某類p-葉負(fù)系數(shù)函數(shù)族的性質(zhì)

李元林，費(fèi) 華， 胡 琳

（江西理工大學(xué)，a.理學(xué)院;b.建筑與測(cè)繪工程學(xué)院，江西 贛州341000）

某類p-葉負(fù)系數(shù)函數(shù)族的性質(zhì)

李元林a，費(fèi) 華b， 胡 琳a

（江西理工大學(xué)，a.理學(xué)院;b.建筑與測(cè)繪工程學(xué)院，江西 贛州341000）

文中基于解析函數(shù)族常有的性質(zhì)，令Sp（n）是在單位開(kāi)圓盤上的解析函數(shù)族，并構(gòu)建新的p－葉負(fù)系數(shù)解析函數(shù)族Tp（n，λ，α，β），且Tp(n，λ，α，β)是Sp(n)的子族.再利用Owa等人的研究結(jié)論和方法得到解析函數(shù)族Tp（n，λ，α，β）的系數(shù)估計(jì)、偏差定理、極值點(diǎn)、Hadamart乘積和積分算子等常有的解析性質(zhì)．

負(fù)系數(shù)；解析函數(shù)；系數(shù)估計(jì)；偏差定理

0引言

解析函數(shù)是復(fù)分析研究中的一類重要的函數(shù)，國(guó)內(nèi)外許多數(shù)學(xué)工作者很早就開(kāi)始了這方面研究，并取得了極大的成效．在早期，單葉正系數(shù)解析函數(shù)的性質(zhì)研究相對(duì)較多，并得到了系數(shù)估計(jì)、偏差定理、極值點(diǎn)、Hadamart乘積、積分算子等一些解析函數(shù)常有的性質(zhì)，讀者可參考文獻(xiàn)[1,2]．文獻(xiàn)[3]通過(guò)新定義的函數(shù)族，給出了單葉負(fù)系數(shù)解析函數(shù)族常有的性質(zhì)．文獻(xiàn)[4,5]研究了某類解析函數(shù)族的極值點(diǎn)，但對(duì)此函數(shù)族的偏差定理等其它解析性質(zhì)還沒(méi)進(jìn)一步說(shuō)明．文獻(xiàn)[6,7]給出了某類解析函數(shù)的Hadamart乘積等性質(zhì)，但忽略了該族函數(shù)的偏差定理和極值點(diǎn)等性質(zhì)．近年來(lái)，又有了進(jìn)一步的拓展，由單葉推廣到p-葉（p為正整數(shù)）.文獻(xiàn)[8-12]對(duì)p-葉解析函數(shù)的系數(shù)估計(jì)、偏差定理、極值點(diǎn)和Hadamart乘積等性質(zhì)進(jìn)行了研究，得到了負(fù)系數(shù)解析函數(shù)族常有的性質(zhì)．而文獻(xiàn)[13,14]通過(guò)構(gòu)建新的函數(shù)族，得到了p-葉負(fù)系數(shù)解析函數(shù)族的領(lǐng)域，但并未考慮系數(shù)估計(jì)、偏差定理等其它的解析性質(zhì).因此，研究p-葉負(fù)系數(shù)解析函數(shù)的一些相關(guān)解析性質(zhì)是具有重要意義的．

文中通過(guò)一個(gè)具體的p-葉負(fù)系數(shù)解析函數(shù)族Tp（n，λ，α，β），利用Owa等人的研究結(jié)論和方法得到解析函數(shù)族常有的解析性質(zhì)，如系數(shù)估計(jì)、偏差定理、極值點(diǎn)、Hadamart乘積和積分算子等，從不同的側(cè)面反映了函數(shù)族特有的性質(zhì)，又進(jìn)一步完善了p-葉負(fù)系數(shù)解析函數(shù)族的理論體系.

1 預(yù)備知識(shí)

TP（n，α）是由f（z）∈Sp（n）且滿足α所作成的類，其中0≤α＜1.

定義1 復(fù)平面區(qū)域D上的解析函數(shù)f（z），若對(duì)D中任意的不同兩點(diǎn)z1，z2，且z1≠z2，有f（z1）≠f（z2），就稱作f（z）是單葉的解析函數(shù).

定義2 設(shè)X是拓?fù)渚€性空間，U是X的一個(gè)非空子集，x0是U的一個(gè)元素，如果x0不能表示成U的兩個(gè)不同元素的真線性凸組合，則稱x0是U的一個(gè)極值點(diǎn)，記U極值點(diǎn)集為EU.

命題1[5,15]u∈EU的充要條件是若且 0＜t＜1，x,y∈u，且u=tx+（1-t）y，則x=y.

定義4 Ho¨lder′s inequality的表現(xiàn)形式：

下面定義一個(gè)新的負(fù)系數(shù)函數(shù)族：

其中0≤α＜1，0≤β＜λ≤1.文中的目的就是要找出Tp（n，λ，α，β）的系數(shù)估計(jì)、偏差定理、極值點(diǎn)、Hadamart乘積和積分算子等一些解析性質(zhì).

2 主要結(jié)果

時(shí)，結(jié)論是嚴(yán)格的.

證 明：設(shè)f（z）∈Tp（n，λ，α，β），則Re{z-p[λf+ αzf′+（1-α）z2f″]}＞β，

即：Re{z-p[λf+αzf′+（1-α）z2f″]}＝Re{[λ+pα+

當(dāng)z取實(shí)數(shù)且當(dāng)α→1-時(shí)，則有：

反之，由于：

可得：

所以f（z）∈Tp（n，λ，α，β）.顯然，當(dāng)f（z）如式（2）時(shí)等號(hào)是成立的.

這就是Tp（n，λ，α，β）的系數(shù)估計(jì).下面給出該定理的三個(gè)相關(guān)推論.

其中k=n+p，n+p+1，….

由此可以得到Tp（n，λ，α，β）的偏差定理，如下:

及

根據(jù)式（3）及式（4）容易得證．

定理3 令若 f（z），g（z）∈Tp（n，λ，α，β），則h（z）=（1-t）f（z）+tg（z）∈Tp（n，λ，α，β），其中0≤t≤1.

證 明：令

由g（z）∈Tp（n，λ，α，β），根據(jù)定理1，可得：

由式（1）及式（8），可得：

所以h（z）∈Tp（n，λ，α，β）．

下面來(lái)證函數(shù)族Tp（n，λ，α，β）的積分算子．

則：

故定理得證．

定理5 令fn+p-1（z）=zp，若f（z）∈Tp（n，λ， α，β），則f（z）當(dāng)且僅當(dāng)可以展成的形式，其中

由于：

所以：

λ+pα+（1－α）p（p-1）－β．

由此可得f（z）∈Tp（n，λ，α，β）．

通常把定理3和定理5稱為函數(shù)族Tp（n，λ，α，β）的線性關(guān)系.

由定理5，便可得到Tp（n，λ，α，β）的一個(gè)重要的性質(zhì)：

推論4 Tp（n，λ，α，β）的極值點(diǎn)是：其中k=n+p，n+p+1，…

定理6 令f（z）∈Tp（n，λ，α，β），則f（z）將z＜1的圓盤映成一個(gè)包含的區(qū)域.

證 明：由式（6）右半部分及令r→1時(shí)可得到結(jié)論，證明略.

下面來(lái)證明Tp（n，λ，α，β）的Hadamart乘積性質(zhì).

定理7 若f（z），g（z）∈Tp（n，λ，α，β），則f*g∈Tp（n，λ，α，β），

其中γ＝λ+pα+（1－α）p（p-1）－

證 明：由式（1）及式（8），可得：

關(guān)鍵要找最大的γ，使得：

要使式（13）成立，假若：

由式（12）可得：

令：

顯然，φ（k）是關(guān)于k的單調(diào)遞增函數(shù)，所以：

定理得證.

3結(jié)論

文中給出p-葉負(fù)系數(shù)解析函數(shù)族Tp（n，λ，α，β）的系數(shù)估計(jì)、偏差定理、極值點(diǎn)、Hadamart乘積和積分算子等常有的解析性質(zhì)，內(nèi)容上覆蓋了解析函數(shù)類所涉及的常有的解析性質(zhì).而所研究的函數(shù)族對(duì)象的確立不僅兼顧了當(dāng)前函數(shù)類研究的動(dòng)向，而且保證了與早期同行研究的銜接，不僅對(duì)p-葉負(fù)系數(shù)解析函數(shù)的研究有一定的參考價(jià)值，而且對(duì)p-葉負(fù)系數(shù)解析函數(shù)族的理論體系有了進(jìn)一步完善.

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The properties of a certain analytic functions with negative coefficient

LI Yuan-lina，F(xiàn)EI Huab，HU Lina

(a.Faculty of Science;b.School of Architectural and Surveying&Mapping Engineering, Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China)

In this paper,based on the generalizations of analytic functions,let Sp(n)be the class of functions which were univalent and analytic in the open unit diskA new subclass Tp（n，λ，α，β）of Sp(n)is introduced．According to the conclusions obtained by Owa et al.we obtain some properties in Tp（n，λ，α，β）, such as coefficient estimate,growth and distortion theorems,extreme point,Hadamart product,fractional calculus and so on.

negative coefficient;analytic functions;coefficient estimate;growth and distortion theorem

O174.51

A

2095-3041（2014）00-0094-04

10.13265/j.cnki.jxlgdxxb.2014.01.016

2013-06-26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11326238）；江西省教育廳基金項(xiàng)目(GJJ13369)

李元林（1983- ），女，助教，主要從事復(fù)分析等方面的研究，E-mail:liyuanli20090606@163.com.