同倫攝動法在求解非線性偏微分方程中的應(yīng)用

譚璐蕓

（鐵嶺師范高等專科學(xué)校，遼寧 鐵嶺 112000）

同倫攝動法在求解非線性偏微分方程中的應(yīng)用

譚璐蕓

（鐵嶺師范高等專科學(xué)校，遼寧 鐵嶺 112000）

文章主要研究了同倫攝動法在求解非線性偏微分方程中的應(yīng)用問題.簡要介紹了同倫攝動法，該法的基本思想是通過行波變換并結(jié)合同倫攝動理論，把求解某些非線性偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的初值問題，最后得出近似解.文中求解了非線性平流方程和Fisher方程.結(jié)果表明，這種方法簡單而有效，顯示同倫攝動法具有一些顯著特點，例如可以任意選取初始猜測解、不依賴非線性方程中的小參數(shù)等等，同時可以簡化復(fù)雜的求解過程，它的二階近似解就相當(dāng)精確.同倫攝動方法是一種很普遍的解決非線性問題的方法.

同倫攝動法；非線性偏微分方程；近似解

0引 言

非線性現(xiàn)象廣泛出現(xiàn)在流體力學(xué)、固體物理、等離子體物理學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域，描述它們基本規(guī)律的方程許多為非線性偏微分方程[1-3]，對于非線性方程的求解[4-6]沒有統(tǒng)一而普適的方法，如何求解非線性方程成為一個重要的研究課題.然而，大多數(shù)情況下，大量的非線性偏微分方程無法求得其精確的解析解，因此，探討各種求非線性偏微分方程近似解析解的有效方法具有非常重要的理論和實際意義.近幾十年間人們提出了許多求非線性偏微分方程的近似解的方法，例如，直線法[7]、有限譜方法[8]、差分法[9-10]等.同倫攝動法[11-13]是近年來提出的一種新方法，其本質(zhì)是把非線性問題轉(zhuǎn)化成無窮多個線性問題來處理，運用同倫攝動法能得到非線性偏微分方程和積分方程的近似解，使求解過程的復(fù)雜程度大為簡化，大量的例子顯示這種方法簡單而有效.本文借用同倫攝動法求解了非線性平流方程和Fisher方程的近似解.

1 同倫攝動法基本思想

假設(shè)給定了下面的非線性微分方程：

及其邊界條件：

其中A，B分別為方程微分算子和邊界條件算子，f（r）為已知解析函數(shù),Γ為區(qū)域Ω的邊界.建立同倫映射：

其中p為一個嵌入?yún)?shù),u0為滿足方程（1）初始條件的近似值.由式(3)分析得：

隨著p從0到1的變化，v（r，p）從u0（r）變化到u（r）.相應(yīng)地，H（v，p）從L（v）-L（u0）變到A（v）-f（r），且L（v）-L（u0）和A（v）-f（r）叫做同胚,這個過程稱為形變.根據(jù)同倫攝動法,在方程（3）中可以把嵌入?yún)?shù)p∈[0，1]作為“小參數(shù)”來處理，應(yīng)用攝動理論，方程（3）的解v可以表示成如下形式：

令p=1,得到方程（1）的近似解可以寫成：

攝動法和同倫法的結(jié)合稱為同倫攝動法.

2 用同倫攝動法求非線性偏微分方程的近似解

2.1 一類非線性平流方程的近似行波解

非線性平流方程在大氣學(xué)、海洋學(xué)和描述環(huán)境等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.考慮如下一類非線性平流方程[14]的初值問題：

令ξ=kx+ωt，并且作行波變換，則方程（5）得到如下常微分方程，且具有初始條件.

構(gòu)造同倫滿足：

設(shè)方程（6）解的形式：

則有：

將式（7）、式（8）代入式（6），并令p的相同次冪的系數(shù)為零，即p0，p1，p2，…的系數(shù)為0，根據(jù)式（9），可得到如下一系列線性常微分方程且都帶有初始條件：

滿足式（10）的初始猜測解可選取u0（ξ）=cosξ將u0代入方程（11），則方程（11）化為：

將u0，u1代入方程（12），則方程（12）化為：

解得：

則方程（5）的二階近似解為：

2.2 一類Fisher方程的近似解

Fisher方程被廣泛應(yīng)用于核反應(yīng)理論、等離子體物理、流體力學(xué)、和人口增長模型等問題中的非線性現(xiàn)象.考慮如下一類Fisher方程[15]的初值問題：

構(gòu)造同倫滿足：

設(shè)方程（14）解的形式：

則有：

將式（15）、式（16）、式（17）、代入方程（14）中，并令p的相同次冪的系數(shù)為零，即p0，p1，p2，…的系數(shù)為 0，根據(jù)式（18），可得到下面一系列具有初始條件的線性偏微分方程：

根據(jù)方程（19）可選取初始猜測解u0＝1－e-（x＋t），將其代入到方程（20），得：

將u0，u1其代入到方程（21）得：

則方程（13）的二階近似解為：

3 結(jié)束語

本文借用同倫攝動方法把求解某些非線性偏微分方程的問題，轉(zhuǎn)化為求解線性偏微分方程的初值問題，并且得到了這些方程的二階近似解，為非線性問題的求解開辟了一個全新的途徑.必須指出的是,由于非線性偏微分方程求解的固有困難和解法理論的缺乏，目前還沒有一種普適的求解非線性偏微分方程的方法，盡管同倫攝動法成功解決了許多工程上的非線性問題，但某些地方還需要進一步改進和完善如初始猜測解的選取方法問題、近似解的誤差分析問題等.因此，非線性偏微分方程解法的理論研究，仍將是今后重要的研究課題之一.

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Application of homotopy perturbation method in solving nonlinear partial differential equations

TAN Lu-yun(Tieling Teachers College，Tieling 112000,China)

This paper mainly studied the homotopy perturbation method in solving the application problems of nonlinear partial differential equations.This paper first briefly introduces the homotopy perturbation method, the basic idea of the method is to transform the nonlinear partial differential equations into ordinary differential equations by combining the traveling wave transformation with the homotopy perturbation theory,and the approximate solution will be obtained.In this paper,we solve the nonlinear advection equation and the Fisher equation.The results show that this method is simple and effective,Also shows the homotopy perturbation method has some significant features,such as an arbitrary choice of initial guess solutions,the independence of the small parameters in nonlinear equations,etc.,and at the same time,this method can also simplify the complex solving process,Its second-order approximate solution is quite accurate,the homotopy perturbation method is a very common method for solving nonlinear problems.

homotopy perturbation method;nonlinear partial differential equations;approximate solutions

O175.29

A

2095-3041（2014）00-0102-03

10.13265/j.cnki.jxlgdxxb.2014.01.018

2013-09-01

譚璐蕓（1966- ），女，副教授，主要從事偏微分方程正反問題的算法和理論等方面的研究，E-mail:tanluyun@126.com.