)站為平臺(tái)，拓展課程資源.借線性代數(shù)是校級(jí)精品建設(shè)課程的契機(jī)，推進(jìn)課程網(wǎng)站建設(shè)，設(shè)置了課時(shí)講稿、電子課件、反例倉(cāng)庫(kù)、模型介紹和考研輔導(dǎo)等有特色的欄目，給學(xué)生提供更多的課程資源和個(gè)性化學(xué)習(xí)空間，努力讓學(xué)生在自己構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)的過(guò)程中，鍛煉獲取知識(shí)的能力.教學(xué)手段的改善，不僅激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，還豐富了教學(xué)方法，提升了課程內(nèi)涵.[7]

（四）強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，培育大學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力

知行統(tǒng)一是人才培養(yǎng)的要求，也是社會(huì)對(duì)人才能力的期望.根據(jù)大學(xué)生思維的辯證性成分增多、創(chuàng)造性程度提高，能夠更好地調(diào)節(jié)和控制自己的思維活動(dòng)的特點(diǎn)，我們通過(guò)對(duì)一些具體問(wèn)題（如矩陣加密，F(xiàn)ibonacci數(shù)列通項(xiàng)公式，面貌空間等）進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生在運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中思維得到鍛煉，創(chuàng)新意識(shí)得到加強(qiáng).如特征值和特征向量的教學(xué)中，引入求Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題.利用二維向量及二階矩陣表示Fibonacci數(shù)列的本質(zhì)關(guān)系fn+2=fn+1+fn，求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算矩陣的高次冪問(wèn)題.如何計(jì)算呢？矩陣相似對(duì)角化條件的討論成為教學(xué)的現(xiàn)實(shí)需求，這樣矩陣特征值和特征向量便成為呼之欲出的教學(xué)內(nèi)容.在“基于全息元的線性代數(shù)課程的教學(xué)研究”中帶領(lǐng)學(xué)生研究全息現(xiàn)象在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，探討如何運(yùn)用數(shù)學(xué)全息現(xiàn)象充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而提高教學(xué)效率.學(xué)生在經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程中，接受了數(shù)學(xué)建模的思想，增強(qiáng)了創(chuàng)新意識(shí).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“理解”無(wú)疑是第一位的，而“數(shù)學(xué)理解”已成為繼“問(wèn)題解決”之后當(dāng)今世界數(shù)學(xué)教育界所關(guān)注的又一中心話題（PMENews May 1997 edition，Mathematics Forum）.本研究是大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課建設(shè)的一次嘗試，“問(wèn)題解決”理論運(yùn)用于課程教學(xué)的一次實(shí)踐.雖然“為理解而教（Teaching for Understanding）”作為一種重要教學(xué)思想已經(jīng)逐漸被數(shù)學(xué)教育界所接受，但是真正實(shí)現(xiàn)理解性教學(xué)，提升大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)質(zhì)量仍任重道遠(yuǎn).

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[3] 陳建華，李立斌等.基于問(wèn)題解決的線性代數(shù)課程教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].高等理科教育，2011（4）：21-23.

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