一類非線性周期種群系統(tǒng)最優(yōu)收獲控制的必要條件

朱 宏,李 晗，付 軍*

(1.吉林師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，吉林 四平 136000;2.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

1 問題的提出

種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題一直被生物數(shù)學(xué)工作者所關(guān)注[1-10].文[1-4]分別研究了加權(quán)種群系統(tǒng)和周期種群系統(tǒng)的有關(guān)控制問題；文[5-6]分別討論了種群擴(kuò)散系統(tǒng)的邊界控制與分布控制；文[7-9]分別討論了非線性種群系統(tǒng)的解及其邊界控制；文[10]證明了一類非線性周期種群系統(tǒng)最優(yōu)收獲控制的存在性.本文繼文[10]討論控制為最優(yōu)的必要條件和確定最優(yōu)控制的最優(yōu)性組.具體研究如下系統(tǒng)(S)：

(1.1)

(1.2)

p(a,t)=p(a,t+T),(a,t)∈Q，

(1.3)

p(a,0)=p0(a),a∈(0,A)，

(1.4)

(1.5)

其中p(a,t)為t時(shí)刻年齡為a的單種群年齡密度分布函數(shù)；N(t)為t時(shí)刻的種群個(gè)體總數(shù)；μ(a,t;N)為平均死亡率；β(a,t;N)為平均出生率；f(a,t)為外界向種群生存環(huán)境的遷入率；v(a,t)為種群的收獲率,是系統(tǒng)(S)的控制量；A為種群個(gè)體最高存活年齡，0

在周期環(huán)境下,研究控制問題:

(1.6)

其中

(1.7)

允許控制集

U={v∈L∞(Q),0≤v(a,t)=v(a,t+T)≤L,?(a,t)∈Q}．

(1.8)

假定下列條件成立：

我們得到了最優(yōu)收獲控制的存在性定理：

定理1.1[10]設(shè)p(v)∈L∞(R+；L1(0,A))為問題(1.1)-(1.5)所支配的系統(tǒng)(S)的狀態(tài)，允許控制集U由(1.8)給出，性能指標(biāo)泛函J(v)由(1.7)給出，則在U中存在一個(gè)最優(yōu)控制u，使得

2 主要結(jié)論

本節(jié)討論u∈U為系統(tǒng)(S)的最優(yōu)收獲控制的必要條件及確定最優(yōu)控制的最優(yōu)性組.記uλ=u+λ(v-u),0<λ<1，

(2.1)

(2.2)

現(xiàn)在證明收獲控制u∈U為最優(yōu)的必要條件.

定理2.1設(shè)u∈U是系統(tǒng)(S)關(guān)于指標(biāo)泛函問題(1.7)的最優(yōu)收獲控制,則u∈U滿足不等式:

(2.3)

即u∈U為系統(tǒng)(S)的最優(yōu)收獲控制的必要條件是u滿足不等式(2.3).

證明由性能指標(biāo)泛函J(v)的結(jié)構(gòu)(1.7)和u∈U為最優(yōu)收獲控制,有

0 ≤J(u)-J(uλ)

上式兩邊除以λ>0，令λ→0+取極限得

(2.3)

下面我們導(dǎo)出確定最優(yōu)控制u∈U的最優(yōu)性組.為了變換不等式(2.3),定義伴隨狀態(tài)q(a,t;v)=q(v):

(2.4)

上述問題(2.4) 容許唯一解q(u)∈L∞(R+；L1(0,A)).由下面的定理給出.

定理2.2假設(shè)定理1.1的條件成立.設(shè)u∈U是系統(tǒng)(S)的最優(yōu)控制,p(u)∈L∞(R+；L1(0,A))是問題(1.1)-(1.5)的廣義解,則伴隨問題(2.4)容許唯一的廣義解q(u)∈L∞(R+;L1(0，A)).

(2.5)

綜上所述，我們得到本文的主要結(jié)果.

定理2.3設(shè)p(u)∈L∞(R+；L1(0,A))是系統(tǒng)(S)即問題(1.1)-(1.5)的解,性能指標(biāo)由式(1.7)給出定義,容許控制集合U由(1.8)式確定,若u∈U為系統(tǒng)(S)關(guān)于式(1.7)的最優(yōu)控制,則u∈U由方程(1.1)-(1.5)(其中v=u)及伴隨方程(2.4)和變分不等式(2.6)所構(gòu)成的最優(yōu)性組的聯(lián)立解{u,p,q}確定.

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