寬斜齒輪多目標(biāo)修形優(yōu)化設(shè)計(jì)

蔣進(jìn)科，方宗德，蘇進(jìn)展

（西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，710072，西安）

高速重載寬斜齒圓柱齒輪廣泛應(yīng)用于船艦等大功率傳動(dòng)系統(tǒng)中，其特點(diǎn)是同時(shí)嚙合的齒對數(shù)多，易發(fā)生偏載現(xiàn)象，因此對其抗承載能力、抗膠合能力、低振動(dòng)、低噪聲等諸多方面有嚴(yán)格要求，單一目標(biāo)的修形設(shè)計(jì)已經(jīng)不能滿足高性能齒輪傳動(dòng)裝置的要求。文獻(xiàn)［1-4］介紹了齒廓修形在抗膠合能力和減小振動(dòng)、噪聲方面的優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)［5］介紹了齒向修形在提高承載能力、改善齒面載荷分布方面的優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)［6］介紹了三維修形在均化齒面載荷和改善齒輪動(dòng)態(tài)性能方面的顯著作用。以上研究均未能提供修形狀態(tài)下精確的齒面幾何狀況，或忽略了修形齒輪局部摩擦系數(shù)的改變對膠合計(jì)算影響及接觸齒對對齒間載荷分布的影響，或未考慮輪齒動(dòng)態(tài)性能，而且大多針對單一目標(biāo)修形，因此這種設(shè)計(jì)的結(jié)果只能反映在假定條件下的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。齒輪接觸分析（TCA）［7-8］、承載接觸分析（LTCA）［9］及彈流潤滑劑（EHL）［10］理論的發(fā)展，為齒輪修形技術(shù)的深入分析與研究提供了重要工具。

本文將小輪法向修形曲面與理論齒面疊加，構(gòu)造修形齒面，通過TCA、LTCA技術(shù)，得到齒面離散點(diǎn)載荷分布和承載變形，應(yīng)用EHL理論確定接觸線上各離散點(diǎn)的局部摩擦系數(shù)，建立斜齒輪嚙合型彎-扭-軸-擺動(dòng)力學(xué)模型，以齒面閃溫、載荷密度、承載傳動(dòng)誤差、嚙合線方向相對扭轉(zhuǎn)加速度均方根最小進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，設(shè)計(jì)了最佳修形齒面。

1 修形齒面的構(gòu)造

1.1 修形曲面設(shè)計(jì)

高精度寬齒輪通常進(jìn)行齒端修薄，因此本文設(shè)計(jì)如圖1所示的2段拋物線與1段直線表示的修形曲線，通過改變參數(shù)可以表示為齒端修薄與齒向修鼓曲線。為了便于測量和確定修形曲面，修形曲線通常用旋轉(zhuǎn)投影面參數(shù)（x，y）表示

式中：Rx、Ry、Rz為理論齒面位矢坐標(biāo)分量。

在旋轉(zhuǎn)投影面上，將齒面分別沿齒高、齒長方向均勻劃分為m×n個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)陣，基于法向修形曲面計(jì)算網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的修形量δ′（x，y），通過3次B樣條對齒面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合得到光滑的修形曲面δ（x，y）。寬斜齒易受軸扭轉(zhuǎn)變形影響，引起齒面偏載，因此應(yīng)進(jìn)行螺旋角修形即齒向線性修形，齒廓采用4次拋物線修形主要為了降低閃溫分布與振動(dòng)。

圖1 齒廓、齒向修形曲線

1.2 修形齒面表達(dá)

通過理論齒面與法向修形曲面疊加，構(gòu)造修形齒面，其位矢和法矢表示如下

式中：R1、n1分別為小輪理論齒面位矢、法矢；R1r、n1r分別為小輪修形齒面位矢、法矢；δ為修形量；u1、l1為理論齒面參數(shù)。

2 優(yōu)化模型

2.1 扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算

軸扭轉(zhuǎn)變形引起寬斜齒齒面載荷不均勻，本文采用的LTCA是一種基于齒面柔度矩陣的規(guī)劃方法［11］，齒面在接觸載荷下的變形特性被容納于柔度矩陣中。由于被動(dòng)輪直徑大，截面抗扭模量大，且采用腹板結(jié)構(gòu)較多，扭轉(zhuǎn)變形影響很小，因此可只考慮小齒輪扭轉(zhuǎn)的附加柔度。小輪齒面劃分的網(wǎng)格如圖2a所示，其旋轉(zhuǎn)投影面上的節(jié)點(diǎn)標(biāo)記如圖2b所示，徑向網(wǎng)格點(diǎn)（i=1，…，I），軸向網(wǎng)格點(diǎn)（j=1，…，J）。利用一維有限元方法計(jì)算軸扭轉(zhuǎn)變形，小輪軸沿軸向分為與齒面軸向網(wǎng)格對應(yīng)的J段如圖2c所示，從右端輸入扭矩，設(shè)在齒面點(diǎn)i施加單位法向載荷時(shí)，點(diǎn)j相對右端面的扭轉(zhuǎn)角為φij，計(jì)算軸扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的附加柔度系數(shù)，并與齒面網(wǎng)格法向柔度矩陣疊加，得到齒輪系統(tǒng)的齒面法向柔度矩陣

式中：rb1為小輪基圓半徑；GIp為圓軸抗扭剛度；T為負(fù)載扭矩；lj為j節(jié)點(diǎn)處距端面距離。軸的扭轉(zhuǎn)角僅與軸向節(jié)點(diǎn)j位置有關(guān)系，與徑向節(jié)點(diǎn)i位置無關(guān)，因此需要將一維節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為與齒面節(jié)點(diǎn)維數(shù)相同，即φij（i=1，…，I）=φj。

圖2 齒面網(wǎng)格及軸的扭轉(zhuǎn)變形角

2.2 多目標(biāo)優(yōu)化

首先通過TCA、LTCA計(jì)算，得到接觸線上離散點(diǎn)的載荷分布pij及一個(gè)嚙合周期輪齒法向位移Z，然后按以下過程進(jìn)行優(yōu)化。

（1）將Z轉(zhuǎn)化為嚙合線上位移，用轉(zhuǎn)角表示承載傳動(dòng)誤差（LTE）為

式中：rb2、β分別為被動(dòng)大輪基圓半徑和螺旋角。

（2）接觸線上離散點(diǎn)載荷密度

式中：Lmn為第m條接觸線上第n個(gè)點(diǎn)位置，可通過TCA得到；N為接觸線上離散點(diǎn)個(gè)數(shù)；M為接觸線條數(shù)。

為表示載荷均勻程度，通常可用接觸線上載荷密度的均方根最小或最大載荷密度最小表述，本文采用后者，最大載荷密度為

（3）根據(jù)漸開線圓柱齒輪膠合承載能力的Blok閃溫公式，接觸線上最大閃溫積分為

式中：μmn為嚙合點(diǎn)的局部平均摩擦系數(shù)；Xα、Xβ為嚙合角、螺旋角系數(shù)，均為常數(shù)1.0；vmn為嚙合點(diǎn)線速度；a為嚙合中心距；Γmn為嚙合點(diǎn)幾何參數(shù)，可通過TCA求解。

齒面摩擦系數(shù)可按如下公式計(jì)算［12］

式中：λ為油膜比厚；hmin為最小油膜厚度［13］；σ1、σ2為兩接觸表面輪廓的均方根偏差；ρ為綜合曲率半徑；α1為潤滑油壓黏系數(shù)；η為潤滑油環(huán)境黏度；E′為當(dāng)量彈性模量。

（4）根據(jù)一個(gè)嚙合周期的承載變形Z確定時(shí)變嚙合剛度，通過TCA、LTCA可確定嚙入沖擊力，將其展開為傅里葉級(jí)數(shù)。建立考慮時(shí)變剛度與嚙入沖擊激勵(lì)的斜齒輪系統(tǒng)彎-扭-軸-擺10自由度動(dòng)力學(xué)模型，其廣義位移可表示為｛xp，yp，zp，θpy，θpz，xg，yg，zg，θgy，θgz｝，動(dòng)力學(xué)方程為［14］

式中：xk、yk、zk（k為p，g）為主、被動(dòng)齒輪中心點(diǎn)在橫向、切向、軸向3個(gè)方向的平移振動(dòng)位移；θky為主、被動(dòng)齒輪中心點(diǎn)通過該中心并平行于y軸軸線的扭擺振動(dòng)位移；θkz為主、被動(dòng)齒輪繞傳動(dòng)軸軸線的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移；Fnx、Fny、Fnz為法向嚙合力Fn在x、y、z3個(gè)方向的分量；Fsx、Fsy、Fsz為嚙入沖擊力Fs在x、y、z3個(gè)方向的分量。根據(jù)沖擊力學(xué)理論，沖擊動(dòng)能、最大變形δs與沖擊力之間有如下關(guān)系［15］

式中：J1、J2為小輪、大輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；r′b1、r′b2為小輪、大輪瞬時(shí)基圓半徑；b為齒寬；Fn為法向嚙合力；Z1為嚙入點(diǎn)法向承載變形量；Pn為法向靜態(tài)嚙合力。qs為嚙入點(diǎn)輪齒綜合柔度；vs為嚙入沖擊速度，可根據(jù)TCA確定嚙入點(diǎn)位置，通過幾何計(jì)算得到。

沿嚙合線方向相對加速度均方根值可基本表示齒輪的振動(dòng)和噪聲的大小，其計(jì)算式為

式中：G4（t=1，…，T）為一個(gè)嚙合周期分為T 等份，第t時(shí)刻沿嚙合線方向的相對振動(dòng)加速度。因此，目標(biāo)函數(shù)表示為

式中：y1～y5為優(yōu)化變量，見圖1；lmax、lmin、Qmax、Qmin分別為修形參數(shù)約束量；G10、G20、G30、G40為未修形的承載傳動(dòng)誤差幅值、最大載荷密度、接觸線上平均閃溫、嚙合線上相對扭轉(zhuǎn)加速度均方根；w1、w2、w3、w4為目標(biāo)權(quán)系數(shù)，文中權(quán)系數(shù)取相等值。

本文采用LTCA所求的嚙合剛度已經(jīng)考慮了安裝及齒形齒距誤差，即將誤差激勵(lì)合成在了剛度激勵(lì)中，通過量綱統(tǒng)一化，利用變步長四階Runge-Kutta數(shù)值積分方法對其求解。

2.3 優(yōu)化過程及算法

優(yōu)化過程即通過改變齒面接觸狀況，不斷地求解TCA、LTCA及動(dòng)力學(xué)方程的一個(gè)非線性迭代過程［16］。動(dòng)力學(xué)求解較為耗時(shí)，因此需要尋找一種高效的優(yōu)化方法，粒子群（PSO）算法具有全局收斂性，可以求解具有多個(gè)局部極值的非線性優(yōu)化問題，缺點(diǎn)是該算法在進(jìn)化后期，種群多樣性消失，容易出現(xiàn)早熟停滯，從而陷入局部最優(yōu)，為此作者對文獻(xiàn)［17］中二階振蕩粒子群算法進(jìn)行如下改進(jìn)：①采用最大速度線性遞減的方法平衡全局尋優(yōu)能力與算法收斂精度的矛盾；②用指數(shù)自適應(yīng)慣性權(quán)重平衡算法的全局和局部搜索能力；③迭代初期使用較大的加速因子c1和較小的c2，從而粒子可以較自由地在搜素空間中尋優(yōu)，增加群內(nèi)粒子的多樣性，隨著迭代次數(shù)的增加，線性遞減c1，線性遞增c2，加強(qiáng)了粒子收斂到全局最優(yōu)解的能力。

學(xué)習(xí)因子二階振蕩使種群在粒子數(shù)目不變的情況下維持多樣性，是提高全局搜索能力的主要方法，具體算法鑒于篇幅不做介紹。通過Rastrigin函數(shù)測試，結(jié)果如圖3所示，表明該方法顯著提高了PSO算法的尋優(yōu)性能。

圖3 智能優(yōu)化算法測試結(jié)果

3 算例與分析

以標(biāo)準(zhǔn)安裝齒輪副為例，其法向模數(shù)為6mm，小輪齒數(shù)為19，大輪齒數(shù)為47，法向壓力角為20°，螺旋角為13°，齒寬為180mm，支撐剛度為5×109N·m-1，支撐阻尼為3.4×103N·m·s-1，進(jìn)行大輪額定載荷2 000N·m、小輪額定轉(zhuǎn)速2 000 r／min工況下的優(yōu)化，優(yōu)化的修形曲線參數(shù)結(jié)果：齒頂、齒根修形量（y1，y3）分別為17μm、20μm，修形長度（y2，y4）分別為3mm、2.5mm，沿齒向方向的線性修形中，動(dòng)力輸入端有較大修形量（y5），為8mm；優(yōu)化后的承載傳動(dòng)誤差幅值（G1）、最大載荷密度（G2）、最大閃溫（G3）及嚙合線方向相對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)（G4）分別降低了53%、11%、61%、60%。圖4為無修形、修形齒輪副的性能分析。

（1）齒面載荷、閃溫分析。修形前載荷偏向動(dòng)力輸入端，修形量應(yīng)從輸入端至輸出端遞減。齒向的直線修形不改變齒面的幾何接觸印跡，使得幾何傳動(dòng)誤差從輸入端至輸出端減小，消除了扭轉(zhuǎn)變形影響，重合度增加，因此修形后的載荷密度降低，沿齒向均勻分布，且齒間載荷分配曲線及載荷密度對稱分布（見圖4a、圖4c、圖4i）。嚙入端綜合曲率半徑較小，無修形時(shí)，摩擦系數(shù)較大，齒向修形后載荷均勻；齒廓修形后，齒頂、齒根載荷降低，接觸線上間隙增加，因此油膜厚度增加，潤滑改善，摩擦系數(shù)明顯降低（見圖4e）。因此，齒頂、齒根閃溫明顯降低，且齒向的閃溫分布趨于均勻，節(jié)圓附近由于相對滑動(dòng)較小，閃溫較?。ㄒ妶D4b、圖4d）。由于齒廓、齒向的修形使得嚙入、嚙入端有較大的幾何傳動(dòng)誤差，因此嚙入、嚙出端載荷降低（見圖4i）。修形后重合度增加，所以多載荷的傳動(dòng)誤差（承載變形）幅值降低（見圖4h），嚙合剛度及幅值降低（見圖4f、圖4g）。

（2）嚙入沖擊分析。由于嚙入端接觸線上的載荷及輪齒嚙合剛度降低，所以修形后嚙合沖擊降低（見圖4l）。隨轉(zhuǎn)速增加沖擊動(dòng)能增大，則沖擊力增大（見圖4j）。由于嚙合基節(jié)誤差隨外載荷增加而增大，同時(shí)無修形時(shí)嚙合剛度的增大削弱了嚙合齒對對沖擊能量的緩沖能力，因此線外嚙合沖擊力大幅度增加；修形使得嚙入點(diǎn)載荷、剛度及幅值降低，所以增強(qiáng)了齒對對沖擊能量的緩沖能力，沖擊力下降（見圖4k）。

（3）系統(tǒng)振動(dòng)分析。由于嚙合沖擊降低、嚙合剛度幅值降低，因此修形后系統(tǒng)加速度降低，齒輪副嚙合線上相對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和切向平移振動(dòng)加速度要遠(yuǎn)大于齒輪軸向、橫向、扭擺振動(dòng)加速度（見圖4m～圖4q）。①當(dāng)僅考慮剛度激勵(lì)時(shí)，未修形時(shí)5 800r／min處為系統(tǒng)主共振，在2、1／3、1／2、2／3倍頻處扭轉(zhuǎn)、切向振動(dòng)出現(xiàn)次共振，在2、1／3、1／2倍頻處橫向、軸向、扭擺振動(dòng)出現(xiàn)次共振（見圖4n）；修形后由于嚙合剛度降低，因此主共振轉(zhuǎn)速下降到5 500r／min，在2、1／3、1／2倍頻附近各方向振動(dòng)明顯降低（見圖4m）。②在綜合激勵(lì)下，由于嚙合沖擊明顯降低，修形后振動(dòng)整體明顯降低，隨著轉(zhuǎn)速增加，嚙合沖擊逐漸增加，使得嚙合沖擊激勵(lì)遠(yuǎn)大于剛度激勵(lì)的振動(dòng)，因此共振敏感性降低（見圖4o、圖4p）。③在綜合激勵(lì)下，當(dāng)載荷小于500N·m時(shí)，系統(tǒng)重合度較低，載荷的增加使得重合度增加，剛度波動(dòng)降低，因此振動(dòng)減小。當(dāng)載荷大于500N·m時(shí)，系統(tǒng)重合度接近設(shè)計(jì)重合度，載荷增加使得斜齒輪嚙合剛度、剛度波動(dòng)增加，因此系統(tǒng)的振動(dòng)隨載荷增加逐漸增大；修形后主要是嚙合沖擊降低，因此較修形前振動(dòng)明顯降低（見圖4q）。

圖4 寬斜齒輪多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié) 論

（1）本文設(shè)計(jì)了寬斜齒修形齒面，計(jì)算了扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的附加柔度矩陣，結(jié)合TCA、LTCA、EHL技術(shù)，確定了齒面接觸位置幾何參數(shù)、傳動(dòng)誤差幅值、齒面載荷及閃溫；通過LTCA計(jì)算得到輪齒時(shí)變嚙合剛度及單對輪齒嚙合剛度，根據(jù)嚙合沖擊模型，計(jì)算得到線外嚙合沖擊激勵(lì)；應(yīng)用集中參數(shù)法建立斜齒輪彎-扭-軸-擺耦合的動(dòng)力學(xué)模型，采用變步長的四階Runge-Kutta法進(jìn)行求解，從而得到系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。

（2）建立齒面?zhèn)鲃?dòng)誤差、載荷、閃溫、振動(dòng)的多目標(biāo)優(yōu)化模型，通過改進(jìn)的PSO優(yōu)化算法得到最佳修形齒面。

（3）受扭轉(zhuǎn)變形影響，載荷會(huì)向動(dòng)力輸入端偏移，齒向應(yīng)進(jìn)行全修形，齒向的線性修形削弱了扭轉(zhuǎn)變形影響，修形后重合度增加，因此載荷密度降低、承載傳動(dòng)誤差幅值降低。齒廓修形降低了齒頂、齒根承受的載荷，消除了應(yīng)力集中，因此齒頂、齒根閃溫分布明顯下降。

（4）齒輪副嚙合線上相對振動(dòng)和切向振動(dòng)加速度要遠(yuǎn)大于齒輪橫向、軸向、扭擺振動(dòng)加速度，剛度激勵(lì)和沖擊激勵(lì)是引起振動(dòng)主要原因，隨轉(zhuǎn)速增加嚙合沖擊激勵(lì)較剛度激勵(lì)的影響更加明顯，因此共振敏感性降低。多載荷承載傳動(dòng)誤差（承載變形）的幅值反映了振動(dòng)隨載荷的變化趨勢，修形有效降低了系統(tǒng)振動(dòng)。修形后系統(tǒng)的嚙合剛度降低，因此共振轉(zhuǎn)速略有降低。

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