若干量子幺正算符的構(gòu)造及其應(yīng)用

王 磊

(菏澤學院 物理系，山東 菏澤 274015)

0 引言

根據(jù)量子力學基本原理，微觀粒子的狀態(tài)常用態(tài)矢量(波函數(shù))描述，而描述量子態(tài)的波函數(shù)在不同的表象中通常具有不同的表示形式，這些不同表示之間或者不同表象之間的變換稱為幺正變換，其對應(yīng)的算符稱為幺正算符，并滿足基本的幺正條件：UU+=1．由于幺正變換僅僅是數(shù)學形式上的變換，并不改變問題的物理實質(zhì)，而且通過變換可以使量子力學中的許多問題大為簡化并得到很好的解決，這也使得幺正變換和幺正算符在量子力學中的作用顯得尤為重要[1-4]．此外，在經(jīng)典物理學中也存在許多變換，如平移變換、空間反演、壓縮變換、經(jīng)典正則變換等，這些變換使得我們在處理許多復雜的物理學問題時顯得非常便捷和有效．既然經(jīng)典物理是量子物理的極限近似，那么經(jīng)典變換與量子幺正變換之間必然存在一定的聯(lián)系．如何找到與這些經(jīng)典變換對應(yīng)的量子算符映射，從而使經(jīng)典變換到量子幺正變換之間的過渡能夠順利的實現(xiàn)，無疑是一個非常有意義的研究課題．

近年來，不對稱積分被廣泛研究[5-7]，本文基于動量本征矢和坐標本征矢在Fock表象中的表示，通過構(gòu)造不對稱積分，引入了一系列與經(jīng)典變換對應(yīng)的量子幺正算符，根據(jù)表象的正交完備性條件證明了其幺正性及變換特性，最后利用所構(gòu)造的量子幺正算符精確求解了坐標—動量耦合諧振子的動力學問題．

1 坐標本征矢和動量本征矢在Fock表象中的表示

(1)

兩者均滿足表象的正交完備性條件：

(2)

2 對應(yīng)于經(jīng)典變換的若干量子幺正算符

2.1 宇稱算符

(3)

(4)

容易證明

2.2 平移算符

基于經(jīng)典平移變換p→p-p0，構(gòu)造如下不對稱積分型投影算符

(5)

于是

(6)

2.3 壓縮算符

基于經(jīng)典標度變換p→kp，利用動量本征矢構(gòu)造如下不對稱積分

(7)

由此得到

2.4 與經(jīng)典坐標—動量變換對應(yīng)的量子幺正算符

分析力學中，如果通過廣義坐標和廣義動量之間的變換，能夠找到新的哈密頓函數(shù)，使哈密頓正則方程的形式保持不變，這種變換就叫正則變換[9]．基于經(jīng)典正則變換(x,p)→(Ax+Bp,Cx+Dp)，構(gòu)造如下不對稱積分型投影算符

(8)

于是

令x″=Ax+Bp,p″=Cx+Dp,則

3 精確求解坐標—動量耦合諧振子的能量本征值

耦合諧振子問題在量子力學、量子光學和固體物理等多個領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用[10-12]，解決此類問題的關(guān)鍵是如何消除耦合項．作為(8)式算符U的一個簡單應(yīng)用，討論一下具有坐標—動量耦合的諧振子問題，已知其哈密頓量為

(9)

解之得一組解A=1，B=0，C=2mλ,D=1選取符合條件的幺正算符為

(10)

(11)

4 結(jié)論

根據(jù)坐標本征矢和動量本征矢在Fock空間中的表示，通過構(gòu)造不對稱積分，引入了一系列與若干經(jīng)典變換對應(yīng)的量子幺正算符，如宇稱算符、平移算符、壓縮算符以及與經(jīng)典坐標—動量變換所對應(yīng)的算符．利用表象的正交完備性關(guān)系，證明了這些量子力學算符的幺正性及變換特性，利用這些性質(zhì)精確求解了坐標—動量耦合諧振子的能量本征值．需要指出，這些量子力學算符的顯式表達式均可通過IWOP技術(shù)(有序算符內(nèi)的積分技術(shù))積分求得[14]，但本文更注重這些算符的性質(zhì)及應(yīng)用而非形式，因而并未進行具體的積分．

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