聚焦幾何體的展開圖

李慶社

1. 幾種特殊的幾何體的展開圖

棱柱：兩個全等多邊形與一個平行四邊形（直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形）.

棱錐：一個多邊形與幾個邊邊相連的三角形.

圓柱：兩個圓和一個矩形.

圓錐：一個圓和一個扇形.

注意：不是所有的曲面都可以展開為平面.如球.

2. 正方體的11種展開圖

總結(jié)：①中間四個面，上、下各一面；

②中間三個面，一、二隔河見；

③中間兩個面，樓梯天天見；

④中間沒有面，三、三連一線

3. 正多面體

（1）概念：各條棱相等，每個面都是相同的正多邊形的幾何體叫正多面體.

（2）幾種正多面體：正多面體僅有正四面體，正六面體，正八面體，正十二面體，正二十面體這五種.

可圍成下面的幾何體.

4.典型例題

例1 哪個圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱（ ）.

解析：B、C中間有四個矩形，所以應為四棱柱，而B兩側(cè)只有兩個三角形，C的兩個四邊形都在一側(cè)，所以不能圍成棱柱.A、D中間有三個矩形，所以應為三棱柱，而A的兩個三角形都在一側(cè)，所以不能圍成棱柱.故只有D可以.故選D.

例2 將一個長方體的表面沿某些棱剪開，展成一個平面圖形，至多可以剪 條棱.

解析：由正方體展開圖可知：還連在一起的邊為正方體未剪開的棱.每種情況均為5條.又正方體有12條棱，所以都剪了7條棱.所以至多可以剪7條棱.

例3 如圖1所示，是一個什么多面體的展開圖？

（1）如果1是上面，2是前面，請你指出其他幾個面所處的位置？

（2）如果2在左面，6在上面，請指出其他各面所處的位置？

解析：易知此圖為正方體展開圖，剪個紙片標志一下可知：

（1）3是右面；4是后面；5是左面；6是下面；

（2）1是下面；3是前面；4是右面；5是后面.

例4 一個正六棱柱，它的底邊長是6cm，側(cè)棱長都是5cm，則它的側(cè)面積是 cm2.

解析：將正六棱柱展開后，側(cè)面為矩形，所以其面積S=底面周長×側(cè)棱長.而正六棱柱底面為正六邊形，邊長相等.

所以側(cè)面積S=底面周長×側(cè)棱長=6×6×5=180 （cm2）.

例5 如圖2，沿長方形紙片上的虛線剪下的陰影部分恰好能圍成一圓柱，設(shè)圓的半徑為r.（1）用含r的代數(shù)式表示圓柱的體積；（2）當r=8.91cm，圓周率取3.14時，求圓柱的體積.

解析：圓柱的體積V=底面積×高.而側(cè)面展開圖為正方形，所以高=底面周長.

（1）高h=2πr ，底面積S=πr2，

所以體積V=πr2×2πr=2π2r3.

（2）體積V=2π2r3=2×3.142×8.913≈13948.34（cm3）.

例6 如圖3，有一個正方體的房間，在房間內(nèi)的一角A處有一只螞蟻，它想到房間的另一角B處去吃食物，試問它采取怎樣的行走路線是最近的？如果一只蜜蜂，要從A到B怎樣飛是最近呢？

解析：把正方體展開，在其包含A、B的兩個相連的正方形（兩種情況：前面與上面的正方體或者前面與右面的正方體）中連接AB，則螞蟻沿著線段AB的路線走最近.（兩點之間線段最短）若是蜜蜂，則只要直接從A沿體對角線飛到B即可.