基于極弧系數(shù)選擇的直線電動(dòng)機(jī)法向力波動(dòng)削弱方法

夏加寬，宋德賢，沈 麗

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，沈陽(yáng)110870)

0 引 言

隨著永磁電機(jī)的發(fā)展，永磁同步直線電動(dòng)機(jī)具有推力大、加速快、精度高以及實(shí)現(xiàn)進(jìn)給系統(tǒng)的“零傳動(dòng)”等優(yōu)勢(shì)，逐漸取代傳統(tǒng)的滾珠絲桿在機(jī)床伺服系統(tǒng)中的作用。但由于齒槽效應(yīng)、端部效應(yīng)，電流諧波、電樞磁動(dòng)勢(shì)諧波、永磁勵(lì)磁磁動(dòng)勢(shì)諧波等的存在，當(dāng)直線電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，不僅會(huì)在動(dòng)子側(cè)引起推力波動(dòng)，還會(huì)引起法向力波動(dòng)，法向力的波動(dòng)會(huì)引起摩擦力的攝動(dòng)，進(jìn)而引起水平推力的波動(dòng)，影響機(jī)床的加工精度。

有關(guān)永磁直線電動(dòng)機(jī)計(jì)算方法和法向力波動(dòng)削弱方法的研究，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了許多相關(guān)研究。文獻(xiàn)［1－2］通過(guò)優(yōu)化電機(jī)動(dòng)子長(zhǎng)度方法降低邊端力，采用分?jǐn)?shù)槽結(jié)構(gòu)方法降低齒槽效應(yīng)引起的齒槽力;文獻(xiàn)［3－8］研究了槽型、邊齒形狀、斜槽、斜極、輔助槽對(duì)齒槽削弱的效應(yīng)，并提出了一些削弱方法;文獻(xiàn)［9］提出針對(duì)齒槽效應(yīng)產(chǎn)生的諧波分析并給出了削弱方法，但是沒(méi)有針對(duì)某次諧波進(jìn)行削弱。由以上文獻(xiàn)可以看出，齒槽效應(yīng)是引起永磁直線同步電機(jī)法向力波動(dòng)的一個(gè)重要原因，但還沒(méi)有歸納解析公式來(lái)解釋其內(nèi)在的物理本質(zhì)?；诖耍疚膹慕馕龇ㄈ胧?，研究齒槽效應(yīng)對(duì)永磁直線電動(dòng)機(jī)法向力波動(dòng)的影響，并研究極弧系數(shù)對(duì)其的影響。

本文以單邊平板永磁同步直線電機(jī)為研究對(duì)象，提出了在電樞開(kāi)路時(shí)齒槽效應(yīng)產(chǎn)生的法向力波動(dòng)的解析方法，通過(guò)理論推導(dǎo)，得到了齒槽效應(yīng)產(chǎn)生的法向力波動(dòng)的解析表達(dá)式。以此為基礎(chǔ)，研究了不同極弧系數(shù)對(duì)直線電動(dòng)機(jī)法向力波動(dòng)的影響規(guī)律，總結(jié)了合理的極弧系數(shù)選擇，可以削弱直線電動(dòng)機(jī)法向力波動(dòng)，最后通過(guò)有限元驗(yàn)證，證明所提出的方法的正確有效性。

1 電樞繞組開(kāi)路時(shí)的氣隙磁場(chǎng)解析分析

永磁直線電動(dòng)機(jī)在電樞繞組開(kāi)路時(shí)，受到切向的磁阻力和法向的電磁吸力均是永磁磁動(dòng)勢(shì)與電樞鐵心相互作用的結(jié)果，氣隙磁場(chǎng)分布決定法向吸力的大小和變化規(guī)律。永磁直線單元電機(jī)的電樞幾何模型如圖1 所示。

圖1 永磁直線單元電機(jī)的電樞幾何模型

圖中:l 為電樞鐵心長(zhǎng)度;bt為齒頂寬度:t1為槽距;σ 為氣隙長(zhǎng)度;τm為永磁體寬度;τ 為極距。y為某一指定齒的中心線與某一q 軸的距離。

為便于分析，本文作如下假設(shè):1)電樞鐵心磁導(dǎo)率μFe為無(wú)窮大;2)永磁體的磁導(dǎo)率與空氣相同;3)永磁體的磁力線是垂直進(jìn)入動(dòng)子鐵心的，也即只有法向磁場(chǎng)，而無(wú)切向磁場(chǎng);4)動(dòng)子為無(wú)限長(zhǎng)，即不考慮端部效應(yīng)。

根據(jù)磁路基爾霍夫第二定律可得到永磁磁極在氣隙中產(chǎn)生的磁場(chǎng)為永磁磁動(dòng)勢(shì)與相對(duì)氣隙磁導(dǎo)的乘積。即:

式中:hPM為永磁體磁場(chǎng)強(qiáng)度。

圖1 中相對(duì)氣隙磁導(dǎo)波寫成:

其中:

式中:z 為電機(jī)槽數(shù)。

式中:αp為極弧系數(shù);Br為永磁體剩余磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值。

圖2 Br(x)的分布

由麥克斯韋張力張量定理可知，動(dòng)子單位鐵心面積的法向力:

對(duì)動(dòng)子鐵心面積積分，可得直線電動(dòng)機(jī)動(dòng)子的法向力為:

將式(1)、式(2)、式(4)代入式(6)，再將式(6)代入式(7)，并利用三角函數(shù)的正交性，得到直線電動(dòng)機(jī)的動(dòng)子法向力:

從式(8)可以看出，當(dāng)動(dòng)子和定子相對(duì)位置固定時(shí)，動(dòng)子和定子之間只存在恒定的法向電磁吸力，隨著磁導(dǎo)波和磁場(chǎng)波間的相位y 發(fā)生變化，法向電磁力也就產(chǎn)生了波動(dòng)分量。在對(duì)Br(x)進(jìn)行傅里葉分解后，對(duì)法向力波動(dòng)產(chǎn)生作用的只有kz =np 和kz=2np 次的傅里葉分解系數(shù)，其他次傅里葉分解系數(shù)對(duì)法向力波動(dòng)不產(chǎn)生影響。

2 針對(duì)極弧系數(shù)選擇的法向力削弱方法

2.1 對(duì)Br(x)傅里葉分解系數(shù)的影響

從式(5)可以看出，極弧系數(shù)αp的選擇不同，Br(x)的傅里葉分解系數(shù)也將產(chǎn)生較大的變化。若使Brn=0 必須滿足=整數(shù)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真可以得出直線電動(dòng)機(jī)法向力的主要諧波次數(shù)n 都為3 的倍數(shù)，所以當(dāng)極弧系數(shù)αp=2/3 時(shí)，對(duì)所有法向力波動(dòng)有影響的Brn都等于零，這時(shí)的齒槽效應(yīng)引起的法向力波動(dòng)應(yīng)該為最小;而當(dāng)極弧系數(shù)αp=8/9，n 為9的倍數(shù)時(shí)，Brn=0。因此，極弧系數(shù)的選擇對(duì)Br(x)傅里葉分解系數(shù)的大小影響息息相關(guān)，只要選取合理的極弧系數(shù)，才能保證特定次的Br(x)傅里葉分解系數(shù)值很小，而且這些系數(shù)按照一定的規(guī)律變化。圖3 是Br(x)的次數(shù)為3 的倍數(shù)次傅里葉分解系數(shù)Brn隨極弧系數(shù)的變化曲線。按照常規(guī)電機(jī)設(shè)計(jì)方法，極弧系數(shù)一般選擇0.8 左右，從圖3 可以看出Br3、Br6、Br9的值都較大，會(huì)引起較大的法向力波動(dòng)。

圖3 Brn隨極弧系數(shù)的變化曲線

本文以一臺(tái)12 槽的直線電動(dòng)機(jī)為例說(shuō)明極弧系數(shù)的選取確定方法，電機(jī)相關(guān)參數(shù)如表1 所示。

表1 電機(jī)參數(shù)

當(dāng)直線電動(dòng)機(jī)極數(shù)為8 時(shí)，法向力只與Br(x)的6a(a 為整數(shù))次傅里葉分解系數(shù)有關(guān)，圖4 為Br(x)的6、12、18 次傅里葉分解系數(shù)隨極弧系數(shù)的變化曲線。從圖中分析可知，傅里葉分解系數(shù)隨著極弧系數(shù)的變化而有較大變化。選擇合理的極弧系數(shù)使得Br6、Br12、Br18同時(shí)最小，只要滿足Br6最小即可，因此選擇使Br6最小的極弧系數(shù)，就可以削弱法向力波動(dòng)。由此可知，對(duì)于12 槽8 極電機(jī)，當(dāng)極弧系數(shù)選擇2/3 時(shí)候，使得Br6a為0，此時(shí)齒槽效應(yīng)產(chǎn)生的法向力波動(dòng)也應(yīng)比較小。當(dāng)極弧系數(shù)為5/6 時(shí)，Br6a很大，齒槽效應(yīng)產(chǎn)生的法向力波動(dòng)也應(yīng)該很大。

圖4 p=8 時(shí)Brn隨極弧系數(shù)變化曲線

當(dāng)直線電動(dòng)機(jī)極數(shù)為10 時(shí)，法向力只與Br(x)的12a(a 為整數(shù))次傅里葉分解系數(shù)有關(guān)，圖5 為Br(x)的12、24、36 次傅里葉分解系數(shù)隨極弧系數(shù)的變化曲線。從圖中分析可知，傅里葉分解系數(shù)隨著極弧系數(shù)的變化而有較大變化。選擇合理的極弧系數(shù)使得Br12、Br24、Br36同時(shí)最小，只要滿足Br12最小即可，因此選取使Br12最小的極弧系數(shù)，就可以削弱法向力波動(dòng)。由此可知，對(duì)于12 槽10 極電機(jī)，當(dāng)極弧系數(shù)選擇為2/3 或5/6 時(shí)候，使得Br12a為0，此時(shí)的齒槽效應(yīng)產(chǎn)生的法向力波動(dòng)也應(yīng)比較小。當(dāng)極弧系數(shù)為3/4 時(shí)，Br12a很大，齒槽效應(yīng)產(chǎn)生的法向力波動(dòng)也應(yīng)該很大。

圖5 p=10 時(shí)，Brn隨極弧系數(shù)的變化曲線

2.2 有限元仿真

為驗(yàn)證上述極弧系數(shù)選擇對(duì)削弱直線電動(dòng)機(jī)法向力波動(dòng)方法的正確有效性，本文采用Ansoft 軟件進(jìn)行有限元驗(yàn)證。由于直線電動(dòng)機(jī)的特殊性，若單純考慮齒槽效應(yīng)，必須消除端部效應(yīng)的影響，因此建模時(shí)，動(dòng)子邊齒的長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)，而定子為有限長(zhǎng)，其模型如圖6 所示。

圖6 動(dòng)子無(wú)限長(zhǎng)電機(jī)仿真模型

當(dāng)電機(jī)極數(shù)為10 極時(shí)，極弧系數(shù)分別選擇0.75 和5/6 時(shí)的有限元仿真如圖7 所示。

圖7 p=10 時(shí)，極弧系數(shù)為0.75 和5/6 時(shí)的法向力波形

由圖7 可以看出，極弧系數(shù)為0.75 時(shí)，法向力波動(dòng)值為47.1 N;極弧系數(shù)為5/6 時(shí)，法向力波動(dòng)值為36.8 N，法向力波動(dòng)值減小了21.8%。當(dāng)電機(jī)極數(shù)為8 極時(shí)，極弧系數(shù)分別選擇0.85 和2/3 時(shí)的有限元仿真如圖8 所示。

圖8 p=8 時(shí)，極弧系數(shù)為0.85 和2/3 時(shí)的法向力波形

由圖8 可以看出，極弧系數(shù)為0.85 時(shí)，法向力波動(dòng)值為113.6 N;極弧系數(shù)為2/3 時(shí)，法向力波動(dòng)值為40.8 N，法向力波動(dòng)值減小了64.1%。

從以上可以看出，只要選擇合適的極弧系數(shù)就能使Brn為0，即法向力為零。但由于本文在分析計(jì)算時(shí)忽略了漏磁、飽和和切向磁場(chǎng)對(duì)電機(jī)的影響，因此，從圖7、圖8 可以看出，齒槽效應(yīng)產(chǎn)生的法向力是一個(gè)很小的值，但不為零。由此可知，不同極弧系數(shù)的選擇對(duì)直線電動(dòng)機(jī)法向力波動(dòng)的削弱方法是正確有效的。

通過(guò)上面的分析和仿真驗(yàn)證可以看出，法向力波動(dòng)與極弧系數(shù)的選擇具有較大的關(guān)系，選擇合理的極弧系數(shù)，能夠較大幅度地削弱直線電動(dòng)機(jī)的齒槽效應(yīng)產(chǎn)生的法向力波動(dòng)。

3 結(jié) 語(yǔ)

齒槽效應(yīng)產(chǎn)生的法向力波動(dòng)的大小與剩磁的傅里葉分解次數(shù)有關(guān)系，但是不是所有的次數(shù)都有關(guān)系，只有kz =np 和kz =2np 次傅里葉分解次數(shù)才對(duì)法向力波動(dòng)產(chǎn)生作用。根據(jù)本文給出的解析方法，可以方便地確定齒槽效應(yīng)引起的法向力波動(dòng)的頻率和對(duì)波動(dòng)幅值有影響的Br(x)的傅立葉分解次數(shù)，進(jìn)而合理選擇極弧系數(shù)，削弱直線電動(dòng)機(jī)法向力的波動(dòng)。有限元分析結(jié)果證明本文的解析方法是正確有效的。

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