基于散亂數(shù)據(jù)預給極點的兩類二元有理插值對比研究

胡 楓

(安徽理工大學數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院,安徽 淮南 232001)

在自然科學與工程計算中經(jīng)常會需要采集大量無規(guī)則的數(shù)據(jù)和遇見帶有極點的奇異函數(shù)的計算問題,前人在這方面做出了大量的貢獻[1-16]。朱功勤針對對角數(shù)據(jù)基于倒差商給出了一種逐步有理插值算法。在2016年,錢江基于逆差商提出了二元非張量積型連分式插值來處理散亂數(shù)據(jù)插值問題。本文研究散亂數(shù)據(jù)預給極點的二元有理插值,將原有節(jié)點的函數(shù)值乘以一個確定的數(shù),變成無預給極點的二元有理插值,最后除以帶有極點信息的函數(shù)得到散亂數(shù)據(jù)預給極點的二元有理插值函數(shù),該方法具有預給極點的位置并且保持原來每個極點的重數(shù),數(shù)值例子也給出了上述兩類插值算法之間的相對誤差比較。

1 二元對角逐步有理插值

設Dn={(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}是R2中n+1個不同節(jié)點的點集,當i≠j時,xi≠xj,yi≠yj。對應函數(shù)值zi=f(xi,yi),i=0,1,…,n構造二元有理插值函數(shù)R(x,y)=p(x,y)/q(x,y),其中p(x,y)和q(x,y)是關于x,y的多項式,滿足插值條件

R(xi,yi)=f(xi,yi),(xi,yi)∈Dn。

將已知數(shù)據(jù)按下列對角形式排列如表1所示。

表1 對角形式的散亂數(shù)據(jù)

給出倒差商算法

(1)

可以導出散亂數(shù)據(jù)對角排列如表2所示。

表2 導出的散亂數(shù)據(jù)對角排列

下面定義序列

(2)

l=1,2,…,n。

2 二元非張量積型連分式插值

給定既不在水平線上,也不在垂直線上n+1個互異的插值節(jié)點Dn={(xi,yi),i=0,1,…,n},通過二元非張量積型逆差商的遞推算法來求解系數(shù),定義了二元連分式插值如下：

(3)

其中插值系數(shù)滿足ci=φ0,…,i=φ[x0,…,xi;y0,…,yi],i=0,1,…,n。

具體系數(shù)算法如下

φi=φ[xi;yi]=f(xi,yi)=fi,i=0,1,…,n,

φ0,1,i=φ[x0,x1,xi;y0,y1,yi]

φ0,1,2,i=φ[x0,x1,x2,xi;y0,y1,y2,yi]

…

φ0,…,n=φ[x0,…,xn;y0,…,yn]

3 散亂數(shù)據(jù)預給極點的二元有理插值

(4)

其中(xi,yi)是對應分量互不相同的插值節(jié)點,通過上述兩類插值算法構造無預給極點的散亂數(shù)據(jù)二元有理插值

G(x,y)=d(x,y)R(x,y),

滿足

G(xi,yi)=d(xi,yi)f(xi,yi),i=0,1,…,n。

(5)

進而得到散亂數(shù)據(jù)預給極點的二元有理插值函數(shù)

(6)

4 數(shù)值實例

例1 對于給定函數(shù)

選取9個插值節(jié)點

雖然《中圖法》明確規(guī)定：當遇有國籍改變的作家時，應以作品發(fā)表時作者的國籍（國家）作為分類的依據(jù)；國籍不明，無從考察者，宜參考作品內容分入相應國家的文學類目。國籍不明的文學作品按內容涉及的國家、地區(qū)歸類，也是基于作品所呈現(xiàn)的國家或民族意識因素考慮的。但在分類標引實踐中仍存在許多做法和觀點不同于《中圖法》的規(guī)定，歸納起來主要有兩種。

如圖1所示。

圖1 散亂數(shù)據(jù)D8

對應函數(shù)值

z0=0.07692308,z1=0.25279074,z2=0.74365637,z3=0.23686735,

z4=0.21069099,z5=0.31425685,z6=0.27088253,z7=0.14437886,z8=0.43275472。

顯然由上可知

d(x,y)=(x-3)2+(y-2)2,

依據(jù)二元對角逐步有理插值算法構造關于散亂數(shù)據(jù)無預給極點的二元有理插值

其中

p8(x,y)=-2.48739910xy+8.42934257x4y4-15.95166282x4y3-14.65454045x3y4+10.057583

05x4y2+7.32833591x2y4-2.01249725x4y-1.01736052xy4-0.11479825x2-1.04778487y2+17.67542827x3y3-7.82721866x3y2-0.80752730

x2y3+1.64619713x3y-2.89956393xy3-5.3627

2427x2y2+1.91453289x2y+5.55058918xy2+0.00976563x4+0.04101563y4-0.08198626x3+0.37508028y3+0.27919397x+0.70189558y-0.10837392

q8(x,y)=-2.18689442xy+x4y4-1.5x4y3-2x3y4+0.765625x4y2+1.390625x2y4-0.15234375x4y-0.40234375xy4-0.11479825x2-1.04778487y2+0.48938517x3y3+1.05770807x3

y2+1.80450143x2y3-0.19301445x3y-1.535516

81xy3-4.36064226x2y2+1.83347089x2y+3.83740901xy2+0.00976563x4+0.04101563y4-0.08198626x3+0.37508028y3+0.27919397x+0.70189558y-0.10837392

由式(6)得到

同時根據(jù)上文中的二元非張量積型連分式插值

同理可以得出

兩類插值算法的相對誤差部分曲面圖像如圖2和圖3所示。

圖2 逐步對角插值相對誤差的部分曲面

圖3 二元非張量積型連分式插值相對誤差的部分曲面

從上可以得出對于處理散亂數(shù)據(jù)預給極點的二元有理插值問題,二元非張量積型連分式插值相對誤差更小,逼近效果要比逐步對角有理插值更好,同時保有預給極點的位置和保持原有的重數(shù)。

5 總結

文章中研究散亂數(shù)據(jù)預給極點的二元有理插值,每個節(jié)點處函數(shù)值乘上一個確定的數(shù),分別通過基于逆差商的二元非張量積型連分式插值和基于倒差商的對角逐步有理插值算法構造無預給極點的二元散亂數(shù)據(jù)有理插值,最后除以帶有極點信息的函數(shù)得到預給極點的散亂數(shù)據(jù)二元有理插值,經(jīng)過兩類插值算法的相對誤差比較,非張量積型二元散亂數(shù)據(jù)有理插值函數(shù)相對誤差更小,同時也保有極點的位置和原來的重數(shù),數(shù)值例子也很好的說明了該算法的有效性。