基于量子三叉樹的量子Black—Scholes期權(quán)定價

汪飛星等

摘要： 將量子概率引入到期權(quán)定價是最近幾年一個新的研究趨勢，也稱為量子金融.為了期權(quán)定價更方便，文章建立了量子三叉樹模型，同時利用量子概率建立了連續(xù)量子Black-Scholes（B-S）模型。實例應用和Matlab期權(quán)敏感性分析都驗證了量子B-S優(yōu)于經(jīng)典B-S，從而為連續(xù)期權(quán)定價提供量子決策的途徑。

關鍵詞： 量子概率； 量子三叉樹；量子B-S模型；量子期權(quán)敏感性

中圖分類號：F830； O413 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2014）01-0014-03

0 引言

量子金融是量子概率應用于金融市場的研究，體現(xiàn)了期權(quán)定價[1]思想上的創(chuàng)新。目前，國內(nèi)外學者在這方面已做了一定的工作。陳澤乾[2]提出二項式期權(quán)定價量子模型。E.Sega[3]用量子效應解釋在金融市場期權(quán)價格的不規(guī)則變化。Emmanuel和E.Have[4]描述了在量子系統(tǒng)中，Black-Scholes模型的具體含義。Belal.E.Baaquie[5]研究了基于量子理論的有息債券歐式期權(quán)利率模型。Liviu-Adrian Cotfas[6]借助Fourier變換和量子算符模型分析股票信息與價格的關系。本文建立了量子三叉樹模型。根據(jù)期權(quán)折現(xiàn)流在量子概率下是一個鞅過程，給出了量子概率在金融問題中的作用。同時根據(jù)Tailor公式，用量子力學過程代替經(jīng)典隨機過程描述股票價格，在股票價格St遵循量子Brown運動的情形下，得到連續(xù)量子B-S模型。實例應用和Matlab仿真都證實了量子B-S的有效性。一方面簡化了期權(quán)計算，另一方面更好地揭示了金融市場的量子特征。

1 量子三叉樹模型

2 連續(xù)量子Black-Scholes模型

定理2. 量子期權(quán)平價公式

在任意一個時刻t

證明：在t=0時刻，由文獻[9]可以構(gòu)造兩個量子投資組合φ1=c+Ke-rT，φ2=p+S。

設Vt（φ）是投資組合φ在時刻t的財富值，考慮上面兩個量子投資組合，在t=T時刻的值

VT（φ1）=VT（c）+VT（Ke-rT）=（ST-K）++K=max{K，ST}

VT（φ2）=VT（p）+VT（S）=（K-ST）++ST=max{K，ST}

故VT（φ1）=VT（φ2），從而得到Vt（φ1）=Vt（φ2），即ct+Ke-r（T-t）=pt+St成立。

有了量子期權(quán)平價公式，由量子B-S算出看漲期權(quán)的價格，就可以得出看跌期權(quán)的價格。

4 實例應用

5 量子歐式期權(quán)敏感性[10]應用

以下是用MATLA對歐式期權(quán)敏感性做的仿真：

圖1和圖2表示期權(quán)標的物的價格波動性變動對期權(quán)價格的影響程度，數(shù)學表達式■，f為Black-Scholes期權(quán)定價公式中期權(quán)價格函數(shù)C。顏色反映靈敏度，下面是量子圖，它比上面的經(jīng)典圖更能體現(xiàn)細微的波動值的變動。

6 結(jié)論

本文以量子概率的角度，利用量子力學理論建立了量子三叉樹和量子Black-Scholes模型，處理了復雜期權(quán)定價問題。實例應用和敏感性分析都證實了量子B-S模型的有效性，量子期權(quán)圖對金融市場標的物的價格細微波動變化反應更敏感，更能體現(xiàn)金融市場的量子特征。

參考文獻：

[1]J.C. Hull. Options， Futures and Other Derivatives[M]. Prentice Hall， Inc， 2009.

[2]Zeqian Chen. Quantum theory for the binomial model in finance theory [J].Journal of systems science and complexity， 2004， 17：567-573.

[3]Segal W， Segal I E. The Black-Scholes pricing formula in the quantum context[J].Economic Sciences， 1998， 95（3）：4072-4075.

[4]E.Haven. Pilot-wave theory and financial option pricing[J].International Journal of theoretical Physica，2005，44（11）：1957-1962.

[5]Belal.E.Baaquie. The minimal length uncertainty and the quantum model for the stock market [J].Physica A， 2012， 391：2100-2105.

[6]Liviu-Adrian Cotfas. A finite dimensional quantum model for the stock market[J].Physica A， 2013，392：371-380.

[7]P.A.M.Dirac. The Principles of Quantum Mechanics.[M]. Science Press，2011.

[8]姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2010：10-13.

[9]陳澤乾，汪壽陽.量子金融的幾個問題[J].自然科學進展 2004，14：742-748.

[10]劉春艷，呂喜明.基于MATLAB視圖的歐式看漲期權(quán)敏感性動態(tài)分析[J].經(jīng)濟論壇，2013，512：71-76.

摘要： 將量子概率引入到期權(quán)定價是最近幾年一個新的研究趨勢，也稱為量子金融.為了期權(quán)定價更方便，文章建立了量子三叉樹模型，同時利用量子概率建立了連續(xù)量子Black-Scholes（B-S）模型。實例應用和Matlab期權(quán)敏感性分析都驗證了量子B-S優(yōu)于經(jīng)典B-S，從而為連續(xù)期權(quán)定價提供量子決策的途徑。

關鍵詞： 量子概率； 量子三叉樹；量子B-S模型；量子期權(quán)敏感性

中圖分類號：F830； O413 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2014）01-0014-03

0 引言

量子金融是量子概率應用于金融市場的研究，體現(xiàn)了期權(quán)定價[1]思想上的創(chuàng)新。目前，國內(nèi)外學者在這方面已做了一定的工作。陳澤乾[2]提出二項式期權(quán)定價量子模型。E.Sega[3]用量子效應解釋在金融市場期權(quán)價格的不規(guī)則變化。Emmanuel和E.Have[4]描述了在量子系統(tǒng)中，Black-Scholes模型的具體含義。Belal.E.Baaquie[5]研究了基于量子理論的有息債券歐式期權(quán)利率模型。Liviu-Adrian Cotfas[6]借助Fourier變換和量子算符模型分析股票信息與價格的關系。本文建立了量子三叉樹模型。根據(jù)期權(quán)折現(xiàn)流在量子概率下是一個鞅過程，給出了量子概率在金融問題中的作用。同時根據(jù)Tailor公式，用量子力學過程代替經(jīng)典隨機過程描述股票價格，在股票價格St遵循量子Brown運動的情形下，得到連續(xù)量子B-S模型。實例應用和Matlab仿真都證實了量子B-S的有效性。一方面簡化了期權(quán)計算，另一方面更好地揭示了金融市場的量子特征。

1 量子三叉樹模型

2 連續(xù)量子Black-Scholes模型

定理2. 量子期權(quán)平價公式

在任意一個時刻t

證明：在t=0時刻，由文獻[9]可以構(gòu)造兩個量子投資組合φ1=c+Ke-rT，φ2=p+S。

設Vt（φ）是投資組合φ在時刻t的財富值，考慮上面兩個量子投資組合，在t=T時刻的值

VT（φ1）=VT（c）+VT（Ke-rT）=（ST-K）++K=max{K，ST}

VT（φ2）=VT（p）+VT（S）=（K-ST）++ST=max{K，ST}

故VT（φ1）=VT（φ2），從而得到Vt（φ1）=Vt（φ2），即ct+Ke-r（T-t）=pt+St成立。

有了量子期權(quán)平價公式，由量子B-S算出看漲期權(quán)的價格，就可以得出看跌期權(quán)的價格。

4 實例應用

5 量子歐式期權(quán)敏感性[10]應用

以下是用MATLA對歐式期權(quán)敏感性做的仿真：

圖1和圖2表示期權(quán)標的物的價格波動性變動對期權(quán)價格的影響程度，數(shù)學表達式■，f為Black-Scholes期權(quán)定價公式中期權(quán)價格函數(shù)C。顏色反映靈敏度，下面是量子圖，它比上面的經(jīng)典圖更能體現(xiàn)細微的波動值的變動。

6 結(jié)論

本文以量子概率的角度，利用量子力學理論建立了量子三叉樹和量子Black-Scholes模型，處理了復雜期權(quán)定價問題。實例應用和敏感性分析都證實了量子B-S模型的有效性，量子期權(quán)圖對金融市場標的物的價格細微波動變化反應更敏感，更能體現(xiàn)金融市場的量子特征。

參考文獻：

[1]J.C. Hull. Options， Futures and Other Derivatives[M]. Prentice Hall， Inc， 2009.

[2]Zeqian Chen. Quantum theory for the binomial model in finance theory [J].Journal of systems science and complexity， 2004， 17：567-573.

[3]Segal W， Segal I E. The Black-Scholes pricing formula in the quantum context[J].Economic Sciences， 1998， 95（3）：4072-4075.

[4]E.Haven. Pilot-wave theory and financial option pricing[J].International Journal of theoretical Physica，2005，44（11）：1957-1962.

[5]Belal.E.Baaquie. The minimal length uncertainty and the quantum model for the stock market [J].Physica A， 2012， 391：2100-2105.

[6]Liviu-Adrian Cotfas. A finite dimensional quantum model for the stock market[J].Physica A， 2013，392：371-380.

[7]P.A.M.Dirac. The Principles of Quantum Mechanics.[M]. Science Press，2011.

[8]姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2010：10-13.

[9]陳澤乾，汪壽陽.量子金融的幾個問題[J].自然科學進展 2004，14：742-748.

[10]劉春艷，呂喜明.基于MATLAB視圖的歐式看漲期權(quán)敏感性動態(tài)分析[J].經(jīng)濟論壇，2013，512：71-76.

摘要： 將量子概率引入到期權(quán)定價是最近幾年一個新的研究趨勢，也稱為量子金融.為了期權(quán)定價更方便，文章建立了量子三叉樹模型，同時利用量子概率建立了連續(xù)量子Black-Scholes（B-S）模型。實例應用和Matlab期權(quán)敏感性分析都驗證了量子B-S優(yōu)于經(jīng)典B-S，從而為連續(xù)期權(quán)定價提供量子決策的途徑。

關鍵詞： 量子概率； 量子三叉樹；量子B-S模型；量子期權(quán)敏感性

中圖分類號：F830； O413 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2014）01-0014-03

0 引言

量子金融是量子概率應用于金融市場的研究，體現(xiàn)了期權(quán)定價[1]思想上的創(chuàng)新。目前，國內(nèi)外學者在這方面已做了一定的工作。陳澤乾[2]提出二項式期權(quán)定價量子模型。E.Sega[3]用量子效應解釋在金融市場期權(quán)價格的不規(guī)則變化。Emmanuel和E.Have[4]描述了在量子系統(tǒng)中，Black-Scholes模型的具體含義。Belal.E.Baaquie[5]研究了基于量子理論的有息債券歐式期權(quán)利率模型。Liviu-Adrian Cotfas[6]借助Fourier變換和量子算符模型分析股票信息與價格的關系。本文建立了量子三叉樹模型。根據(jù)期權(quán)折現(xiàn)流在量子概率下是一個鞅過程，給出了量子概率在金融問題中的作用。同時根據(jù)Tailor公式，用量子力學過程代替經(jīng)典隨機過程描述股票價格，在股票價格St遵循量子Brown運動的情形下，得到連續(xù)量子B-S模型。實例應用和Matlab仿真都證實了量子B-S的有效性。一方面簡化了期權(quán)計算，另一方面更好地揭示了金融市場的量子特征。

1 量子三叉樹模型

2 連續(xù)量子Black-Scholes模型

定理2. 量子期權(quán)平價公式

在任意一個時刻t

證明：在t=0時刻，由文獻[9]可以構(gòu)造兩個量子投資組合φ1=c+Ke-rT，φ2=p+S。

設Vt（φ）是投資組合φ在時刻t的財富值，考慮上面兩個量子投資組合，在t=T時刻的值

VT（φ1）=VT（c）+VT（Ke-rT）=（ST-K）++K=max{K，ST}

VT（φ2）=VT（p）+VT（S）=（K-ST）++ST=max{K，ST}

故VT（φ1）=VT（φ2），從而得到Vt（φ1）=Vt（φ2），即ct+Ke-r（T-t）=pt+St成立。

有了量子期權(quán)平價公式，由量子B-S算出看漲期權(quán)的價格，就可以得出看跌期權(quán)的價格。

4 實例應用

5 量子歐式期權(quán)敏感性[10]應用

以下是用MATLA對歐式期權(quán)敏感性做的仿真：

圖1和圖2表示期權(quán)標的物的價格波動性變動對期權(quán)價格的影響程度，數(shù)學表達式■，f為Black-Scholes期權(quán)定價公式中期權(quán)價格函數(shù)C。顏色反映靈敏度，下面是量子圖，它比上面的經(jīng)典圖更能體現(xiàn)細微的波動值的變動。

6 結(jié)論

本文以量子概率的角度，利用量子力學理論建立了量子三叉樹和量子Black-Scholes模型，處理了復雜期權(quán)定價問題。實例應用和敏感性分析都證實了量子B-S模型的有效性，量子期權(quán)圖對金融市場標的物的價格細微波動變化反應更敏感，更能體現(xiàn)金融市場的量子特征。

參考文獻：

[1]J.C. Hull. Options， Futures and Other Derivatives[M]. Prentice Hall， Inc， 2009.

[2]Zeqian Chen. Quantum theory for the binomial model in finance theory [J].Journal of systems science and complexity， 2004， 17：567-573.

[3]Segal W， Segal I E. The Black-Scholes pricing formula in the quantum context[J].Economic Sciences， 1998， 95（3）：4072-4075.

[4]E.Haven. Pilot-wave theory and financial option pricing[J].International Journal of theoretical Physica，2005，44（11）：1957-1962.

[5]Belal.E.Baaquie. The minimal length uncertainty and the quantum model for the stock market [J].Physica A， 2012， 391：2100-2105.

[6]Liviu-Adrian Cotfas. A finite dimensional quantum model for the stock market[J].Physica A， 2013，392：371-380.

[7]P.A.M.Dirac. The Principles of Quantum Mechanics.[M]. Science Press，2011.

[8]姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2010：10-13.

[9]陳澤乾，汪壽陽.量子金融的幾個問題[J].自然科學進展 2004，14：742-748.

[10]劉春艷，呂喜明.基于MATLAB視圖的歐式看漲期權(quán)敏感性動態(tài)分析[J].經(jīng)濟論壇，2013，512：71-76.