關(guān)于伴隨矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用的研究

董改芳

(朔州師范高等專(zhuān)科學(xué)校,山西 朔州 036000)

1 伴隨矩陣的常用性質(zhì)

性質(zhì)1AA*=A*A=|A|E

證明 令A(yù)=(aij)n×n，根據(jù)伴隨矩陣定義,有

由行列式按一列展開(kāi)公式可以得

E為n級(jí)單位矩陣,同樣由行列式按行展開(kāi)公式可以得AA*=|A|E得證。

性質(zhì)2 若|A|≠0則A*=|A|A-1

性質(zhì)3 |A*|=|A|n-1

證明 (1)若|A|≠0,由性質(zhì)2有A*=|A|A-1,兩邊取行列式得|A*|=||A|A-1|=|A|n|A|-1=|A|n-1

(2)若|A|=0,由性質(zhì)1可知,AA*=O,從而有r(A)+r(A*)≤n,

當(dāng)r(A)=0,即A=O時(shí),A*=O,|A*|=|A|n-1,結(jié)論成立,

當(dāng)r(A)≥1時(shí),r(A)+r(A*)≤n,所以r(A*)≤n-1,即A*不是滿(mǎn)秩的,|A*|=0,

因而|A*|=|A|n-1, 得證。

性質(zhì)3給出了伴隨矩陣的行列式的性質(zhì)。

證明 (1)當(dāng)r(A)=n時(shí),由A*=|A|A-1可知,A*可逆,r(A*)=n。

(2)當(dāng)r(A)=n-1時(shí),AA*=|A|E=O，有r(A)+r(A*)≤n,r(A*)≤n-r(A)=1

若r(A*)=0,則

(3)若r(A)

性質(zhì)4給出了矩陣的秩r(A)和它的伴隨矩陣的秩r(A*)的關(guān)系。

性質(zhì)5 (A*)*=|A|n-2A，這里A為n(n>2)級(jí)方陣。

證明 由性質(zhì)1AA*=A*A=|A|E可知

(1)當(dāng)|A|≠0時(shí),A*=|A|A-1,于是

(2)當(dāng)|A|=0時(shí),由性質(zhì)4:

可知，r(A*)≤1,當(dāng)n>2時(shí),r((A*)*)=0，從而有

(A*)*=O,因此(A*)*=|A|n-2A,得證。

性質(zhì)7A是正交矩陣,則A*也是正交矩陣。

證明 由A是正交矩陣可得

AA′=E,且|A|2=1。

(A*)′A*=(|A|A-1)′(|A|A-1)=|A|2(A-1)′(A-1)=(A′)-1A-1=(AA′)-1=E

所以A*也是正交矩陣

性質(zhì)8A是正定矩陣,則A*也是正定矩陣。

證明 由A是正定矩陣可知:A與單位矩陣合同,即存在可逆矩陣C

使得C′AC=E從而有

(C′AC)*=C*A*(C′)*=C*A*C(C*)′=E

所以A*也是正定矩陣。

性質(zhì)9 若λ是可逆方陣A的特征值,α是A的屬于λ的特征向量,則λ-1|A|是A*的特征值,α是A*的屬于λ-1|A|的特征向量。

2 伴隨矩陣的性質(zhì)的應(yīng)用

例1 設(shè)

求(A*)-1

方法技巧:利用性質(zhì)9,已知λ是可逆陣A的特征值,α是屬于λ的特征向量,只需求|A|,則λ-1|A|是A*的特征值,α是A*的屬于λ-1|A|的特征向量。

例3 設(shè)A是三級(jí)矩陣,|A|=2，求|(2A)-1-3A*|的值。

方法技巧:利用了性質(zhì)2,A*=|A|A-1和對(duì)于n級(jí)矩陣有|λA|=λn|A|。

例4 設(shè)A是n級(jí)方陣,且|A|=a≠0,求|A*|。

解 由性質(zhì)3可知,|A*|=|A|n-1=an-1。

方法技巧:利用了性質(zhì)3,|A*|=|A|n-1。

伴隨矩陣連接了可逆矩陣和其逆矩陣,是它們之間的橋梁。在矩陣?yán)碚撝幸灿蟹浅Ｖ匾淖饔?所以討論伴隨矩陣的常用性質(zhì)和其應(yīng)用是非常必要的。希望本文能使大家對(duì)伴隨矩陣的定義有更深入的理解。